द्वि प्रतिनिरूपण

गणित में, यदि G एक समूह है और ρ सदिश समष्टि V पर इसका एक रैखिक प्रतिनिरूपण है, तो द्वि प्रतिनिरूपण ρ* को द्वि सदिश समष्टि V* पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

ρ*(g) ρ(g⁻¹) का स्थानान्तरण है, अर्थात सभी g ∈ G के लिए ρ*(g) = ρ(g⁻¹)^T है।

इस प्रकार द्वि प्रतिनिरूपण को विरोधाभासी प्रतिनिरूपण के रूप में भी जाना जाता है।

यदि g एक लाई बीजगणित है और π सदिश समष्टि V पर इसका प्रतिनिरूपण करता है, तो द्वि प्रतिनिरूपण π* को द्वि सदिश समष्टि V* पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

π*(X) = −π(X)^T सभी के लिए X ∈ g.

इस परिभाषा के लिए प्रेरणा यह है कि लाई समूह प्रतिनिरूपण के द्वि से जुड़े लाई बीजगणित प्रतिनिरूपण की गणना उपरोक्त सूत्र द्वारा की जाती है। किन्तु लाई बीजगणित प्रतिनिरूपण के द्वि की परिभाषा समझ में आती है, तथापि यह लाई समूह प्रतिनिरूपण से नहीं आती है।

दोनों स्थितियों में, दोहरा प्रतिनिरूपण सामान्य अर्थ में प्रतिनिरूपण है।

गुण

इरेड्यूसिबिलिटी और सेकंड ड्यूल

यदि (परिमित-आयामी) प्रतिनिरूपण अपरिवर्तनीय है, तो दोहरा प्रतिनिरूपण भी अपरिवर्तनीय है -किन्तु आवश्यक नहीं कि यह मूल प्रतिनिरूपण के समरूपी होता है। दूसरी ओर, किसी भी प्रतिनिरूपण के द्वि का द्वैत मूल प्रतिनिरूपण के लिए समरूपी है।

एकात्मक प्रतिनिरूपण

इस प्रकार समूह $G$ के एकात्मक प्रतिनिरूपण $\rho$ पर विचार करें, और आइए हम ऑर्थोनॉर्मल आधार पर कार्य करें। इस प्रकार, $\rho$ $G$ को एकात्मक आव्यूहों के समूह में मैप करता है। फिर द्वि प्रतिनिरूपण की परिभाषा में अमूर्त ट्रांसपोज़ को सामान्य आव्यूह ट्रांसपोज़ के साथ पहचाना जा सकता है। चूँकि आव्यूह का जोड़ स्थानान्तरण का सम्मिश्र संयुग्म है, स्थानान्तरण आसन्न का संयुग्म है। इस प्रकार, $\rho ^{\ast }(g)$ $\rho (g)$ के व्युत्क्रम के जोड़ का सम्मिश्र संयुग्म है। किन्तु चूँकि $\rho (g)$ को एकात्मक माना जाता है, इसलिए $\rho (g)$ के व्युत्क्रम का जोड़ सिर्फ $\rho (g)$ है

इस विचार का निष्कर्ष यह है कि जब ऑर्थोनॉर्मल आधार पर एकात्मक प्रतिनिरूपण के साथ कार्य किया जाता है, तो $\rho ^{*}(g)$ $\rho (g)$ का सम्मिश्र संयुग्म होता है

SU(2) और SU(3) स्थिति

इस प्रकार SU(2) के प्रतिनिरूपण सिद्धांत में, प्रत्येक अपरिवर्तनीय प्रतिनिरूपण का दोहरा प्रतिनिरूपण के लिए समरूपी हो जाता है। किन्तु SU(3) के अभ्यावेदन के लिए, लेबल के साथ इरेड्यूसेबल प्रतिनिरूपण का दोहरा, लेबल $(m_{1},m_{2})$ के साथ इरेड्यूसेबल प्रतिनिरूपण का दोहरा है। विशेष रूप से, SU(3) का मानक त्रि-आयामी प्रतिनिरूपण (उच्चतम वजन $(1,0)$ के साथ) इसके द्वि के लिए आइसोमोर्फिक नहीं है। इस प्रकार भौतिकी साहित्य में क्वार्क के सिद्धांत में, मानक प्रतिनिरूपण और इसके द्वि को $3$ और ${\bar {3}}$ कहा जाता है

उच्चतम भार (1,2) और (2,1) के साथ su(3) के दो गैर-समरूपी द्वि प्रतिनिरूपण

सामान्य अर्धसरल लाई बीजगणित

अधिक सामान्यतः, अर्धसरल लाई बीजगणित (या कॉम्पैक्ट लाई समूहों के निकट से संबंधित प्रतिनिरूपण सिद्धांत) के प्रतिनिरूपण सिद्धांत में, द्वि प्रतिनिरूपण के वजन मूल प्रतिनिरूपण के वजन के ऋणात्मक होते हैं। (आंकड़ा देखें।) अब, किसी दिए गए बीजगणित के लिए, यदि ऐसा होना चाहिए कि ऑपरेटर $-I$ वेइल समूह का एक अवयव है, तो मानचित्र के अंतर्गत प्रत्येक प्रतिनिरूपण का भार स्वचालित रूप से अपरिवर्तनीय है। इस प्रकार $\mu \mapsto -\mu$ ऐसे लाई बीजगणित के लिए, प्रत्येक अघुलनशील प्रतिनिरूपण अपने द्वि के लिए समरूपी होगा। (यह su (2) के लिए स्थिति है, जहां वेइल समूह $\{I,-I\}$ है।) इस प्रोपर्टी के साथ लाई बीजगणित में विषम ऑर्थोगोनल लाई बीजगणित $\operatorname {so} (2n+1;\mathbb {C} )$ सम्मिलित हैं (प्रकार $B_{n}$ और सिम्प्लेक्टिक लाई बीजगणित $\operatorname {sp} (n;\mathbb {C} )$ (प्रकार $C_{n}$) है

यदि, किसी दिए गए बीजगणित के लिए, $-I$ वेइल समूह में नहीं है, तो एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिरूपण का दोहरा मूल रूप से मूल प्रतिनिरूपण के लिए आइसोमोर्फिक नहीं होगा। यह समझने के लिए कि यह कैसे काम करता है, हम ध्यान दें कि सदैव एक अद्वितीय वेइल समूह अवयव $w_{0}$ होता है जो मौलिक वेइल कक्ष के नकारात्मक को मौलिक वेइल कक्ष में मैप करता है। फिर यदि हमारे पास उच्चतम वजन $-\mu$ के साथ एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिरूपण है, तो द्वि प्रतिनिरूपण का सबसे कम वजन $-\mu$ होगा। इसके पश्चात् यह निष्कर्ष निकलता है कि द्वि प्रतिनिरूपण का उच्चतम भार होगा $w_{0}\cdot (-\mu )\,$ चूँकि हम मान रहे हैं कि -I वेइल समूह में नहीं है, $\mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )$ नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है कि मानचित्र $w_{0}\cdot (-\mu )\,$ पहचान नहीं है . निःसंदेह, यह अभी भी हो सकता है कि $-\mu$ के कुछ विशेष विकल्पों के लिए, हमारे पास $\mu =w_{0}\cdot (-\mu )$ हो सकता है। उदाहरण के लिए, आसन्न प्रतिनिरूपण सदैव अपने द्वि से समरूपी होता है।

इस प्रकार su (3) (या इसके सम्मिश्र बीजगणित, $\operatorname {sl} (3;\mathbb {C} )$) के स्थिति में, हम दो जड़ों से युक्त आधार चुन सकते हैं। $\{\alpha _{1},\alpha _{2}\}$ 120 डिग्री के कोण पर, जिससे तीसरा धनात्मक मूल हो 2}}. इस स्थिति में, अवयव $\alpha _{3}=\alpha _{1}+\alpha _{2}$ के लंबवत रेखा के बारे में प्रतिबिंब है। तब मानचित्र $\mu \mapsto w_{0}\cdot (-\mu )$ से होकर जाने वाली रेखा के बारे में प्रतिबिंब है। इस प्रकार तब स्व-द्वि प्रतिनिरूपण वे होते हैं जो $\alpha _{3}$ से होकर निकलने वाली रेखा के साथ स्थित होते हैं। यह $(m,m)$ फॉर्म के लेबल वाले प्रतिनिरूपण हैं, जो ऐसे प्रतिनिरूपण हैं जिनके वजन आरेख नियमित षट्भुज हैं।

प्रेरणा

इस प्रकार प्रतिनिरूपण सिद्धांत में, दोनों सदिश V और रैखिक कार्यात्मकताएं V* को कॉलम वैक्टर के रूप में माना जाता है जिससे प्रतिनिरूपण बाईं ओर से (आव्यूह गुणन द्वारा) कार्य कर सके। V के लिए आधार दिया गया और V* के लिए दोहरा आधार , रैखिक कार्यात्मक की कार्रवाई φ पर v, φ(v) आव्यूह गुणन द्वारा व्यक्त किया जा सकता है,

$\langle \varphi ,v\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v$,

जहां सुपरस्क्रिप्ट T आव्यूह ट्रांसपोज़ है। अनुरूपि की आवश्यकता है

$\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \varphi ,v\rangle .$

दी गई परिभाषा के साथ,

$\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\rangle =\langle \rho (g^{-1})^{T}\varphi ,\rho (g)v\rangle =(\rho (g^{-1})^{T}\varphi )^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho (g^{-1})\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\langle \varphi ,v\rangle .$

इस प्रकार लाई बीजगणित प्रतिनिरूपण के लिए व्यक्ति संभावित समूह प्रतिनिरूपण के साथ एकरूपता चुनता है। सामान्यतः, यदि Π एक लाई समूह का प्रतिनिरूपण है, तो π द्वारा दिया जाता है

$\pi (X)={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{tX})|_{t=0}.$

इसके लाई बीजगणित का प्रतिनिरूपण है। यदि Π*, Π से दोहरा है, तो इसका अनुरूप बीजगणित प्रतिनिरूपण π* द्वारा दिया जाता है

$\pi ^{*}(X)={\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}(e^{tX})|_{t=0}={\frac {d}{dt}}\Pi (e^{-tX})^{T}|_{t=0}=-\pi (X)^{T}.$   

उदाहरण

इस प्रकार निरपेक्ष मान $G=U(1)$ की सम्मिश्र संख्याओं के समूह पर विचार करें। शूर के लेम्मा के परिणामस्वरूप, अप्रासंगिक प्रतिनिरूपण सभी एक आयामी हैं। इस प्रकार इरेड्यूसिबल अभ्यावेदन को पूर्णांक $n$ द्वारा मानकीकृत किया जाता है और स्पष्ट रूप से दिया जाता है

$\rho _{n}(e^{i\theta })=[e^{in\theta }].$

इस प्रकार $\rho _{n}$ का दोहरा प्रतिनिरूपण इस वन बाई वन आव्यूह के स्थानान्तरण का व्युत्क्रम है, अर्थात,

$\rho _{n}^{*}(e^{i\theta })=[e^{-in\theta }]=\rho _{-n}(e^{i\theta }).$

तात्पर्य यह है कि, प्रतिनिरूपण $\rho _{-n}$ का द्वैत $\rho _{n}$ है

सामान्यीकरण

सामान्य रिंग मॉड्यूल (गणित) द्वि प्रतिनिरूपण को स्वीकार नहीं करता है। चूंकि, हॉपफ बीजगणित के मॉड्यूल ऐसा करते हैं।

यह भी देखें

• सम्मिश्र संयुग्म प्रतिनिरूपण
• अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद
• किरिलोव कैरेक्टर सूत्र

संदर्भ

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.