प्रक्षोभ गतिज ऊर्जा

Turbulence kinetic energy
सामान्य प्रतीक	TKE, k
SI आधार इकाइयाँ में	J/kg = m2⋅s−2
अन्य मात्राओं से व्युत्पत्तियां	$k={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right)$

द्रव गतिकी में, अशांति गतिज ऊर्जा (टीकेई) अशांत प्रवाह में एड़ी (द्रव गतिशीलता) से जुड़ी प्रति इकाई द्रव्यमान की औसत गतिज ऊर्जा है। भौतिक रूप से, अशांति गतिज ऊर्जा को मापा मूल-माध्य-वर्ग (आरएमएस) वेग में उतार-चढ़ाव की विशेषता है। रेनॉल्ड्स-एवरेज्ड नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में, अशांति गतिज ऊर्जा की गणना क्लोजर विधि, यानी अशांति मॉडलिंग के आधार पर की जा सकती है।

आम तौर पर, TKE को वेग घटकों के प्रसरण (मानक विचलन का वर्ग) के आधे योग के रूप में परिभाषित किया जाता है:

$$k={\frac {1}{2}}\left(\,{\overline {(u')^{2}}}+{\overline {(v')^{2}}}+{\overline {(w')^{2}}}\,\right),$$

जहां अशांत वेग घटक तात्कालिक और औसत वेग के बीच का अंतर है $u'=u-{\overline {u}}$, जिसका माध्य और विचरण है

$${\begin{aligned}{\overline {u'}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})\,dt=0,\\[4pt]{\overline {(u')^{2}}}&={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(u(t)-{\overline {u}})^{2}\,dt\geq 0,\end{aligned}}$$

क्रमश।

टीकेई का उत्पादन द्रव कतरनी, घर्षण या उछाल, या कम आवृत्ति एड़ी स्केल (अभिन्न पैमाने) पर बाहरी बल के माध्यम से किया जा सकता है। फिर अशांति गतिज ऊर्जा को अशांति ऊर्जा झरना के नीचे स्थानांतरित किया जाता है, और कोलमोगोरोव सूक्ष्म पैमाने पर चिपचिपी ताकतों द्वारा नष्ट कर दिया जाता है। उत्पादन, परिवहन और अपव्यय की इस प्रक्रिया को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$${\frac {Dk}{Dt}}+\nabla \cdot T'=P-\varepsilon ,$$

कहाँ:

• ${\tfrac {Dk}{Dt}}$ टीकेई का माध्य-प्रवाह सामग्री व्युत्पन्न है;
• ∇ · T′ टीकेई का अशांति परिवहन है;
• P टीकेई का उत्पादन है, और
• ε TKE अपव्यय है।

यह मानते हुए कि आणविक चिपचिपाहट स्थिर है, और बाउसिनस्क सन्निकटन (उछाल) बनाते हुए, TKE समीकरण है:

$$\underbrace {\frac {\partial k}{\partial t}} _{{\text{Local}} \atop {\text{derivative}}}\!\!\!+\ \underbrace {{\overline {u}}_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Advection}} \atop {}}=-\underbrace {{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial {\overline {u'_{i}p'}}}{\partial x_{i}}}} _{{\text{Pressure}} \atop {\text{diffusion}}}-\underbrace {{\frac {1}{2}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}'u_{j}'u_{i}'}}}{\partial x_{i}}}} _{{{\text{Turbulent}} \atop {\text{transport}}} \atop {\mathcal {T}}}+\underbrace {\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}^{2}}}} _{{{\text{Molecular}} \atop {\text{viscous}}} \atop {\text{transport}}}-\underbrace {{\overline {u'_{i}u'_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}} _{{\text{Production}} \atop {\mathcal {P}}}-\underbrace {\nu {\overline {{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial u'_{i}}{\partial x_{j}}}}}} _{{\text{Dissipation}} \atop \varepsilon _{k}}-\underbrace {{\frac {g}{\rho _{o}}}{\overline {\rho 'u'_{i}}}\delta _{i3}} _{{\text{Buoyancy flux}} \atop b}$$

इन घटनाओं की जांच करके, किसी विशेष प्रवाह के लिए अशांति गतिज ऊर्जा बजट पाया जा सकता है।

कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी

कम्प्यूटेशनल तरल गतिशीलता (सीएफडी) में, कोलमोगोरोव माइक्रोस्केल्स तक प्रवाह-क्षेत्र को अलग किए बिना संख्यात्मक रूप से अशांति का अनुकरण करना असंभव है, जिसे प्रत्यक्ष संख्यात्मक सिमुलेशन (डीएनएस) कहा जाता है। क्योंकि मेमोरी, कम्प्यूटेशनल और स्टोरेज ओवरहेड्स के कारण DNS सिमुलेशन अत्यधिक महंगे हैं, अशांति के प्रभावों को अनुकरण करने के लिए अशांति मॉडल का उपयोग किया जाता है। विभिन्न प्रकार के मॉडलों का उपयोग किया जाता है, लेकिन आम तौर पर टीकेई एक मौलिक प्रवाह संपत्ति है जिसकी गणना द्रव अशांति को मॉडल करने के लिए की जानी चाहिए।

रेनॉल्ड्स-औसत नेवियर-स्टोक्स समीकरण

रेनॉल्ड्स-एवरेज्ड नेवियर-स्टोक्स समीकरण|रेनॉल्ड्स-एवरेज्ड नेवियर-स्टोक्स (आरएएनएस) सिमुलेशन बौसिनस्क एड़ी चिपचिपाहट परिकल्पना का उपयोग करते हैं औसत प्रक्रिया से उत्पन्न होने वाले रेनॉल्ड्स तनाव की गणना करने के लिए:

$${\overline {u'_{i}u'_{j}}}={\frac {2}{3}}k\delta _{ij}-\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right),$$

कहाँ

$$\nu _{t}=c\cdot {\sqrt {k}}\cdot l_{m}.$$

TKE को हल करने की सटीक विधि प्रयुक्त अशांति मॉडल पर निर्भर करती है; के-एप्सिलॉन टर्बुलेंस मॉडल|k–ε (के-एप्सिलॉन) मॉडल अशांति की आइसोट्रॉपी मानते हैं जिससे सामान्य तनाव बराबर होते हैं:

$${\overline {(u')^{2}}}={\overline {(v')^{2}}}={\overline {(w')^{2}}}.$$

यह धारणा अशांति मात्राओं का मॉडलिंग करती है (k और ε) सरल है, लेकिन उन परिदृश्यों में सटीक नहीं होगा जहां अशांति तनाव का अनिसोट्रोपिक व्यवहार हावी है, और अशांति के उत्पादन में इसके निहितार्थ भी अति-भविष्यवाणी की ओर ले जाते हैं क्योंकि उत्पादन तनाव की औसत दर पर निर्भर करता है, न कि अंतर पर। सामान्य तनावों के बीच (जैसा कि वे हैं, धारणा के अनुसार, बराबर हैं)। रेनॉल्ड्स तनाव|रेनॉल्ड्स-तनाव मॉडल (आरएसएम) रेनॉल्ड्स तनाव को बंद करने के लिए एक अलग विधि का उपयोग करते हैं, जिससे सामान्य तनाव को आइसोट्रोपिक नहीं माना जाता है, इसलिए टीकेई उत्पादन के साथ समस्या से बचा जाता है।

प्रारंभिक स्थितियाँ

सीएफडी सिमुलेशन में प्रारंभिक स्थितियों के रूप में टीकेई का सटीक नुस्खा प्रवाह की सटीक भविष्यवाणी करने के लिए महत्वपूर्ण है, खासकर उच्च रेनॉल्ड्स-संख्या सिमुलेशन में। एक चिकनी वाहिनी का उदाहरण नीचे दिया गया है।

$$k={\frac {3}{2}}(UI)^{2},$$

कहाँ I नीचे दी गई प्रारंभिक अशांति तीव्रता [%] है, और U प्रारंभिक वेग परिमाण है। पाइप प्रवाह के लिए एक उदाहरण के रूप में, पाइप व्यास के आधार पर रेनॉल्ड्स संख्या के साथ:

$$I=0.16Re^{-{\frac {1}{8}}}.$$

यहाँ l अशांति या एड़ी की लंबाई का पैमाना है, जो नीचे दिया गया है, और c_μ एक है k–ε मॉडल पैरामीटर जिसका मान आमतौर पर 0.09 दिया गया है;

$$\varepsilon ={c_{\mu }}^{\frac {3}{4}}k^{\frac {3}{2}}l^{-1}.$$

अशांत लंबाई पैमाने का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है

$$l=0.07L,$$

साथ L एक विशिष्ट लंबाई. आंतरिक प्रवाह के लिए इसमें इनलेट डक्ट (या पाइप) की चौड़ाई (या व्यास) या हाइड्रोलिक व्यास का मान लिया जा सकता है।

बाहरी संबंध

• Turbulence kinetic energy at CFD Online.
• Absi, R. (2008). "Analytical solutions for the modeled k-equation". Journal of Applied Mechanics. 75 (44501): 044501. Bibcode:2008JAM....75d4501A. doi:10.1115/1.2912722.