सांस्थितिक प्रदिश गुणनफल

गणित में, सामान्य रूप से दो टोपोलॉजिकल सदिश स्थान के टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद का निर्माण करने के कई अलग-अलग विधि होते हैं। हिल्बर्ट रिक्त स्थान या परमाणु रिक्त स्थान के लिए टेंसर उत्पादों का एक सरल व्यवहार सिद्धांत है (हिल्बर्ट रिक्त स्थान का टेंसर उत्पाद देखें), किन्तु सामान्य बानाच रिक्त स्थान या स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल सदिश रिक्त स्थान के लिए सिद्धांत अधिक सूक्ष्म है।

प्रेरणा

टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पादों ${\hat {\otimes }}$ के लिए मूल प्रेरणाओं में से एक यह तथ्य है कि $\mathbb {R} ^{n}$ पर सुचारू कार्यों के स्थानों के टेंसर उत्पाद अपेक्षा के अनुरूप व्यवहार नहीं करते हैं। एक इंजेक्शन है

$C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\hookrightarrow C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m})$

किन्तु यह एक समरूपता नहीं है. उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन $f(x,y)=e^{xy}$ को $C^{\infty }(\mathbb {R} _{x})\otimes C^{\infty }(\mathbb {R} _{y}).$ में सुचारु कार्यों के एक सीमित रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। हमें केवल टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद के निर्माण के बाद एक समरूपता मिलती है; अर्थात।,

$C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mathop {\hat {\otimes }} C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\cong C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n+m}).$

यह लेख सबसे पहले बानाच अंतरिक्ष स्थिति में निर्माण का विवरण देता है। $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ कोई बानाच स्थान नहीं है और आगे के स्थितियों पर अंत में विचार की जाती है।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद

Main article: हिल्बर्ट रिक्त स्थान का टेंसर उत्पाद

दो हिल्बर्ट रिक्त स्थान A और B के बीजगणितीय टेंसर उत्पाद में A और B के सेसक्विलिनियर फॉर्म से प्रेरित एक प्राकृतिक सकारात्मक निश्चित सेसक्विलिनियर रूप (स्केलर उत्पाद) होता है। इसलिए विशेष रूप से इसमें एक प्राकृतिक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप होता है, और संबंधित पूर्णता एक होती है हिल्बर्ट स्पेस A ⊗ B, जिसे A और B का (हिल्बर्ट स्पेस) टेंसर उत्पाद कहा जाता है।

यदि सदिश a_i और b_j j, A और B के ऑर्थोनॉर्मल आधारों से होकर निकलते हैं, तो सदिश a_i⊗b_j A ⊗ B का ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं।

बैनाच रिक्त स्थान के क्रॉस मानदंड और टेंसर उत्पाद

हम इस अनुभाग में (रयान 2002) से नोटेशन का उपयोग करेंगे। दो बानाच रिक्त स्थान $A$ और $B$ के टेंसर उत्पाद को परिभाषित करने का स्पष्ट विधि हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए विधि की प्रतिलिपि बनाना है: बीजगणितीय टेंसर उत्पाद पर एक मानदंड परिभाषित करें, फिर इस मानदंड में पूर्णता लें। समस्या यह है कि टेंसर उत्पाद पर एक मानदंड को परिभाषित करने के लिए एक से अधिक प्राकृतिक विधि हैं।

यदि $A$ और $B$ बानाच स्थान हैं तो $A$ और $B$ के बीजगणितीय टेंसर उत्पाद का अर्थ सदिश रिक्त स्थान के रूप में $A$ और $B$ का टेंसर उत्पाद है और इसे $A\otimes B$ द्वारा निरूपित किया जाता है। बीजगणितीय टेंसर उत्पाद $A\otimes B$ सभी परिमित राशियों से मिलकर बना है।

$$x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i},$$

जहां $n$ एक प्राकृत संख्या है जो $x$ और $a_{i}\in A$ और $b_{i}\in B$ पर निर्भर करती है, $i=1,\ldots ,n.$

जब $A$ और $B$ बैनाच रिक्त स्थान हैं, तो बीजगणितीय टेंसर उत्पाद $A\otimes B$ पर एक क्रॉसनॉर्म (या क्रॉस मानदंड) $p$ नियमो को पूरा करने वाला एक मानदंड है

$$p(a\otimes b)=\|a\|\|b\|,$$

$$p'(a'\otimes b')=\|a'\|\|b'\|.$$

यहां $a^{\prime }$ और $b^{\prime }$ क्रमशः $A$ और $B,$ के टोपोलॉजिकल दोहरे स्थानों के तत्व हैं, और $p^{\prime }$ $p.$ का दोहरा मानदंड है। उपरोक्त परिभाषा के लिए उचित क्रॉसनॉर्म शब्द का भी उपयोग किया जाता है।

एक क्रॉस मानदंड $\pi$ है जिसे प्रोजेक्टिव क्रॉस मानदंड कहा जाता है, द्वारा दिया गया है

$$\pi (x)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}\|a_{i}\|\|b_{i}\|:x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}\right\},$$

जहाँ $x\in A\otimes B.$

यह पता चला है कि प्रक्षेप्य क्रॉस मानदंड सबसे बड़े क्रॉस मानदंड से सहमत है ((Ryan 2002), प्रस्ताव 2.1).

एक क्रॉस मानदंड $\varepsilon$ है जिसे इंजेक्शन क्रॉस मानदंड कहा जाता है, द्वारा दिया गया है

$$\varepsilon (x)=\sup \left\{\left|(a'\otimes b')(x)\right|:a'\in A',b'\in B',\|a'\|=\|b'\|=1\right\}$$

जहाँ $x\in A\otimes B.$ यहाँ $A^{\prime }$ और $B^{\prime }$ के टोपोलॉजिकल दोहरे को निरूपित करें $A$ और $B,$ क्रमश।

यहां ध्यान दें कि इंजेक्टिव क्रॉस मानदंड केवल कुछ उचित अर्थों में सबसे छोटा है।

इन दो मानदंडों में बीजगणितीय टेंसर उत्पाद की पूर्णता को प्रक्षेप्य और इंजेक्शन टेंसर उत्पाद कहा जाता है, और $A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\pi }B$ और $A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\varepsilon }B.$ द्वारा दर्शाया जाता है

जब $A$ और $B$ हिल्बर्ट स्पेस हैं, तो उनके हिल्बर्ट स्पेस टेंसर उत्पाद के लिए उपयोग किया जाने वाला मानदंड सामान्य रूप से इनमें से किसी भी मानदंड के समान नहीं है। कुछ लेखक इसे $\sigma ,$ द्वारा निरूपित करते हैं, इसलिए उपरोक्त अनुभाग में हिल्बर्ट स्पेस टेंसर उत्पाद $A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\sigma }B.$ होगा।

एक समान क्रॉसनॉर्म $\alpha$ $X\otimes Y$ पर एक उचित क्रॉसनॉर्म के बैनाच रिक्त स्थान के प्रत्येक जोड़े $(X,Y)$ के लिए एक असाइनमेंट है, जिससे यदि $X,W,Y,Z$ इच्छित रूप से बनच रिक्त स्थान हैं तो सभी (निरंतर रैखिक) ऑपरेटरों के लिए $S:X\to W$ और $T:Y\to Z$ ऑपरेटर $S\otimes T:X\otimes _{\alpha }Y\to W\otimes _{\alpha }Z$ निरंतर है और $\|S\otimes T\|\leq \|S\|\|T\|.$ यदि $A$ और $B$ दो बैनाच स्थान हैं और $\alpha$ एक समान क्रॉस मानदंड है तो $\alpha$ बीजगणित पर एक उचित क्रॉस मानदंड को परिभाषित करता है टेंसर उत्पाद $A\otimes B.$ $A\otimes B$ को उस मानक से सुसज्जित करके प्राप्त मानक रैखिक स्थान को $A\otimes _{\alpha }B.$} द्वारा दर्शाया जाता है,$A\otimes _{\alpha }B,$का पूरा होना जो कि एक बानाच स्थान है, को $A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B.$ द्वारा निरूपित किया जाता है। $\alpha$ द्वारा दिए गए मानदंड का मान $A\otimes B$ और पूर्ण टेंसर उत्पाद पर $A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B$ एक तत्व $x$ के लिए $A\operatorname {\hat {\otimes }} _{\alpha }B$ (या $A\otimes _{\alpha }B$) में $\alpha _{A,B}(x){\text{ or }}\alpha (x).$ द्वारा दर्शाया गया है

एक समान क्रॉसनॉर्म $\alpha$ को परिमित रूप से उत्पन्न माना जाता है, यदि, बनच रिक्त स्थान के प्रत्येक जोड़े $(X,Y)$ और प्रत्येक $u\in X\otimes Y,$ के लिए।

$$\alpha (u;X\otimes Y)=\inf\{\alpha (u;M\otimes N):\dim M,\dim N<\infty \}.$$

एक समान क्रॉसनॉर्म $\alpha$ निश्चित रूप से उत्पन्न होता है, यदि, बैनाच रिक्त स्थान के प्रत्येक जोड़े $(X,Y)$ और प्रत्येक $u\in X\otimes Y,$ के लिए।

$$\alpha (u)=\sup\{\alpha ((Q_{E}\otimes Q_{F})u;(X/E)\otimes (Y/F)):\dim X/E,\dim Y/F<\infty \}.$$

एक टेंसर मानदंड को एक सीमित रूप से उत्पन्न एकसमान क्रॉसनॉर्म के रूप में परिभाषित किया गया है। ऊपर परिभाषित प्रोजेक्टिव क्रॉस मानदंड $\pi$ और इंजेक्टिव क्रॉस मानदंड $\varepsilon$ टेंसर मानदंड हैं और उन्हें क्रमशः प्रोजेक्टिव टेंसर मानदंड और इंजेक्टिव टेंसर मानदंड कहा जाता है।

यदि $A$ और $B$ इच्छित रूप से बनच स्थान हैं और $\alpha$ तो यह एक इच्छित समान क्रॉस मानदंड है

$$\varepsilon _{A,B}(x)\leq \alpha _{A,B}(x)\leq \pi _{A,B}(x).$$

स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल सदिश स्थानों के टेंसर उत्पाद

See also: इंजेक्टिव टेंसर उत्पाद and प्रक्षेप्य टेंसर उत्पाद

स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस ए और बी की टोपोलॉजी सेमीनॉर्म्स के परिवारों द्वारा दी गई है। सेमिनॉर्म के प्रत्येक विकल्प के लिए

$A$ और $B$ पर हम बीजगणितीय टेंसर उत्पाद $A\otimes B,$ पर क्रॉस मानदंडों के संबंधित परिवार को परिभाषित कर सकते हैं और प्रत्येक वर्ग से एक क्रॉस मानदंड चुनकर हमें टोपोलॉजी को परिभाषित करने पर $A\otimes B,$ पर कुछ क्रॉस मानदंड प्राप्त होते हैं। सामान्यतः ऐसा करने के बहुत सारे विधि हैं। दो सबसे महत्वपूर्ण विधि सभी प्रक्षेप्य क्रॉस मानदंडों, या सभी इंजेक्शन क्रॉस मानदंडों को लेना है। $A\otimes B$ पर परिणामी टोपोलॉजी की पूर्णता को प्रोजेक्टिव और इंजेक्टिव टेंसर उत्पाद कहा जाता है, और $A\otimes _{\gamma }B$ और $A\otimes _{\lambda }B.$ द्वारा दर्शाया जाता है, $A\otimes _{\gamma }B$ को $A\otimes _{\lambda }B.$ तक एक प्राकृतिक मानचित्र होता है।

यदि $A$ या $B$ एक परमाणु स्थान है तो $A\otimes _{\gamma }B$ को $A\otimes _{\lambda }B$ का प्राकृतिक मानचित्र एक समरूपता है। समान्य रूप से , इसका अर्थयह है कि यदि $A$ या $B$ परमाणु है, तो $A$ और $B$ का केवल एक समझदार टेंसर उत्पाद है। यह गुण परमाणु स्थानों की विशेषता बताती है।

यह भी देखें

• Fréchet space
• Fredholm kernel
• Inductive tensor product
• Injective tensor product
• Projective tensor product
• Projective topology
• Tensor product of Hilbert spaces

संदर्भ

• Ryan, R.A. (2002), Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, New York: Springer.
• Grothendieck, A. (1955), "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires", Memoirs of the American Mathematical Society, 16.