एपिग्राफ (गणित)

Not to be confused with एपिग्राफ (साहित्य).

एक फंक्शन का एपिग्राफ

एक फ़ंक्शन (काले रंग में) उत्तल होता है यदि और केवल यदि उसके ग्राफ़ के ऊपर का क्षेत्र (हरे रंग में) एक उत्तल समूह है। यह क्षेत्र समारोह का एपिग्राफ है।

गणित में, किसी फंक्शन $f:X\to [-\infty ,\infty ]$का विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में मूल्यवान $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ समुच्चय है, जिसे $\operatorname {epi} f,$निरूपित किया जाता है I कार्टेशियन उत्पाद में सभी बिंदु का $X\times \mathbb {R}$ किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर या उसके ऊपर स्थित है। सख्त एपिग्राफ $\operatorname {epi} _{S}f$ में बिंदुओं का समूह है $X\times \mathbb {R}$ ठीक इसके ग्राफ़ के ऊपर है।

महत्वपूर्ण रूप से, चूँकि $f$ ग्राफ और एपिग्राफ दोनों में $X\times [-\infty ,\infty ],$ बिंदु सम्मलित हैं एपिग्राफ में उपसमुच्चय $X\times \mathbb {R} ,$ में पूरी तरह से बिंदु होते हैं, जो $f.$ यदि फ़ंक्शन $\pm \infty$ को एक मान के रूप में लेता है तो पूरी तरह से मूल्य के रूप में $\operatorname {graph} f$ नहीं इसके एपिग्राफ का एक उपसमुच्चय हो $\operatorname {epi} f.$ उदाहरण के लिए, यदि $f\left(x_{0}\right)=\infty$ फिर बिंदु $\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)=\left(x_{0},\infty \right)$ का होगा $\operatorname {graph} f$ लेकिन नहीं $\operatorname {epi} f.$ ये दो समूह फिर भी निकटता से संबंधित हैं क्योंकि ग्राफ को सदैव एपिग्राफ से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, और इसके विपरीत।

वास्तविक विश्लेषण में निरंतर कार्य वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का अध्ययन परंपरागत रूप से एक फ़ंक्शन के उनके ग्राफ़ के अध्ययन से जुड़ा हुआ है, जो समूह हैं जो इन कार्यों के बारे में ज्यामितीय जानकारी प्रदान करते हैं। एपिग्राफ उत्तल विश्लेषण और परिवर्तनशील विश्लेषण के क्षेत्रों में इसी उद्देश्य की पूर्ति करते हैं, जिसमें प्राथमिक फोकस $[-\infty ,\infty ]$ उत्तल कार्यों पर होता है , सदिश स्थान (जैसे $\mathbb {R}$ या $\mathbb {R} ^{2}$) में मान वाले निरंतर कार्यों के अतिरिक्त है. ऐसा इसलिए है क्योंकि सामान्य तौर पर, ऐसे कार्यों के लिए, ज्यामितीय अंतर्ज्ञान किसी फ़ंक्शन के एपिग्राफ से उसके ग्राफ की तुलना में अधिक आसानी से प्राप्त होता है। इसी तरह वास्तविक विश्लेषण में ग्राफ़ का उपयोग कैसे किया जाता है, एपिग्राफ का उपयोग अधिकांशतः एक उत्तल फ़ंक्शन के गुणों की ज्यामितीय व्याख्या करने के लिए किया जा सकता है, परिकल्पना तैयार करने या सिद्ध करने में सहायता करने के लिए, या प्रति उदाहरण के निर्माण में सहायता के लिए है।

परिभाषा

एपिग्राफ की परिभाषा एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ से प्रेरित थी, जहां ग्राफ़ के $f:X\to Y$ समूह के रूप में परिभाषित किया गया है

$\operatorname {graph} f:=\left\{(x,y)\in X\times Y~:~y=f(x)\right\}.$

सूक्ति }} या सुपरग्राफ  एक फ़ंक्शन का  $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में मूल्यवान $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ समूह है

${\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\right\}\\&=\left[f^{-1}(-\infty )\times \mathbb {R} \right]\cup \bigcup _{x\in f^{-1}(\mathbb {R} )}\{x\}\times [f(x),\infty )~~~{\text{ (संयुक्त किए जा रहे सभी सेट जोड़ीदार असंयुक्त हैं). }}\end{alignedat}}$

संघ में खत्म $x\in f^{-1}(\mathbb {R} )$ जो अंतिम पंक्ति, समूह के दाहिने हाथ की ओर ऊपर दिखाई देता है $\{x\}\times [f(x),\infty )$ से मिलकर एक खड़ी किरण होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है $(x,f(x))$ और सभी बिंदुओं में $X\times \mathbb {R}$ इसके ठीक ऊपर। इसी प्रकार, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर या उसके नीचे बिंदुओं का समूह उसका हाइपोग्राफ़ है हाइपोग्राफ. सख्त एपिग्राफ }} हटाए गए ग्राफ़ के साथ एपिग्राफ है:

${\begin{alignedat}{4}\operatorname {epi} _{S}f&=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r>f(x)\right\}\\&=\operatorname {epi} f\setminus \operatorname {graph} f\\&=\bigcup _{x\in X}\{x\}\times (f(x),\infty )~~~{\text{ (all sets being unioned are pairwise disjoint, some may be empty). }}\end{alignedat}}$

अन्य समूह के साथ संबंध

इस तथ्य के अतिरिक्त कि $f$ में से एक (या दोनों) ले सकते हैं $\pm \infty$ एक मूल्य के रूप में (जिस स्थिति में इसका ग्राफ होगा नहीं का उपसमुच्चय हो $X\times \mathbb {R}$), का एपिग्राफ $f$ फिर भी का एक उप समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $X\times \mathbb {R}$ के अतिरिक्त $X\times [-\infty ,\infty ].$ यह जानबूझकर है क्योंकि कब $X$ एक सदिश स्थान है तो ऐसा है $X\times \mathbb {R}$ लेकिन $X\times [-\infty ,\infty ]$ है कभी नहीँ एक वेक्टर स्थान (विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा के बाद से $[-\infty ,\infty ]$ सदिश स्थान नहीं है)। अधिक सामान्यतः, यदि $X$ तब कुछ सदिश समष्टि का केवल एक अरिक्त उपसमुच्चय होता है $X\times [-\infty ,\infty ]$ कभी भी नहीं है उप समूह का कोई सदिश स्थल। एपिग्राफ सदिश स्थान का एक उपसमुच्चय होने के कारण वास्तविक विश्लेषण और कार्यात्मक विश्लेषणसे संबंधित उपकरणों को अधिक आसानी से लागू करने की अनुमति देता है।

फ़ंक्शन का डोमेन (कोडोमेन के अतिरिक्त) इस परिभाषा के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण नहीं है; यह कोई रैखिक स्थान हो सकता हैया एक मनमाना समूह के अतिरिक्त $\mathbb {R} ^{n}$.

सख्त एपिग्राफ $\operatorname {epi} _{S}f$ और ग्राफ $\operatorname {graph} f$ सदैव भिन्न होते हैं।

एक फ़ंक्शन का एपिग्राफ $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ इसके ग्राफ और सख्त एपिग्राफ से संबंधित है

$\,\operatorname {epi} f\,\subseteq \,\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f$

जहां सेट समानता रखती है अगर और केवल अगर $f$ वास्तविक मूल्यवान है। चूँकि,

$\operatorname {epi} f=\left[\operatorname {epi} _{S}f\,\cup \,\operatorname {graph} f\right]\,\cap \,\left[X\times \mathbb {R} \right]$ हमेशा रखता है।

== एपिग्राफ == से कार्यों का पुनर्निर्माण

एपिग्राफ खाली सेट है अगर केवल फ़ंक्शन समान रूप से अनंत के बराबर है।

जिस तरह किसी भी फ़ंक्शन को उसके ग्राफ़ से फिर से बनाया जा सकता है, उसी तरह किसी भी विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को भी बनाया जा सकता है $f$ पर $X$ इसके एपिग्राफ से पुनर्निर्माण किया जा सकता है $E:=\operatorname {epi} f$ (यहां तक ​​कि जब $f$ लेता है $\pm \infty$ मान के रूप में)। दिया गया $x\in X,$ मूल्य $f(x)$ से बनाया जा सकता है $E\cap \left(\{x\}\times \mathbb {R} \right)$ का $E$ खड़ी रेखा के साथ $\{x\}\times \mathbb {R}$ के माध्यम से गुजरते हुए $x$ निम्नलिखित नुसार:

विषय 1: $E\cap \left(\{x\}\times \mathbb {R} \right)=\varnothing$ अगर और केवल अगर $f(x)=\infty ,$

विषय 2: $E\cap \left(\{x\}\times \mathbb {R} \right)=\{x\}\times \mathbb {R}$ अगर और केवल अगर $f(x)=-\infty ,$

विषय 3: अन्यथा, $E\cap \left(\{x\}\times \mathbb {R} \right)$ रूप का अनिवार्य रूप से है $\{x\}\times [f(x),\infty ),$ जिससे का मूल्य $f(x)$ अंतराल का न्यूनतम लेकर प्राप्त किया जा सकता है।

उपरोक्त प्रेक्षणों को मिलाकर एक सूत्र दिया जा सकता है $f(x)$ के अनुसार $E:=\operatorname {epi} f.$ विशेष रूप से, किसी के लिए $x\in X,$ :$f(x)=\inf _{}\{r\in \mathbb {R} ~:~(x,r)\in E\}$ जहां परिभाषा के अनुसार, $\inf _{}\varnothing :=\infty .$ इसी सूत्रों का उपयोग पुनर्निर्माण के लिए भी किया जा सकता है $f$ इसके सख्त एपिग्राफ से $E:=\operatorname {epi} _{S}f.$

कार्यों के गुणों और उनके अभिलेखों के बीच संबंध

एक फलन उत्तल फलन होता है यदि इसका पुरालेख उत्तल समुच्चय है। एक वास्तविक संबंध फ़ंक्शन का एपिग्राफ $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ में एक आधा स्थान है $\mathbb {R} ^{n+1}.$ एक फ़ंक्शन अर्ध-निरंतरता है और केवल इसका एपिग्राफ बंद सेट है।

यह भी देखें

• प्रभावी डोमेन
• हाइपोग्राफ (गणित)
• उचित उत्तल कार्य

संदर्भ

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.
• Rockafellar, Ralph Tyrell (1996), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, NJ. ISBN 0-691-01586-4.