घन हर्माइट स्पलाइन

Not to be confused with Hermite polynomial.

संख्यात्मक विश्लेषण में, एक घन हर्माइट पट्टी या घन हर्माइट इंटेरपोलेटर एक पट्टी है जहां प्रत्येक पट्टी हर्माइट के रूप में निर्दिष्ट तृतीय-कोटि बहुपद है, यह संबंधित डोमेन अंतराल के अंत बिंदुओं पर इसके मूल्यों और प्रथम  व्युत्पन्न द्वारा होता है।

घन हर्मिट पट्टी का उपयोग सामान्तया दिए गए अर्थ मानों पर निर्दिष्ट संख्यात्मक आंकड़े के इंटरपोलेशन के लिए किया जाता है $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, एक सतत फलन प्राप्त करने के लिए। आंकड़े में प्रत्येक $x_{k}$.पर वांछित फलन मान और प्रत्येक पर व्युत्पन्न सम्मिलित होता है (यदि केवल मान प्रदान किए किए जाते हैं, तो उनसे व्युत्पन्न का अनुमान लगाया जाना चाहिए।) हर्मिट सूत्र प्रत्येक अंतराल $(x_{k},x_{k+1})$ के लिए अलग से लागू किया जाता है। परिणामी पट्टी निरंतर होता है और निरंतर पहला व्युत्पन्न होता है।

घन बहुपद पट्टी अन्य तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है, बेज़ियर घन सबसे आम होते है। चूँकि, ये दो विधियाँ पट्टी को एक ही समुच्चय प्रदान करती हैं, और आंकड़े को बेज़ियर और हर्मिट रूपों के बीच आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है, इसलिए नामों का सदैव उपयोग किया जाता है जैसे कि वे पर्यायवाची हों।

घन बहुपद पट्टी बड़े पैमाने पर अभिकलित्र आलेखिकी और ज्यामितीय मॉडलिंग में घटता या गति प्रक्षेप वक्र प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है जो समतल (ज्यामिति) या त्रि-आयामी क्षेत्र (ज्यामिति) के निर्दिष्ट बिंदुओं से गुजरता है। इन अनुप्रयोगों में, समतल या क्षेत्र के प्रत्येक निर्देशांक को एक अलग मापदंड t के घन पट्टी फलन द्वारा अलग से प्रक्षेपित किया जाता है। घन बहुपद विभाजन का उपयोग संरचनात्मक विश्लेषण अनुप्रयोगों में बड़े पैमाने पर किया जाता है, जैसे यूलर-बर्नौली बीम सिद्धांत।

घन पट्टी को कई तरीकों से दो या दो से अधिक मापदंड के फलन तक बढ़ाया जा सकता है। द्विघन पट्टी ( द्विघन इंटरपोलेशन) का उपयोग सदैव एक नियमित आयताकार ग्रिड पर आंकड़े को प्रक्षेपित करने के लिए किया जाता है, जैसे कि अंकीय छवि में पिक्सेल मान या भू-भाग पर ऊंचाई आंकड़े से है। द्विघन सतह पैच, तीन द्विघन पट्टी द्वारा परिभाषित, अभिकलित्र आलेखिकी में एक आवश्यक उपकरण हैं।

घन पट्टी को सदैव सी पट्टी कहा जाता है, खासकर अभिकलित्र आलेखिकी में। हर्मिट पट्टी का नाम चार्ल्स हर्मिट के नाम पर रखा गया है।

एक अंतराल पर इंटरपोलेशन

इकाई अंतराल (0, 1)

चार हर्मिट आधार कार्य करते हैं। प्रत्येक उपअंतराल में इंटरपोलेंट इन चार कार्यों का एक रैखिक संयोजन है।

इकाई अंतराल पर $(0,1)$, एक शुरुआती बिंदु दिया ${\boldsymbol {p}}_{0}$ पर $t=0$ और एक समापन बिंदु ${\boldsymbol {p}}_{1}$ पर $t=1$ स्पर्शरेखा शुरू करने के साथ ${\boldsymbol {m}}_{0}$ पर $t=0$ और स्पर्शरेखा समाप्त ${\boldsymbol {m}}_{1}$ पर $t=1$, बहुपद को परिभाषित किया जा सकता है

${\boldsymbol {p}}(t)=(2t^{3}-3t^{2}+1){\boldsymbol {p}}_{0}+(t^{3}-2t^{2}+t){\boldsymbol {m}}_{0}+(-2t^{3}+3t^{2}){\boldsymbol {p}}_{1}+(t^{3}-t^{2}){\boldsymbol {m}}_{1},$

जहां टी ∈ [0, 1]।

मनमाना अंतराल पर इंटरपोलेशन

प्रक्षेपित करना $x$ एक मनमाना अंतराल में $(x_{k},x_{k+1})$ को मैप करके किया जाता है $[0,1]$ एक affine फ़ंक्शन (कोटि -1) चर के परिवर्तन के माध्यम से। सूत्र है

${\boldsymbol {p}}(x)=h_{00}(t){\boldsymbol {p}}_{k}+h_{10}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k}+h_{01}(t){\boldsymbol {p}}_{k+1}+h_{11}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k+1},$

कहाँ पे $t=(x-x_{k})/(x_{k+1}-x_{k})$, तथा $h$ आधार कार्यों को संदर्भित करता है, परिभाषित #प्रतिनिधित्व। ध्यान दें कि स्पर्शरेखा मूल्यों को स्केल किया गया है $x_{k+1}-x_{k}$ इकाई अंतराल पर समीकरण की तुलना में।

विशिष्टता

ऊपर निर्दिष्ट सूत्र दिए गए स्पर्शरेखा वाले दो बिंदुओं के बीच अद्वितीय तृतीय-कोटि बहुपद पथ प्रदान करता है।

सबूत। होने देना $P,Q$ दी गई सीमा स्थितियों को संतुष्ट करने वाले दो तिहाई-कोटि वाले बहुपद हों। परिभाषित करना $R=Q-P,$ फिर:

$R(0)=Q(0)-P(0)=0,$

$R(1)=Q(1)-P(1)=0.$

चूंकि दोनों $Q$ तथा $P$ तीसरी कोटि के बहुपद हैं, $R$ अधिक से अधिक एक तृतीय-कोटि बहुपद है। इसलिए $R$ रूप का होना चाहिए

$R(x)=ax(x-1)(x-r).$

व्युत्पन्न की गणना देता है

$R'(x)=ax(x-1)+ax(x-r)+a(x-1)(x-r).$

हम यह भी जानते हैं

$R'(0)=Q'(0)-P'(0)=0,$

$R'(0)=0=ar,$

(1)

$R'(1)=Q'(1)-P'(1)=0,$

$R'(1)=0=a(1-r).$

(2)

डालना (1) तथा (2) एक साथ, हम इसे घटाते हैं $a=0$, और इसीलिए $R=0,$ इस प्रकार $P=Q.$

प्रतिनिधित्व

हम प्रक्षेप बहुपद को इस प्रकार लिख सकते हैं

${\boldsymbol {p}}(t)=h_{00}(t){\boldsymbol {p}}_{0}+h_{10}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{0}+h_{01}(t){\boldsymbol {p}}_{1}+h_{11}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{1}$

कहाँ पे $h_{00}$, $h_{10}$, $h_{01}$, $h_{11}$ हर्मिट आधार कार्य हैं। इन्हें अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है, प्रत्येक तरीके से अलग-अलग गुण प्रकट होते हैं:

	expanded	factorized	Bernstein
$h_{00}(t)$	$2t^{3}-3t^{2}+1$	$(1+2t)(1-t)^{2}$	$B_{0}(t)+B_{1}(t)$
$h_{10}(t)$	$t^{3}-2t^{2}+t$	$t(1-t)^{2}$	${\frac {1}{3}}\cdot B_{1}(t)$
$h_{01}(t)$	$-2t^{3}+3t^{2}$	$t^{2}(3-2t)$	$B_{3}(t)+B_{2}(t)$
$h_{11}(t)$	$t^{3}-t^{2}$	$t^{2}(t-1)$	$-{\frac {1}{3}}\cdot B_{2}(t)$

विस्तारित स्तंभ उपरोक्त परिभाषा में प्रयुक्त प्रतिनिधित्व को दर्शाता है। गुणनखंडित स्तंभ तुरंत दिखाता है $h_{10}$ तथा $h_{11}$ सीमा पर शून्य हैं। आप आगे यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं $h_{01}$ तथा $h_{11}$ 0 पर एक बहुगुण_(गणित)#Multiplicity_of_a_zero_of_a_function है, और $h_{00}$ तथा $h_{10}$ 1 पर ऐसा शून्य है, इस प्रकार उन सीमाओं पर उनका ढलान 0 है। बर्नस्टीन कॉलम क्रम 3 के बर्नस्टीन बहुपदों में हर्मिट आधार कार्यों के अपघटन को दर्शाता है:

$B_{k}(t)={\binom {3}{k}}\cdot t^{k}\cdot (1-t)^{3-k}.$

इस कनेक्शन का उपयोग करके आप चार मानों के संबंध में क्यूबिक बेजियर कर्व्स के संदर्भ में क्यूबिक हर्मिट इंटरपोलेशन को व्यक्त कर सकते हैं ${\boldsymbol {p}}_{0},{\boldsymbol {p}}_{0}+{\frac {{\boldsymbol {m}}_{0}}{3}},{\boldsymbol {p}}_{1}-{\frac {{\boldsymbol {m}}_{1}}{3}},{\boldsymbol {p}}_{1}$ और de Casteljau एल्गोरिथम का उपयोग करके Hermite इंटरपोलेशन करें। यह दर्शाता है कि एक क्यूबिक बेज़ियर पैच में मध्य में दो नियंत्रण बिंदु संबंधित बाहरी बिंदुओं पर इंटरपोलेशन कर्व की स्पर्शरेखा निर्धारित करते हैं।

हम बहुपद को मानक रूप में भी लिख सकते हैं

${\boldsymbol {p}}(t)=(2{\boldsymbol {p}}_{0}+{\boldsymbol {m}}_{0}-2{\boldsymbol {p}}_{1}+{\boldsymbol {m}}_{1})t^{3}+(-3{\boldsymbol {p}}_{0}+3{\boldsymbol {p}}_{1}-2{\boldsymbol {m}}_{0}-{\boldsymbol {m}}_{1})t^{2}+({\boldsymbol {m}}_{0})t+{\boldsymbol {p}}_{0}$

जहां नियंत्रण बिंदु और स्पर्शरेखा गुणांक हैं। यह टी के विभिन्न मूल्यों पर बहुपद के कुशल मूल्यांकन की अनुमति देता है क्योंकि निरंतर गुणांक की गणना एक बार की जा सकती है और पुन: उपयोग की जा सकती है।

आंकड़े समुच्चय को इंटरपोल करना

एक आंकड़े सेट, $(x_{k},{\boldsymbol {p}}_{k})$ के लिये $k=1,\ldots ,n$, प्रत्येक अंतराल पर उपरोक्त प्रक्रिया को लागू करके प्रक्षेपित किया जा सकता है, जहाँ स्पर्शरेखाओं को एक समझदार तरीके से चुना जाता है, जिसका अर्थ है कि अंत बिंदुओं को साझा करने वाले अंतराल के लिए स्पर्शरेखाएँ समान हैं। प्रक्षेपित वक्र में तब टुकड़े के रूप में क्यूबिक हर्मिट स्प्लिन होते हैं और यह विश्व स्तर पर निरंतर भिन्न होता है $(x_{1},x_{n})$.

स्पर्शरेखाओं का चुनाव अद्वितीय नहीं है, और कई विकल्प उपलब्ध हैं।

परिमित अंतर

परिमित-अंतर स्पर्शरेखाओं के साथ उदाहरण

सबसे सरल विकल्प तीन-बिंदु अंतर है, जिसके लिए निरंतर अंतराल की लंबाई की आवश्यकता नहीं होती है:

${\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {1}{2}}\left({\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k}}{x_{k+1}-x_{k}}}+{\frac {{\boldsymbol {p}}_{k}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}\right)$

आंतरिक बिंदुओं के लिए $k=2,\dots ,n-1$, और आंकड़े समुच्चय के अंतिम बिंदुओं पर एक तरफा अंतर।

कार्डिनल पट्टी

thumb|right|2डी में कार्डिनल पट्टी उदाहरण। रेखा वक्र का प्रतिनिधित्व करती है, और वर्ग नियंत्रण बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं ${\boldsymbol {p}}_{k}$. ध्यान दें कि वक्र पहले और अंतिम बिंदुओं तक नहीं पहुंचता है; हालाँकि, ये बिंदु वक्र के आकार को प्रभावित करते हैं। उपयोग किया जाने वाला तनाव पैरामीटर 0.1 है|link=|alt={\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{k}}कार्डिनल पट्टी , जिसे कभी-कभी कैनोनिकल पट्टी कहा जाता है, पाया जाता है यदि

${\boldsymbol {m}}_{k}=(1-c){\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{x_{k+1}-x_{k-1}}}$

स्पर्शरेखाओं की गणना के लिए प्रयोग किया जाता है। पैरामीटर c एक तनाव पैरामीटर है जो अंतराल में होना चाहिए [0, 1]. एक मायने में, इसे स्पर्शरेखा की लंबाई के रूप में समझा जा सकता है। का चयन c = 1 सभी शून्य स्पर्शरेखा उत्पन्न करता है, और चुनता है c = 0.5 कैटमुल–रोम पट्टी देता है।

कैटमुल-रोम पट्टी

Geometric interpretation of Catmull–Rom cubic interpolation of the black point with uniformly spaced abscissae.

See also: Centripetal Catmull–Rom spline

होने के लिए चुने गए स्पर्शरेखाओं के लिए

${\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {1}{2}}{\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{x_{k+1}-x_{k-1}}}$

कैटमुल-रोम पट्टी प्राप्त की जाती है, जो कार्डिनल पट्टी का एक विशेष मामला है। यह एक समान पैरामीटर रिक्ति मानता है।

वक्र का नाम एडविन कैटमुल और राफेल रोम के नाम पर रखा गया है। इस तकनीक का मुख्य लाभ यह है कि बिंदुओं के मूल समुच्चय के साथ बिंदु भी तख़्ता वक्र के लिए नियंत्रण बिंदु बनाते हैं। वक्र के दोनों सिरों पर दो अतिरिक्त बिंदुओं की आवश्यकता होती है। समान कैटमुल-रोम कार्यान्वयन लूप और स्व-चौराहों का उत्पादन कर सकता है। कॉर्डल और सेंट्रीपेटल कैटमुल–रोम पट्टी |सेंट्रीपेटल कैटमुल–रोम कार्यान्वयन इस समस्या को हल करें, लेकिन थोड़ी अलग गणना का उपयोग करें। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में, कैटमुल-रोम स्प्लिन्स का उपयोग अक्सर कुंजी फ़्रेमों के बीच चिकनी प्रक्षेपित गति प्राप्त करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, असतत कुंजी-फ़्रेम से उत्पन्न अधिकांश कैमरा पथ एनिमेशन को कैटमुल-रोम स्प्लिन्स का उपयोग करके नियंत्रित किया जाता है। वे मुख्य रूप से गणना करने में अपेक्षाकृत आसान होने के लिए लोकप्रिय हैं, यह गारंटी देते हैं कि प्रत्येक कुंजी फ्रेम स्थिति सटीक रूप से हिट हो जाएगी, और यह भी गारंटी है कि उत्पन्न वक्र के स्पर्शक कई खंडों पर निरंतर हैं।

प्रेमी-बार्टेल्स पट्टी

Main article: Kochanek–Bartels spline

आंकड़े बिंदुओं को दिए गए स्पर्शरेखाओं को कैसे चुनना है, इस पर एक कोचनेक-बार्टेल्स पट्टी एक और सामान्यीकरण है ${\boldsymbol {p}}_{k-1}$, ${\boldsymbol {p}}_{k}$ तथा ${\boldsymbol {p}}_{k+1}$, तीन संभावित मापदंडों के साथ: तनाव, पूर्वाग्रह और एक निरंतरता पैरामीटर।

मोनोटोन क्यूबिक इंटरपोलेशन

Main article: Monotone cubic interpolation

यदि उपरोक्त सूचीबद्ध प्रकारों में से किसी एक क्यूबिक हर्मिट पट्टी का उपयोग मोनोटोनिक फ़ंक्शन आंकड़े समुच्चय के इंटरपोलेशन के लिए किया जाता है, तो इंटरपोलेटेड फ़ंक्शन मोनोटोनिक नहीं होगा, लेकिन स्पर्शरेखाओं को समायोजित करके मोनोटोनिकिटी को संरक्षित किया जा सकता है।

== एंडपॉइंट्स == पर मिलान किए गए व्युत्पन्न के साथ यूनिट अंतराल पर इंटरपोलेशन बिंदुओं के एकल निर्देशांक पर विचार करें ${\boldsymbol {p}}_{n-1},{\boldsymbol {p}}_{n},{\boldsymbol {p}}_{n+1}$ तथा ${\boldsymbol {p}}_{n+2}$ उन मानों के रूप में जो फ़ंक्शन f(x) पूर्णांक निर्देशांक x = n − 1, n, n + 1 और n + 2 पर लेता है,

$p_{n}=f(n)\quad \forall n\in \mathbb {Z} .$

इसके अलावा, मान लें कि अंत बिंदुओं पर स्पर्शरेखाओं को आसन्न बिंदुओं के केंद्रित अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है:

$m_{n}={\frac {f(n+1)-f(n-1)}{2}}={\frac {p_{n+1}-p_{n-1}}{2}}\quad \forall n\in \mathbb {Z} .$

वास्तविक x के लिए प्रक्षेपित f(x) का मूल्यांकन करने के लिए, पहले x को पूर्णांक भाग n और भिन्नात्मक भाग u में अलग करें:

$x=n+u,$

$n=\lfloor x\rfloor =\operatorname {floor} (x),$

$u=x-n=x-\lfloor x\rfloor ,$

$0\leq u<1,$

कहाँ पे $\lfloor x\rfloor$ फ़्लोर फ़ंक्शन को दर्शाता है, जो x से बड़ा नहीं सबसे बड़ा पूर्णांक लौटाता है।

फिर कैटमुल-रोम पट्टी है : $\mathrm {T}$