गणितीय सर्वसमिका

Not to be confused with सर्वसमिका तथ्य, सर्वसमिका फंक्शन, or सर्वसमिका आव्यूह (मैट्रिक्स).

पायथागॉरियन पहचान का दृश्य प्रमाण: किसी भी कोण के लिए $\theta$, बिंदु $(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$ इकाई वृत्त पर स्थित है, जो समीकरण को संतुष्ट करता है $x^{2}+y^{2}=1$. इस प्रकार, $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$.

गणित में, एक पहचान एक गणितीय अभिव्यक्ति A से दूसरे गणितीय अभिव्यक्ति B से संबंधित एक समानता है, जैसे कि A और B (जिसमें कुछ चर शामिल हो सकते हैं) वैधता की एक निश्चित सीमा के भीतर चर के सभी मूल्यों के लिए समान मूल्य देते हैं। दूसरे शब्दों में, A = B एक पहचान है यदि ए और बी एक ही कार्य को परिभाषित करते हैं, और एक पहचान भिन्न रूप से परिभाषित कार्यों के बीच एक समानता है। उदाहरण के लिए $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ और $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ तत्समक हैं। पहचान को कभी-कभी ट्रिपल बार प्रतीक ≡ के बजाय बराबर का चिह्न = द्वारा दर्शाया जाता है।

सामान्य सर्वसमिका

बीजगणितीय सर्वसमिका

See also: गुणनखण्ड पहचानने योग्य पैटर्न

कुछ सर्वसमिकाएँ, जैसे $a+0=a$ और $a+(-a)=0$ बीजगणित का आधार बनती हैं, जबकि अन्य, जैसे $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ और $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ बीजीय व्यंजकों को सरल और विस्तृत करने के लिए उपयोगी हो सकता है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

Main article: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची

ज्यामितीय रूप से, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ एक या अधिक कोणों से कुछ कार्यों से संबंधित पहचान हैं। वे त्रिभुजों की सर्वसमिकाओं से भिन्न होते हैं, जो एक त्रिभुज के दो कोणों और भुजाओं की लंबाई की पहचान होती हैं। यह लेख केवल पूर्व को कवर करता है।

जब भी त्रिकोणमितीय कार्यों को सम्मिलित करने वाले भावों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है, तब ये सर्वसमिकाएँ उपयोगी होती हैं। एक अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग गैर-त्रिकोणमितीय कार्यों का एकीकरण है: एक सामान्य तकनीक जिसमें पहले त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के साथ प्रतिस्थापन नियम का उपयोग करना और फिर त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ परिणामी अभिन्न को सरल बनाना सम्मिलित है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के सबसे प्रमुख उदाहरणों में समीकरण $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ शामिल है, जो $\theta$ के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए सत्य है। दूसरी ओर समीकरण

$\cos \theta =1$

केवल $\theta$ के कुछ मानों के लिए सत्य है, सभी के लिए नहीं। उदाहरण के लिए, यह समीकरण तब सत्य होता है जब $\theta =0,$ होता है, लेकिन असत्य होता है जब $\theta =2$ होता है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का एक अन्य समूह तथाकथित जोड़/घटाव सूत्रों से संबंधित है (उदाहरण के लिए द्वि-कोण पहचान $\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta$ $\tan(x+y)$, के लिए अतिरिक्त सूत्र जिसका उपयोग बड़े कोणों के व्यंजकों को छोटे घटकों वाले व्यंजकों में विभाजित करने के लिए किया जा सकता है।

घातीय सर्वसमिका

Main article: Exponentiation

निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सभी पूर्णांक घातांकों के लिए मान्य हैं, बशर्ते कि आधार शून्य न हो:

${\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}$

जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक क्रमविनिमेय नहीं है। उदाहरण के लिए, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 तथा 2 · 3 = 3 · 2 = 6, लेकिन 2³ = 8 जबकि 3² = 9.

जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक भी साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 तथा (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, लेकिन 2³ से 4 तक 8 है⁴ (या 4,096) जबकि 2 से 3⁴ 2 है⁸¹ (या 2,417,851,639,229,258,349,412,352)। जब कोई कोष्ठक नहीं लिखा जाता है, तो प्रथा के अनुसार क्रम ऊपर-नीचे होता है, नीचे-ऊपर नहीं:

$b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},$ जबकि $(b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.$

लघुगणकीय पहचान

Main article: Logarithmic identities

कई महत्वपूर्ण सूत्र, जिन्हें कभी-कभी लघुगणकीय पहचान या लॉग कानून कहा जाता है, लघुगणक को एक दूसरे से संबंधित करते हैं:

गुणन, भागफल, शक्ति और मूल

किसी गुणनफल का लघुगणक गुणा की जा रही संख्याओं के लघुगणकों का योग होता है; दो संख्याओं के अनुपात का लघुगणक लघुगणक का अंतर है। का लघुगणक pसंख्या की शक्ति है p स्वयं संख्या के लघुगणक का गुणा; ए का लघुगणक pवें मूल द्वारा विभाजित संख्या का लघुगणक है p. निम्न तालिका उदाहरणों के साथ इन पहचानों को सूचीबद्ध करती है। लघुगणक परिभाषाओं के प्रतिस्थापन के बाद प्रत्येक पहचान प्राप्त की जा सकती है $x=b^{\log _{b}x},$ और/या $y=b^{\log _{b}y},$ बाएँ पक्ष में।

	Formula	Example
product	$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5$
quotient	$\log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	$\log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4$
power	$\log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$
root	$\log _{b}\!{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}$	$\log _{10}\!{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$

आधार परिवर्तन

लघुगणक लॉग_b(x) निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके मनमाने आधार k के संबंध में x और b के लघुगणक से गणना की जा सकती है:

<उद्धरण आईडी = लेबललॉगरिदमबेस चेंज>$\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.$</उद्धरण>

विशिष्ट वैज्ञानिक कैलकुलेटर 10 और ई (गणितीय स्थिरांक) के आधार पर लघुगणक की गणना करते हैं। किसी भी आधार b के संबंध में लघुगणक पिछले सूत्र द्वारा इन दो लघुगणकों में से किसी एक का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

$\log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.$

एक संख्या x और उसके लघुगणक को देखते हुए_b(x) अज्ञात आधार b के लिए, आधार निम्न द्वारा दिया गया है:

$b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.$

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य पहचान

Main article: Hyperbolic function

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य कई सर्वसमिकाओं को संतुष्ट करते हैं, वे सभी त्रिकोणमितीय पहचान के रूप में समान हैं। वास्तव में, ओसबोर्न का नियम बताता है कि कोई भी त्रिकोणमितीय पहचान को साइन और कोसाइन की पूर्णांक शक्तियों के संदर्भ में पूरी तरह से विस्तारित करके, साइन को sinh और कोसाइन को cosh में बदलकर, और प्रत्येक शब्द के चिह्न को बदलकर एक अतिपरवलयिक पहचान में परिवर्तित कर सकता है जिसमें समता का उत्पाद होता है ( गणित) अतिशयोक्तिपूर्ण साइन की संख्या। गुडरमैनियन समारोह त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस और हाइपरबॉलिक कार्यों के बीच सीधा संबंध देता है जिसमें जटिल संख्याएं शामिल नहीं होती हैं।

तर्क और सार्वभौमिक बीजगणित

औपचारिक रूप से, एक सर्वसमिका एक वास्तविक सार्वभौम परिमाणक है जो अच्छी तरह से निर्मित सूत्र#रूप का विधेय तर्क है $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,$ कहाँ पे s तथा t शब्द (तर्क) हैं जिनके अलावा कोई अन्य मुक्त चर नहीं है $x_{1},\ldots ,x_{n}.$ क्वांटिफायर उपसर्ग $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}$ अक्सर अस्पष्ट छोड़ दिया जाता है, जब यह कहा जाता है कि सूत्र एक पहचान है। उदाहरण के लिए, एक मोनोइड के सिद्धांतों को अक्सर सूत्रों के रूप में दिया जाता है

$\forall x,y,z:x*(y*z)=(x*y)*z,\quad \forall x:x*1=x,\quad \forall x:1*x=x,$

या, शीघ्र ही,

$x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x,\qquad 1*x=x.$

तो, ये सूत्र प्रत्येक मोनॉइड में सर्वसमिका हैं। किसी भी समानता के लिए, क्वांटिफायर के बिना सूत्रों को अक्सर समीकरण कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक सर्वसमिका एक समीकरण है जो चरों के सभी मानों के लिए सत्य है।

यह भी देखें

• लेखा पहचान
• गणितीय पहचान की सूची

संदर्भ

स्रोत

• Downing, Douglas (2003). बीजगणित आसान तरीका. Barrons Educational Series. ISBN 978-0-7641-1972-9.
• Kate, S.K.; Bhapkar, H.R. (2009). गणित की मूल बातें. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-755-8.
• Shirali, S. (2002). एडवेंचर्स इन प्रॉब्लम सॉल्विंग. Universities Press. ISBN 978-81-7371-413-9.

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बाहरी संबंध

• The Encyclopedia of Equation Online encyclopedia of mathematical identities (archived)
• A Collection of Algebraic Identities