अवधारित प्रणाली

गणित में, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली या बहुपद समीकरणों की एक प्रणाली को कम माना जाता है यदि अज्ञात की तुलना में कम समीकरण हैं (एक अतिवृद्धि प्रणाली के विपरीत, जहां अज्ञात की तुलना में अधिक समीकरण हैं)।बाधा गिनती की अवधारणा का उपयोग करके शब्दावली को समझाया जा सकता है।प्रत्येक चर (गणित) को स्वतंत्रता की उपलब्ध डिग्री के रूप में देखा जा सकता है।सिस्टम में पेश किए गए प्रत्येक समीकरण को एक बाधा (गणित) के रूप में देखा जा सकता है जो स्वतंत्रता की एक डिग्री को प्रतिबंधित करता है।

इसलिए, महत्वपूर्ण मामला (ओवरडिटमेटेड और अंडरडर्मीड के बीच) तब होता है जब समीकरणों की संख्या और मुक्त चर की संख्या समान होती है।स्वतंत्रता की एक डिग्री देने वाले प्रत्येक चर के लिए, स्वतंत्रता की एक डिग्री को हटाने वाली एक इसी बाधा मौजूद है।इसके विपरीत, अंडरडिटर्मेड मामला तब होता है जब सिस्टम को कम कर दिया जाता है & mdash; यानी, जब अज्ञात समीकरणों को पछाड़ते हैं।

अंडरडिटर्ड सिस्टम के समाधान

एक अंडरडिटर्ड रैखिक प्रणाली में या तो कोई समाधान या असीम रूप से कई समाधान नहीं हैं।

उदाहरण के लिए,

${\begin{aligned}x+y+z&=1\\x+y+z&=0\end{aligned}}$

बिना किसी समाधान के एक अंडरडिटर्ड सिस्टम है;कोई समाधान नहीं होने वाले समीकरणों की किसी भी प्रणाली को रैखिक समीकरणों#स्थिरता की प्रणाली कहा जाता है।दूसरी ओर, सिस्टम

${\begin{aligned}x+y+z&=1\\x+y+2z&=3\end{aligned}}$

सुसंगत है और इसमें समाधानों का एक अनंतता है, जैसे (x, y, z) = (1, −2, 2), (2, −3, 2), और (3, −4, 2)।इन सभी समाधानों को पहले समीकरण को दूसरे से घटाकर, यह दिखाने के लिए कि सभी समाधान आज्ञा मानते हैं z = 2;या तो समीकरण में इसका उपयोग करने से पता चलता है कि y का कोई भी मूल्य संभव है, साथ x = −1 − y।

अधिक विशेष रूप से, Rouché -Capelli Theorem के अनुसार, रैखिक समीकरणों की कोई भी प्रणाली (अंडरडिटर्मेड या अन्यथा) असंगत है यदि संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक (रैखिक बीजगणित) गुणांक मैट्रिक्स के रैंक से अधिक है।यदि, दूसरी ओर, इन दो मैट्रिस के रैंक समान हैं, तो सिस्टम में कम से कम एक समाधान होना चाहिए;चूंकि एक कमज़ोर प्रणाली में यह रैंक आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या से कम है, इसलिए वास्तव में समाधानों का एक अनंतता है, सामान्य समाधान के साथ k मुक्त पैरामीटर हैं जहां k चर और रैंक की संख्या के बीच अंतर है।

यह तय करने के लिए कलन विधि हैं कि क्या एक अंडरडिटर्ड सिस्टम में समाधान हैं, और यदि कोई हो, तो सभी समाधानों को चर के k के रैखिक कार्यों के रूप में व्यक्त करने के लिए (ऊपर के समान k)।सबसे सरल एक गौसियन उन्मूलन है।अधिक विवरण के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली देखें।

सजातीय मामला

सजातीय (शून्य के बराबर सभी निरंतर शब्दों के साथ) अंडरडिटर्मेड रैखिक प्रणाली में हमेशा गैर-तुच्छ समाधान होते हैं (तुच्छ समाधान के अलावा जहां सभी अज्ञात शून्य होते हैं)।इस तरह के समाधानों की एक अनंतता है, जो एक सदिश स्थल बनाते हैं, जिसका आयाम अज्ञात की संख्या और सिस्टम के मैट्रिक्स के रैंक (रैखिक बीजगणित) के बीच अंतर है।

कमतर बहुपदीय प्रणाली

रैखिक कमज़ोर प्रणालियों की मुख्य संपत्ति, या तो कोई समाधान नहीं है या असीम रूप से कई, निम्नलिखित तरीके से बहुपद समीकरणों की प्रणालियों तक फैली हुई है।

बहुपद समीकरणों की एक प्रणाली जिसमें अज्ञात की तुलना में कम समीकरण होते हैं, को कम कहा जाता है।इसमें या तो असीम रूप से कई जटिल समाधान हैं (या, अधिक आम तौर पर, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में समाधान) या असंगत है।यह असंगत है अगर और केवल अगर 0 = 1 समीकरणों के एक रैखिक संयोजन (बहुपद गुणांक के साथ) है (यह हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज़ है)।यदि n चर (t <n) में T समीकरणों की एक अंडरडिटर्मेड सिस्टम में समाधान हैं, तो सभी जटिल समाधानों का सेट कम से कम एक बीजगणितीय किस्म के आयाम का एक बीजगणितीय सेट है n - t।यदि अंडरडिटर्मेड सिस्टम को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है तो आयाम के बराबर होता है n - t संभावना के साथ एक।

अन्य बाधाओं के साथ और अनुकूलन समस्याओं के साथ कमज़ोर प्रणाली

सामान्य तौर पर, रैखिक समीकरणों की एक कमतर प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, यदि कोई हो।हालांकि, गणितीय अनुकूलन में जो रैखिक समानता की कमी के अधीन हैं, केवल समाधानों में से एक प्रासंगिक है, अर्थात् एक उद्देश्य फ़ंक्शन का उच्चतम या निम्नतम मूल्य देने वाला।

कुछ समस्याएं निर्दिष्ट करती हैं कि एक या एक से अधिक चर पूर्णांक मूल्यों को लेने के लिए विवश हैं।एक पूर्णांक बाधा पूर्णांक प्रोग्रामिंग और डायोफेंटाइन समीकरणों की समस्याओं की ओर ले जाती है, जिसमें केवल एक परिमित संख्या हो सकती है।

एक अन्य प्रकार की बाधा, जो कोडिंग सिद्धांत में दिखाई देती है, विशेष रूप से कोड और संकेत प्रसंस्करण (उदाहरण के लिए संपीड़ित संवेदन) को सही करने में त्रुटि में, चर की संख्या पर एक ऊपरी सीमा होती है जो शून्य से अलग हो सकती है।कोड को सही करने में, यह सीमा उन त्रुटियों की अधिकतम संख्या से मेल खाती है जिन्हें एक साथ ठीक किया जा सकता है।

यह भी देखें

• ओवरडिटमेटेड सिस्टम
• नियमितीकरण (गणित)