रचनात्मक प्रमाण

गणित में, रचनात्मक प्रमाण गणितीय प्रमाण का एक तरीका है जो वस्तु बनाने के लिए एक विधि बनाकर या गणितीय वस्तु के अस्तित्व को प्रदर्शित करता है। यह गैर-रचनात्मक प्रमाण के विपरीत है (जिसे एक अस्तित्व प्रमाण या अस्तित्व प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है। आने वाली मजबूत अवधारणा के साथ भ्रम से बचने के लिए, ऐसे रचनात्मक प्रमाण को कभी-कभी प्रभावी प्रमाण कहा जाता है।

रचनात्मक प्रमाण एक प्रमाण की मजबूत अवधारणा को भी संदर्भित कर सकता है जो रचनात्मक गणित में मान्य है।

रचनावाद (गणित) गणितीय दर्शन है जो उन सभी प्रमाण विधियों को अस्वीकार करता है जिनमें ऐसी वस्तुओं का अस्तित्व सम्मिलित है जो स्पष्ट रूप से निर्मित नहीं हैं। इसमें, विशेष रूप से, बहिष्कृत मध्य के नियम, अनन्तता की सूक्ति, और चुनाव की सूक्ति का उपयोग सम्मिलित नहीं है, और कुछ शब्दावली के लिए एक अलग अर्थ उत्पन्न करता है (उदाहरण के लिए, शब्द "या" रचनात्मक गणित में एक मजबूत अर्थ है शास्त्रीय में)।

कुछ गैर-रचनात्मक प्रमाण बताते हैं कि यदि कोई निश्चित प्रस्ताव गलत है, तो एक विरोधाभास सामने आता है; फलस्वरूप प्रस्ताव सत्य होना चाहिए (विरोधाभास द्वारा प्रमाण)। हालांकि, विस्फोट के सिद्धांत को रचनात्मक गणित की कुछ प्रकारों में स्वीकार किया गया है, जिसमें अंतर्ज्ञानवाद भी सम्मिलित है।

रचनात्मक प्रमाणों को प्रमाणित गणितीय कलन विधि को परिभाषित करने के रूप में देखा जा सकता है: इस विचार को रचनात्मक तर्क की ब्रोवर-हेटिंग-कोलमोगोरोव व्याख्या, प्रमाणों और कार्यक्रमों के बीच करी-हावर्ड पत्राचार, और प्रति मार्टिन-लोफ के अंतर्ज्ञानवादी प्रकार के सिद्धांत के रूप में ऐसी तार्किक प्रणालियों में खोजा गया है।

एक ऐतिहासिक उदाहरण

19वीं शताब्दी के अंत तक, सभी गणितीय प्रमाण अनिवार्य रूप से रचनात्मक थे। पहला गैर-रचनात्मक निर्माण जॉर्ज कैंटर के अनंत सम्मुच्चयों के सिद्धांत और वास्तविक संख्याओं की औपचारिक परिभाषा के साथ प्रकट हुआ।

पहले से विचार की गई समस्याओं को हल करने के लिए गैर-रचनात्मक प्रमाणों का पहला उपयोग हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्स और हिल्बर्ट के आधार प्रमेय लगता है। एक दार्शनिक दृष्टिकोण से, पूर्ववर्ती विशेष रूप से रोचक है, जैसा कि एक अच्छी तरह से निर्दिष्ट वस्तु के अस्तित्व को दर्शाता है।

नलस्टेलनसैट्ज को इस प्रकार कहा जा सकता है: यदि $f_{1},\ldots ,f_{k}$ में n बहुपद हैं, सम्मिश्र संख्या गुणांकों के साथ अनिश्चित है, जिसमें किसी प्रकार्य का कोई सामान्य जटिल शून्य नहीं है, तो बहुपद हैं $g_{1},\ldots ,g_{k}$ ऐसा है कि

$f_{1}g_{1}+\ldots +f_{k}g_{k}=1.$

इस तरह का एक गैर-रचनात्मक अस्तित्व प्रमेय उस समय के गणितज्ञों के लिए एक ऐसा आश्चर्य था कि उनमें से एक, पॉल गॉर्डन ने लिखा: यह गणित नहीं है, यह धर्मशास्त्र है।

पच्चीस साल बाद, ग्रेट हरमन ने कंप्यूटिंग के लिए एक कलन विधि $g_{1},\ldots ,g_{k},$ प्रदान की जो मजबूत अर्थों में एक रचनात्मक प्रमाण नहीं है, क्योंकि उसने हिल्बर्ट के परिणाम का प्रयोग किया था। उसने प्रमाणित कर दिया कि अगर $g_{1},\ldots ,g_{k}$ उपस्थित हैं, वे डिग्री से कम के साथ पाए जा सकते हैं

$2^{2^{n}}$.

यह एक कलन विधि प्रदान करता है, क्योंकि समस्या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम हो जाती है, अज्ञात के गुणांक की सीमित संख्या पर विचार करके $g_{i}.$

उदाहरण

अरचनात्मक प्रमाण

पहले इस प्रमेय पर विचार करें कि अभाज्य संख्याओं की अनंतता होती है। यूक्लिड का यूक्लिड का प्रमेय रचनात्मक है। लेकिन यूक्लिड के प्रमाण को सरल बनाने का एक सामान्य तरीका यह बताता है कि, प्रमेय में अभिकथन के विपरीत, उनमें से केवल एक परिमित संख्या होती है, जिस स्थिति में सबसे बड़ा एक होता है, जिसे n द्वारा निरूपित किया जाता है। फिर संख्या n पर विचार करें! + 1 (1 + प्रथम n संख्याओं का गुणनफल)। या तो यह संख्या अभाज्य है, या इसके सभी अभाज्य गुणनखंड n से अधिक हैं। किसी विशिष्ट अभाज्य संख्या को स्थापित किए बिना, यह सिद्ध करता है कि एक का अस्तित्व है जो कि n से अधिक है, जो मूल अभिधारणा के विपरीत है।

अब इस प्रमेय पर विचार करें कि वहाँ अपरिमेय संख्याएँ $a$ और $b$ उपस्थित हैं। ऐसा है कि $a^{b}$ परिमेय संख्या है। इस प्रमेय को रचनात्मक प्रमाण और गैर रचनात्मक प्रमाण दोनों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

डोव जॉर्डन द्वारा निम्नलिखित 1953 के प्रमाण को कम से कम 1970 के बाद से एक गैर-रचनात्मक प्रमाण के उदाहरण के रूप में व्यापक रूप से उपयोग किया गया है: एक साधारण प्रमाण कि एक अपरिमेय संख्या की शक्ति एक अपरिमेय प्रतिपादक के लिए तर्कसंगत हो सकती है।

${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ या तो तर्कसंगत है या तर्कहीन है। यदि यह तर्कसंगत है, तो हमारा कथन सिद्ध होता है। यदि यह तर्कहीन है, $({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}=2$ हमारे वर्णन को प्रमाणित करता है।
डोव जॉर्डन    यरूशलेम

थोड़ा और विस्तार से:

• याद करें कि ${\sqrt {2}}$ तर्कहीनता के प्रमाण का वर्गमूल, और 2 परिमेय है। $q={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ संख्या पर विचार करें, या तो यह तर्कसंगत है या यह तर्कहीन है।
• अगर $q$ तर्कसंगत है, तो प्रमेय सत्य है, जहां a और b दोनों ${\sqrt {2}}$ हैं।
• यदि $q$ अपरिमेय है, तो प्रमेय सत्य है, के साथ $a$ प्राणी ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ और $b$ ${\sqrt {2}}$ है, तब से

$\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}})}={\sqrt {2}}^{2}=2.$

इसके मूल में, यह प्रमाण गैर-रचनात्मक है क्योंकि यह कथन पर निर्भर करता है या तो q तर्कसंगत है या यह तर्कहीन है - बहिष्कृत मध्य के नियम का एक उदाहरण, जो एक रचनात्मक प्रमाण के भीतर मान्य नहीं है। गैर-रचनात्मक प्रमाण उदाहरण a और b का निर्माण नहीं करता है; यह केवल कई संभावनाएँ देता है (इस स्तिथि में, दो परस्पर अनन्य संभावनाएँ) और दिखाता है कि उनमें से एक - लेकिन यह नहीं दिखाता है कि कौनसी - वांछित उदाहरण देना चाहिए।

जैसे की वो पता चला, ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय के कारण तर्कहीन है, लेकिन यह तथ्य गैर-रचनात्मक प्रमाण की शुद्धता के लिए अप्रासंगिक है।

रचनात्मक प्रमाण

अपरिमेय की अपरिमेय शक्तियों पर उपरोक्त प्रमेय का एक रचनात्मक प्रमाण एक वास्तविक उदाहरण देगा, जैसे:

$a={\sqrt {2}}\,,\quad b=\log _{2}9\,,\quad a^{b}=3\,.$

2 का वर्गमूल अपरिमेय है, और 3 परिमेय है। $\log _{2}9$ भी तर्कहीन है: यदि यह बराबर $m \over n$ थे, फिर, लघुगणक के गुणों से, 9ⁿ 2 के बराबर होगा^m, लेकिन पूर्व विषम है, और बाद वाला सम है।

एक अधिक महत्वपूर्ण उदाहरण लेखाचित्र लघु प्रमेय है। इस प्रमेय का एक परिणाम यह है कि टोरस्र्स पर एक लेखाचित्र (असतत गणित) खींचा जा सकता है, और केवल अगर, इसका कोई भी छोटा (लेखाचित्र सिद्धांत) वर्जित नाबालिगों के एक निश्चित सीमित सम्मुच्चय से संबंधित नहीं है। हालांकि, इस परिमित समुच्चय के अस्तित्व का प्रमाण रचनात्मक नहीं है, और निषिद्ध अवयस्क वास्तव में निर्दिष्ट नहीं हैं। वे अभी भी अज्ञात हैं।

ब्रोवरियन प्रति उदाहरण

रचनात्मक गणित में, शास्त्रीय गणित की तरह, एक प्रति उदाहरण देकर एक कथन को असिद्ध किया जा सकता है। हालाँकि, यह दर्शाने के लिए कि कथन अरचनात्मक है, एक ब्रोवरियन प्रति उदाहरण देना भी संभव है। इस प्रकार के प्रति उदाहरण से पता चलता है कि कथन का अर्थ कुछ सिद्धांत है जो गैर-रचनात्मक माना जाता है। यदि यह रचनात्मक रूप से सिद्ध किया जा सकता है कि, यदि एक कथन में कुछ सिद्धांत निहित है जो रचनात्मक रूप से सिद्ध नहीं है, तो कथन स्वयं रचनात्मक रूप से सिद्ध नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, एक विशेष कथन को बहिष्कृत मध्य के नियम को लागू करने के लिए दिखाया जा सकता है। इस प्रकार के ब्रोवरियन काउंटर उदाहरण का एक उदाहरण डायकोनेस्कू का प्रमेय है, जो दर्शाता है कि पसंद का पूर्ण स्वयंसिद्ध रचनात्मक सम्मुच्चय सिद्धांत की प्रणालियों में गैर-रचनात्मक है, क्योंकि पसंद का स्वयंसिद्ध ऐसे प्रणाली में बहिष्कृत मध्य के नियम का तात्पर्य है। रचनात्मक पंट गणित का क्षेत्र इस विचार को आगे बढ़ाता है कि विभिन्न सिद्धांतों को वर्गीकृत करके वे कितने गैर-रचनात्मक हैं, यह दिखाते हुए कि वे बहिष्कृत मध्य के नियम के विभिन्न टुकड़ों के बराबर हैं।

ब्रोवर ने शक्तिहीन प्रति उदाहरण भी प्रदान किए। हालाँकि, इस तरह के प्रत्युदाहरण किसी कथन का खंडन नहीं करते हैं; वे केवल यह दिखाते हैं कि वर्तमान में, कथन का कोई रचनात्मक प्रमाण ज्ञात नहीं है। एक शक्तिहीन प्रति उदाहरण गणित की कुछ अनसुलझी समस्या को लेकर प्रारम्भ होता है, जैसे कि गोल्डबैक का अनुमान, जो पूछता है कि क्या 4 से बड़ी प्रत्येक प्राकृतिक संख्या भी दो अभाज्य संख्याओं का योग है। परिमेय संख्याओं के अनुक्रम a(n) को निम्नानुसार परिभाषित करें:

$a(n)={\begin{cases}(1/2)^{n}&{\mbox{if every even natural number in the interval }}[4,n]{\mbox{ is the sum of two primes}},\\(1/2)^{k}&{\mbox{if }}k{\mbox{ is the least even natural number in the interval }}[4,n]{\mbox{ which is not the sum of two primes}}\end{cases}}$

प्रत्येक n के लिए, a(n) का मान संपूर्ण खोज द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, और इसलिए रचनात्मक रूप से एक अच्छी तरह से परिभाषित अनुक्रम है। इसके अलावा, क्योंकि एक निश्चित दर के साथ कॉची अनुक्रम है

अभिसरण का, रचनात्मक गणित में वास्तविक संख्याओं के सामान्य उपचार के अनुसार, कुछ वास्तविक संख्या α में अभिसरण करता है।

वास्तविक संख्या α के बारे में कई तथ्यों को रचनात्मक रूप से सिद्ध किया जा सकता है। हालांकि, रचनात्मक गणित में शब्दों के विभिन्न अर्थों के आधार पर, यदि कोई रचनात्मक प्रमाण है कि α = 0 या α ≠ 0 है तो इसका मतलब यह होगा कि गोल्डबैक के अनुमान (पूर्व स्तिथि में) या एक रचनात्मक प्रमाण है कि गोल्डबैक का अनुमान झूठा है (बाद की स्तिथि में)। क्योंकि ऐसा कोई प्रमाण ज्ञात नहीं है, उद्धृत कथन में ज्ञात रचनात्मक प्रमाण भी नहीं होना चाहिए। हालांकि, यह पूरी तरह से संभव है कि गोल्डबैक के अनुमान का एक रचनात्मक प्रमाण हो सकता है (जैसा कि हम वर्तमान में नहीं जानते हैं कि क्या यह होता है), इस स्तिथि में उद्धृत कथन के पास एक रचनात्मक प्रमाण भी होगा, हालांकि वर्तमान में अज्ञात है। शक्तिहीन प्रति उदाहरणों का मुख्य व्यावहारिक उपयोग किसी समस्या की कठोरता की पहचान करना है। उदाहरण के लिए, अभी दिखाया गया प्रति उदाहरण दर्शाता है कि उद्धृत कथन गोल्डबैक के अनुमान के रूप में प्रमाणित करने के लिए कम से कम उतना ही कठिन है। इस तरह के शक्तिहीन प्रति उदाहरण प्रायः सर्वज्ञता के सीमित सिद्धांत से संबंधित होते हैं।

यह भी देखें

• रचनावाद (गणित का दर्शन)
• एरेट बिशप - "रचनात्मक विश्लेषण की नींव" पुस्तक के लेखक।
• अस्तित्व प्रमेय § 'शुद्ध' अस्तित्व परिणाम
• गैर-रचनात्मक कलन विधि अस्तित्व प्रमाण
• संभाव्य विधि

आगे की पढाई

• J. Franklin and A. Daoud (2011) Proof in Mathematics: An Introduction. Kew Books, ISBN 0-646-54509-4, ch. 4
• Hardy, G. H. & Wright, E. M. (1979) An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth Edition). Oxford University Press. ISBN 0-19-853171-0
• Anne Sjerp Troelstra and Dirk van Dalen (1988) "Constructivism in Mathematics: Volume 1" Elsevier Science. ISBN 978-0-444-70506-8

बाहरी कड़ियाँ

• Weak counterexamples by Mark van Atten, Stanford Encyclopedia of Philosophy