लेमोइन षट्भुज

लेमोइन षट्भुज, पहले लेमोइन सर्कल द्वारा परिचालित स्व-प्रतिच्छेदी कनेक्टिविटी के साथ दिखाया गया है

ज्यामिति में, लेमोइन हेक्सागोन एक त्रिकोण के किनारों के छह चौराहों और तीन रेखाओं द्वारा दिए गए वर्टेक्स (ज्यामिति) के साथ एक चक्रीय बहुभुज हेक्सागोन है जो किनारों के समानांतर होते हैं जो इसके सिम्मेडियन बिंदु से गुजरते हैं। षट्भुज की दो परिभाषाएँ हैं जो उस क्रम के आधार पर भिन्न होती हैं जिसमें शीर्ष जुड़े हुए हैं।

क्षेत्र और परिधि

लेमोइन षट्भुज को दो तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, पहले एक सरल षट्भुज के रूप में जो पहले परिभाषित किए गए चौराहों पर कोने के साथ होता है। दूसरा एक स्व-प्रतिच्छेदी षट्भुज है जिसमें तीन किनारों के रूप में सिम्मेडियन बिंदु से गुजरने वाली रेखाएँ होती हैं और अन्य तीन किनारे आसन्न कोने के जोड़े में शामिल होते हैं।

भुजाओं की लंबाई वाले त्रिभुज में खींचे गए सरल षट्भुज के लिए $a,b,c$ और क्षेत्र $\Delta$ परिधि द्वारा दिया गया है

$p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

और क्षेत्र द्वारा

$K={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta$

स्वयं प्रतिच्छेद करने वाले षट्भुज के लिए परिधि द्वारा दिया गया है

$p={\frac {\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

और क्षेत्र द्वारा

$K={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta$

परिमंडल

ज्यामिति में, पांच बिंदु एक शंकु निर्धारित करते हैं, इसलिए छह बिंदुओं के मनमाना सेट आम तौर पर एक शंकु खंड पर स्थित नहीं होते हैं, अकेले एक वृत्त को छोड़ दें। फिर भी, लेमोइन हेक्सागोन (कनेक्शन के किसी भी क्रम के साथ) एक चक्रीय बहुभुज है, जिसका अर्थ है कि इसके सभी कोने एक सामान्य वृत्त पर स्थित हैं। लेमोइन षट्भुज के परिवृत्त को पहले लेमोइन सर्कल के रूप में जाना जाता है।

संदर्भ

• Casey, John (1888), "Lemoine's, Tucker's, and Taylor's Circles", A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples (5th ed.), Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 179ff.
• Lemoine, É. (1874), "Sur quelques propriétés d'un point remarquable d'un triangle", Association francaise pour l'avancement des sciences, Congrès (002; 1873; Lyon) (in French), pp. 90–95{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link).
• Mackay, J. S. (1895), "Symmedians of a triangle and their concomitant circles", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 14: 37–103, doi:10.1017/S0013091500031758.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Lemoine Hexagon". MathWorld.