अपरूपण - मापांक

Shear modulus
Shear modulus
सामान्य प्रतीक	G, S
Si इकाई	Pa
अन्य मात्राओं से ; व्युत्पत्तियां	G = τ / γ = E / [2(1 + ν)]

अपरूपण तनाव

सामग्री विज्ञान में, कतरनी मापांक या कठोरता का मापांक, जिसे G, या कभी-कभी 'S' या 'μ' द्वारा दर्शाया जाता है, एक सामग्री की लोच (भौतिकी) कतरनी कठोरता का एक उपाय है और इसे कतरनी तनाव के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है::^[1]

G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}

कहाँ

\tau _{xy}=F/A\,

= कतरनी तनाव

F

वह शक्ति है जो कार्य करती है

A

वह क्षेत्र है जिस पर बल कार्य करता है

\gamma _{xy}

= कतरनी तनाव। इंजीनियरिंग में

:=\Delta x/l=\tan \theta

, कहीं और

:=\theta

:

\Delta x

अनुप्रस्थ विस्थापन है

l

क्षेत्र की प्रारंभिक लंबाई है।

अपरूपण मापांक की व्युत्पन्न SI इकाई पास्कल (इकाई) (Pa) है, हालाँकि इसे सामान्य रूप से गीगापास्कल (GPa) या हज़ार पाउंड प्रति वर्ग इंच (ksi) में व्यक्त किया जाता है। इसका विमीय रूप M1L−1T−2 है, बल को द्रव्यमान समय त्वरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

स्पष्टीकरण

Material	Typical values for shear modulus (GPa) (at room temperature)
Diamond^[2]	478.0
Steel^[3]	79.3
Iron^[4]	52.5
Copper^[5]	44.7
Titanium^[3]	41.4
Glass^[3]	26.2
Aluminium^[3]	25.5
Polyethylene^[3]	0.117
Rubber^[6]	0.0006
Granite^[7]^[8]	24
Shale^[7]^[8]	1.6
Limestone^[7]^[8]	24
Chalk^[7]^[8]	3.2
Sandstone^[7]^[8]	0.4
Wood	4

सामग्री की कठोरता को मापने के लिए अपरूपण मापांक कई मात्राओं में से एक है। ये सभी सामान्यीकृत हुक के नियम में उत्पन्न होते हैं:

यंग का मापांक ई इस तनाव की दिशा में एक अक्षीय तनाव के लिए सामग्री की तनाव प्रतिक्रिया का वर्णन करता है (जैसे तार के सिरों पर खींचना या स्तंभ के ऊपर भार डालना, तार लंबा होना और स्तंभ की ऊंचाई कम होना)।
प्वासों अनुपात ν इस अक्षीय प्रतिबल (तार के पतले होने और स्तम्भ के मोटे होने) की ओर्थोगोनल दिशाओं में प्रतिक्रिया का वर्णन करता है।
थोक मापांक K सामग्री की प्रतिक्रिया (समान) हाइड्रोस्टेटिक दबाव (जैसे समुद्र के तल पर दबाव या गहरे स्विमिंग पूल) का वर्णन करता है।
'अपरूपण मापांक ' G अपरूपण तनाव के लिए सामग्री की प्रतिक्रिया का वर्णन करता है (जैसे इसे सुस्त कैंची से काटने)।

ये मोडुली स्वतंत्र नहीं हैं, और आइसोट्रोपिक सामग्रियों के लिए वे समीकरणों के माध्यम से जुड़े हुए हैं :^[9]

E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu )

कतरनी मापांक एक ठोस के विरूपण से संबंधित है जब यह अपनी सतहों में से एक के समानांतर एक बल का अनुभव करता है जबकि इसका विपरीत चेहरा एक विरोधी बल (जैसे घर्षण) का अनुभव करता है। एक आयताकार प्रिज्म के आकार की वस्तु के मामले में, यह एक समानांतर चतुर्भुज में विकृत हो जाएगा। एनिस्ट्रोपिक सामग्री जैसे लकड़ी, कागज और अनिवार्य रूप से सभी एकल क्रिस्टल अलग-अलग दिशाओं में परीक्षण किए जाने पर तनाव या तनाव के लिए अलग-अलग सामग्री प्रतिक्रिया प्रदर्शित करते हैं। इस मामले में, किसी को एकल स्केलर मान के बजाय पूरे हुक के नियम#टेंसर एक्सप्रेशन ऑफ़ हुक.27s लॉ|टेन्सर-एक्सप्रेशन ऑफ़ इलास्टिक कांस्टेंट का उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है।

द्रव की एक संभावित परिभाषा शून्य अपरूपण मापांक वाली सामग्री होगी।

कतरनी तरंगें

File:SpiderGraph ShearModulus.GIF

एक विशिष्ट बेस ग्लास के कतरनी मापांक पर चयनित ग्लास घटक परिवर्धन का प्रभाव।^[10]

समांगी और समदैशिक ठोसों में दो प्रकार की तरंगें होती हैं, P तरंग और S तरंग। अपरूपण तरंग का वेग, $(v_{s})$ कतरनी मापांक द्वारा नियंत्रित किया जाता है,

v_{s}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}

कहाँ

G अपरूपण मापांक है

\rho

ठोस का घनत्व है।

धातुओं का अपरूपण मापांक

तापमान के एक समारोह के रूप में तांबे का अपरूपण मापांक। प्रायोगिक डेटा^[11]^[12]रंगीन प्रतीकों के साथ दिखाया गया है।

धातुओं का अपरूपण गुणांक आमतौर पर बढ़ते तापमान के साथ घटता देखा जाता है। उच्च दबावों पर, लागू दबाव के साथ कतरनी मापांक भी बढ़ता हुआ प्रतीत होता है। कई धातुओं में पिघलने के तापमान, रिक्ति निर्माण ऊर्जा और अपरूपण मापांक के बीच संबंध देखे गए हैं।^[13]

कई मॉडल मौजूद हैं जो धातुओं के अपरूपण मापांक (और संभवतः मिश्र धातुओं के) की भविष्यवाणी करने का प्रयास करते हैं। प्लास्टिक प्रवाह संगणना में उपयोग किए जाने वाले अपरूपण मापांक मॉडल में शामिल हैं:

एमटीएस अपरूपण मापांक द्वारा विकसित किया गया^[14] और मैकेनिकल थ्रेशोल्ड स्ट्रेस (MTS) प्लास्टिक फ्लो स्ट्रेस मॉडल के संयोजन में उपयोग किया जाता है।^[15]^[16]
स्टाइनबर्ग-कोचरन-गिनान (एससीजी) कतरनी मॉड्यूलस मॉडल द्वारा विकसित किया गया^[17] और स्टाइनबर्ग-कोचरन-गिनान-लुंड (एससीजीएल) प्रवाह तनाव मॉडल के संयोजन के साथ प्रयोग किया जाता है।
नडाल और LePoac (एनपी) कतरनी मापांक मॉडल^[12] यह तापमान निर्भरता और कतरनी मॉड्यूलस के दबाव निर्भरता के लिए एससीजी मॉडल निर्धारित करने के लिए लिंडमैन मानदंड का उपयोग करता है।

एमटीएस मॉडल

एमटीएस कतरनी मॉड्यूलस मॉडल का रूप है:

\mu (T)=\mu _{0}-{\frac {D}{\exp(T_{0}/T)-1}}

कहाँ $\mu _{0}$ कतरनी मापांक है $T=0K$ , और $D$ और $T_{0}$ भौतिक स्थिरांक हैं।

एससीजी मॉडल

स्टाइनबर्ग-कोच्रन-गिनान (SCG) कतरनी मापांक मॉडल दबाव पर निर्भर है और इसका रूप है

\mu (p,T)=\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}+{\frac {\partial \mu }{\partial T}}(T-300);\quad \eta :={\frac {\rho }{\rho _{0}}}

कहाँ, μ₀ संदर्भ स्थिति में कतरनी मॉड्यूलस है (टी = 300 के, पी = 0, η = 1), पी दबाव है, और टी तापमान है।

एनपी मॉडल

नडाल-ले पोएक (एनपी) कतरनी मॉड्यूलस मॉडल एससीजी मॉडल का एक संशोधित संस्करण है। एससीजी मॉडल में कतरनी मॉड्यूलस की अनुभवजन्य तापमान निर्भरता को लिंडेमैन मानदंड के आधार पर समीकरण के साथ बदल दिया गया है। एनपी कतरनी मॉड्यूलस मॉडल का रूप है:

\mu (p,T)={\frac {1}{{\mathcal {J}}\left({\hat {T}}\right)}}\left[\left(\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}\right)\left(1-{\hat {T}}\right)+{\frac {\rho }{Cm}}~T\right];\quad C:={\frac {\left(6\pi ^{2}\right)^{\frac {2}{3}}}{3}}f^{2}

कहाँ

{\mathcal {J}}({\hat {T}}):=1+\exp \left[-{\frac {1+1/\zeta }{1+\zeta /\left(1-{\hat {T}}\right)}}\right]\quad {\text{for}}\quad {\hat {T}}:={\frac {T}{T_{m}}}\in [0,6+\zeta ],

और μ₀ पूर्ण शून्य और परिवेशी दबाव पर अपरूपण मापांक है, ζ एक क्षेत्र है, m परमाणु द्रव्यमान है, और f लिंडमैन कसौटी है।

कतरनी छूट मापांक

कतरनी विश्राम मापांक $G(t)$ गतिशील मापांक है। कतरनी मापांक का समय-निर्भर सामान्यीकरण^[18] $G$ :

G=\lim _{t\to \infty }G(t)

.

यह भी देखें

संदर्भ

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Conversion formulae
Homogeneous isotropic linear elastic materials have their elastic properties uniquely determined by any two moduli among these; thus, given any two, any other of the elastic moduli can be calculated according to these formulas, provided both for 3D materials (first part of the table) and for 2D materials (second part).
3D formulae	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Notes
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ There are two valid solutions. The plus sign leads to $\nu \geq 0$ . The minus sign leads to $\nu \leq 0$ .
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Cannot be used when $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$
2D formulae	$K_{\mathrm {2D} }=\,$	$E_{\mathrm {2D} }=\,$	$\lambda _{\mathrm {2D} }=\,$	$G_{\mathrm {2D} }=\,$	$\nu _{\mathrm {2D} }=\,$	$M_{\mathrm {2D} }=\,$	Notes
$(K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })$			${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$
$(K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$(E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,$
$(\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	Cannot be used when $\nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0$
$(G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$
$(G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })$	$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,$		${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$

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