विभिन्न हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल के लिए तनाव घटता है।
हाइपरलास्टिक या नव-प्रत्यास्थ भौतिकी [1] लोचदार (ठोस यांत्रिकी) भौतिकी के लिए एक प्रकार का संवैधानिक समीकरण है जिसके लिए तनाव-तनाव संबंध तनाव ऊर्जा घनत्व समारोह से प्राप्त होता है। हाइपरलास्टिक भौतिकी कॉची लोचदार भौतिकी का एक विशेष मामला है।
कई सामग्रियों के लिए, रैखिक लोच मॉडल देखे गए भौतिक व्यवहार का सटीक वर्णन नहीं करते हैं। इस तरह की भौतिकी का सबसे आम उदाहरण रबर है, जिसके तनाव-तनाव (भौतिकी ) संबंध को गैर-रैखिक रूप से लोचदार, समदैशिक और असम्पीडित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरलास्टिक ऐसी सामग्रियों के तनाव-तनाव व्यवहार को मॉडलिंग करने का एक साधन प्रदान करता है।[2] वल्केनाइज्ड इलास्टोमर्स का व्यवहार अक्सर हाइपरलास्टिक आदर्श के अनुरूप होता है। भरे हुए इलास्टोमर्स और जैविक ऊतक [3] [4]
रोनाल्ड रिवलिन और मेल्विन मूनी ने नियो-हुकेन और मूनी-रिवलिन ठोस यांत्रिकी मॉडल के पहले हाइपरलास्टिक मॉडल को विकसित किया था इसके बाद से कई अन्य हाइपरलास्टिक मॉडल विकसित किए गए हैं। अन्य व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल में ओग्डेन मॉडल और अरुडा-बॉयस मॉडल सम्मिलित हैं।
हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल सबसे साधारण हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल है जो ज्यामितीय रूप से गैर-रैखिक शासन के लिए ज्यामितीय रूप से रैखिक लोचदार भौतिकी मॉडल का विस्तार है। इस मॉडल का क्रमशः सामान्य और समदैशिक रूप है।
S = C : E S = λ tr ( E ) I + 2 μ E . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}&={\boldsymbol {C}}:{\boldsymbol {E}}\\{\boldsymbol {S}}&=\lambda ~{\text{tr}}({\boldsymbol {E}}){\boldsymbol {\mathit {I}}}+2\mu {\boldsymbol {E}}{\text{.}}\end{aligned}}} जहाँ
: {\displaystyle \mathbin {:} } टेंसर संकुचन है,
S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव है,
C : R 3 × 3 → R 3 × 3 {\displaystyle {\boldsymbol {C}}:\mathbb {R} ^{3\times 3}\to \mathbb {R} ^{3\times 3}} चौथा क्रम कठोरता टेन्सर है और
E {\displaystyle {\boldsymbol {E}}} द्वारा दिया गया लैग्रैन्जियन ग्रीन स्ट्रेन है
E = 1 2 [ ( ∇ X u ) T + ∇ X u + ( ∇ X u ) T ⋅ ∇ X u ] {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{\textsf {T}}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{\textsf {T}}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\,\!} λ {\displaystyle \lambda } और
μ {\displaystyle \mu } स्थिरांक हैं और
I {\displaystyle {\boldsymbol {\mathit {I}}}} दूसरा क्रम इकाई टेन्सर है।
सेंट वेनांट-किरचॉफ मॉडल के लिए तनाव-ऊर्जा घनत्व कार्य है
W ( E ) = λ 2 [ tr ( E ) ] 2 + μ tr ( E 2 ) {\displaystyle W({\boldsymbol {E}})={\frac {\lambda }{2}}[{\text{tr}}({\boldsymbol {E}})]^{2}+\mu {\text{tr}}{\mathord {\left({\boldsymbol {E}}^{2}\right)}}} और दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव संबंध से प्राप्त किया जा सकता है
S = ∂ W ∂ E . {\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}~.} हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल का वर्गीकरण हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:
हाइपरलास्टिक भौतिकी गतिविधि का घटनात्मक विवरण
फंग
मूनी-रिवलिन
ओग्डेन (हाइपरलास्टिक मॉडल)
बहुपद (हाइपरलास्टिक मॉडल) सेंट वेनेंट-किरचॉफ
योह (हाइपरलेस्टिक मॉडल)
मार्लो (हाइपरलास्टिक मॉडल)
भौतिकी की अंतर्निहित संरचना के विषय में तर्कों से प्राप्त यांत्रिकीय मॉडल
अरुडा-बॉयस मॉडल[5]
नियो-हुकेन मॉडल [1]
बुके-सिल्बरस्टीन मॉडल[6]
यांत्रिकीय और परिघटनात्मक मॉडल के हाइब्रिड
जेंट (हाइपरलास्टिक मॉडल)
वैन डेर वाल्स (हाइपरेलेटिक मॉडल) सामान्यतः एक हाइपरलास्टिक मॉडल को ड्रकर स्थिरता मानदंड को पूर्ण करना चाहिए। और कुछ हाइपरलास्टिक मॉडल वालेनिस-लैंडल परिकल्पना को संतुष्ट करते हैं जो बताता है कि तनाव ऊर्जा कार्य को प्रमुख हिस्सों के अलग-अलग कार्यों के योग में अलग किया जा सकता है। ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}
W = f ( λ 1 ) + f ( λ 2 ) + f ( λ 3 ) . {\displaystyle W=f(\lambda _{1})+f(\lambda _{2})+f(\lambda _{3})\,.} तनाव-तनाव संबंध संकुचित हाइपरलास्टिक भौतिकी पहला पिओला-किरचॉफ तनाव अगर W ( F ) {\displaystyle W({\boldsymbol {F}})}
P = ∂ W ∂ F or P i K = ∂ W ∂ F i K . {\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}={\frac {\partial W}{\partial F_{iK}}}.}
कहाँ
F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} विरूपण ढाल है। परिमित विकृति सिद्धांत के संदर्भ में # परिमित विकृति टेंसर (
E {\displaystyle {\boldsymbol {E}}} )
P = F ⋅ ∂ W ∂ E or P i K = F i L ∂ W ∂ E L K . {\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}=F_{iL}~{\frac {\partial W}{\partial E_{LK}}}~.}
परिमित तनाव सिद्धांत के संदर्भ में | सही कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर (
C {\displaystyle {\boldsymbol {C}}} )
P = 2 F ⋅ ∂ W ∂ C or P i K = 2 F i L ∂ W ∂ C L K . {\displaystyle {\boldsymbol {P}}=2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}=2~F_{iL}~{\frac {\partial W}{\partial C_{LK}}}~.}
दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव अगर S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
S = F − 1 ⋅ ∂ W ∂ F or S I J = F I k − 1 ∂ W ∂ F k J . {\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}{\frac {\partial W}{\partial F_{kJ}}}~.}
परिमित तनाव सिद्धांत के संदर्भ में # परिमित तनाव टेंसर
S = ∂ W ∂ E or S I J = ∂ W ∂ E I J . {\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}={\frac {\partial W}{\partial E_{IJ}}}~.}
परिमित तनाव सिद्धांत के संदर्भ में | सही कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर
S = 2 ∂ W ∂ C or S I J = 2 ∂ W ∂ C I J . {\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}=2~{\frac {\partial W}{\partial C_{IJ}}}~.}
उपरोक्त संबंध को भौतिक विन्यास में डॉयल-एरिक्सन सूत्र के रूप में भी जाना जाता है।
कौशी तनाव इसी प्रकार, तनाव (भौतिकी) द्वारा दिया जाता है
σ = 1 J ∂ W ∂ F ⋅ F T ; J := det F or σ i j = 1 J ∂ W ∂ F i K F j K . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}~;~~J:=\det {\boldsymbol {F}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {1}{J}}~{\frac {\partial W}{\partial F_{iK}}}~F_{jK}~.}
परिमित तनाव सिद्धांत के संदर्भ में # परिमित तनाव टेंसर
σ = 1 J F ⋅ ∂ W ∂ E ⋅ F T or σ i j = 1 J F i K ∂ W ∂ E K L F j L . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {1}{J}}~F_{iK}~{\frac {\partial W}{\partial E_{KL}}}~F_{jL}~.}
परिमित तनाव सिद्धांत के संदर्भ में | सही कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर
σ = 2 J F ⋅ ∂ W ∂ C ⋅ F T or σ i j = 2 J F i K ∂ W ∂ C K L F j L . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {2}{J}}~F_{iK}~{\frac {\partial W}{\partial C_{KL}}}~F_{jL}~.}
उपरोक्त भाव अनिसोट्रोपिक मीडिया के लिए भी मान्य हैं (जिस स्थिति में, संभावित कार्य को प्रारंभिक फाइबर ओरिएंटेशन जैसे संदर्भ दिशात्मक मात्राओं पर निहित रूप से निर्भर करने के लिए समझा जाता है)। आइसोट्रॉपी के विशेष मामले में, कॉची तनाव को बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
[7] σ = 2 J ∂ W ∂ B ⋅ B or σ i j = 2 J B i k ∂ W ∂ B k j . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {B}}}}\cdot ~{\boldsymbol {B}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {2}{J}}~B_{ik}~{\frac {\partial W}{\partial B_{kj}}}~.}
असंपीड्य हाइपरलास्टिक भौतिकी एक असंपीड्य भौतिकी के लिए J := det F = 1 {\displaystyle J:=\det {\boldsymbol {F}}=1} J − 1 = 0 {\displaystyle J-1=0}
W = W ( F ) − p ( J − 1 ) {\displaystyle W=W({\boldsymbol {F}})-p~(J-1)}
जहां हाइड्रोस्टेटिक दबाव
p {\displaystyle p} असंपीड्यता बाधा को लागू करने के लिए
लैग्रेंज गुणक के रूप में कार्य करता है। पहला पिओला-किरचॉफ तनाव अब बन गया है
P = − p J F − T + ∂ W ∂ F = − p F − T + F ⋅ ∂ W ∂ E = − p F − T + 2 F ⋅ ∂ W ∂ C . {\displaystyle {\boldsymbol {P}}=-p~J{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}=-p~{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}=-p~{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}~.}
यह तनाव टेन्सर बाद में तनाव (भौतिकी) में से किसी भी अन्य पारंपरिक तनाव टेन्सर में हो सकता है, जैसे
कॉची तनाव टेन्सर जो द्वारा दिया गया है
σ = P ⋅ F T = − p 1 + ∂ W ∂ F ⋅ F T = − p 1 + F ⋅ ∂ W ∂ E ⋅ F T = − p 1 + 2 F ⋅ ∂ W ∂ C ⋅ F T . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}~.}
कॉची तनाव के लिए भाव संपीड़ित आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक सामग्रियों के लिए, कॉची तनाव को परिमित तनाव सिद्धांत के अपरिवर्तनीय के रूप में व्यक्त किया जा सकता है राइट कॉची-ग्रीन डिफॉर्मेशन टेंसर)। यदि तनाव ऊर्जा घनत्व समारोह है
W ( F ) = W ^ ( I 1 , I 2 , I 3 ) = W ¯ ( I ¯ 1 , I ¯ 2 , J ) = W ~ ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) , {\displaystyle W({\boldsymbol {F}})={\hat {W}}(I_{1},I_{2},I_{3})={\bar {W}}({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J)={\tilde {W}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}),} तब
σ = 2 I 3 [ ( ∂ W ^ ∂ I 1 + I 1 ∂ W ^ ∂ I 2 ) B − ∂ W ^ ∂ I 2 B ⋅ B ] + 2 I 3 ∂ W ^ ∂ I 3 1 = 2 J [ 1 J 2 / 3 ( ∂ W ¯ ∂ I ¯ 1 + I ¯ 1 ∂ W ¯ ∂ I ¯ 2 ) B − 1 J 4 / 3 ∂ W ¯ ∂ I ¯ 2 B ⋅ B ] + [ ∂ W ¯ ∂ J − 2 3 J ( I ¯ 1 ∂ W ¯ ∂ I ¯ 1 + 2 I ¯ 2 ∂ W ¯ ∂ I ¯ 2 ) ] 1 = 2 J [ ( ∂ W ¯ ∂ I ¯ 1 + I ¯ 1 ∂ W ¯ ∂
(इन प्रतीकों की परिभाषाओं के लिए परिमित तनाव सिद्धांत # द लेफ्ट कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर पर पृष्ठ देखें। लेफ्ट कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर)।
Proof 1
The second Piola–Kirchhoff stress tensor for a hyperelastic material is given by
S = 2 ∂ W ∂ C {\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}}
where
C = F T ⋅ F {\displaystyle {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}} is the
right Cauchy–Green deformation tensor and
F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} is the
deformation gradient . The
Cauchy stress is given by
σ = 1 J F ⋅ S ⋅ F T = 2 J F ⋅ ∂ W ∂ C ⋅ F T {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}
where
J = det F {\displaystyle J=\det {\boldsymbol {F}}} . Let
I 1 , I 2 , I 3 {\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}} be the three principal invariants of
C {\displaystyle {\boldsymbol {C}}} . Then
∂ W ∂ C = ∂ W ∂ I 1 ∂ I 1 ∂ C + ∂ W ∂ I 2 ∂ I 2 ∂ C + ∂ W ∂ I 3 ∂ I 3 ∂ C . {\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}~.}
The
derivatives of the invariants of the symmetric tensor
C {\displaystyle {\boldsymbol {C}}} are
∂ I 1 ∂ C = 1 ; ∂ I 2 ∂ C = I 1 1 − C ; ∂ I 3 ∂ C = det ( C ) C − 1 {\displaystyle {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}~;~~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}=I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {C}}~;~~{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}=\det({\boldsymbol {C}})~{\boldsymbol {C}}^{-1}}
Therefore, we can write
∂ W ∂ C = ∂ W ∂ I 1 1 + ∂ W ∂ I 2 ( I 1 1 − F T ⋅ F ) + ∂ W ∂ I 3 I 3 F − 1 ⋅ F − T . {\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~I_{3}~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~.}
Plugging into the expression for the Cauchy stress gives
σ = 2 J [ ∂ W ∂ I 1 F ⋅ F T + ∂ W ∂ I 2 ( I 1 F ⋅ F T − F ⋅ F T ⋅ F ⋅ F T ) + ∂ W ∂ I 3 I 3 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~\left[{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}-{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T})+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~I_{3}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\right]}
Using the
left Cauchy–Green deformation tensor B = F ⋅ F T {\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}} and noting that
I 3 = J 2 {\displaystyle I_{3}=J^{2}} , we can write
σ = 2 I 3 [ ( ∂ W ∂ I 1 + I 1 ∂ W ∂ I 2 ) B − ∂ W ∂ I 2 B ⋅ B ] + 2 I 3 ∂ W ∂ I 3 1 . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}
For an
incompressible material
I 3 = 1 {\displaystyle I_{3}=1} and hence
W = W ( I 1 , I 2 ) {\displaystyle W=W(I_{1},I_{2})} .Then
∂ W ∂ C = ∂ W ∂ I 1 ∂ I 1 ∂ C + ∂ W ∂ I 2 ∂ I 2 ∂ C = ∂ W ∂ I 1 1 + ∂ W ∂ I 2 ( I 1 1 − F T ⋅ F ) {\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})}
Therefore, the Cauchy stress is given by
σ = 2 [ ( ∂ W ∂ I 1 + I 1 ∂ W ∂ I 2 ) B − ∂ W ∂ I 2 B ⋅ B ] − p 1 . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}
where
p {\displaystyle p} is an undetermined pressure which acts as a
Lagrange multiplier to enforce the incompressibility constraint.
If, in addition, I 1 = I 2 {\displaystyle I_{1}=I_{2}} W = W ( I 1 ) {\displaystyle W=W(I_{1})}
∂ W ∂ C = ∂ W ∂ I 1 ∂ I 1 ∂ C = ∂ W ∂ I 1 1 {\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}}
In that case the Cauchy stress can be expressed as
σ = 2 ∂ W ∂ I 1 B − p 1 . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.} Proof 2
The isochoric deformation gradient is defined as F ¯ := J − 1 / 3 F {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {F}}}:=J^{-1/3}{\boldsymbol {F}}} B ¯ := F ¯ ⋅ F ¯ T = J − 2 / 3 B {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}:={\bar {\boldsymbol {F}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {F}}}^{T}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}} B ¯ {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}}
I ¯ 1 = tr ( B ¯ ) = J − 2 / 3 tr ( B ) = J − 2 / 3 I 1 I ¯ 2 = 1 2 ( tr ( B ¯ ) 2 − tr ( B ¯ 2 ) ) = 1 2 ( ( J − 2 / 3 tr ( B ) ) 2 − tr ( J − 4 / 3 B 2 ) ) = J − 4 / 3 I 2 I ¯ 3 = det ( B ¯ ) = J − 6 / 3 det ( B ) = J − 2 I 3 = J − 2 J 2 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&={\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}})=J^{-2/3}{\text{tr}}({\boldsymbol {B}})=J^{-2/3}I_{1}\\{\bar {I}}_{2}&={\frac {1}{2}}\left({\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}})^{2}-{\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}}^{2})\right)={\frac {1}{2}}\left(\left(J^{-2/3}{\text{tr}}({\boldsymbol {B}})\right)^{2}-{\text{tr}}(J^{-4/3}{\boldsymbol {B}}^{2})\right)=J^{-4/3}I_{2}\\{\bar {I}}_{3}&=\det({\bar {\boldsymbol {B}}})=J^{-6/3}\det({\boldsymbol {B}})=J^{-2}I_{3}=J^{-2}J^{2}=1\end{aligned}}}
The set of invariants which are used to define the distortional behavior are the first two invariants of the isochoric left Cauchy–Green deformation tensor tensor, (which are identical to the ones for the right Cauchy Green stretch tensor), and add
J {\displaystyle J} into the fray to describe the volumetric behaviour.
To express the Cauchy stress in terms of the invariants I ¯ 1 , I ¯ 2 , J {\displaystyle {\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J}
I ¯ 1 = J − 2 / 3 I 1 = I 3 − 1 / 3 I 1 ; I ¯ 2 = J − 4 / 3 I 2 = I 3 − 2 / 3 I 2 ; J = I 3 1 / 2 . {\displaystyle {\bar {I}}_{1}=J^{-2/3}~I_{1}=I_{3}^{-1/3}~I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}=J^{-4/3}~I_{2}=I_{3}^{-2/3}~I_{2}~;~~J=I_{3}^{1/2}~.}
The chain rule of differentiation gives us
∂ W ∂ I 1 = ∂ W ∂ I ¯ 1 ∂ I ¯ 1 ∂ I 1 + ∂ W ∂ I ¯ 2 ∂ I ¯ 2 ∂ I 1 + ∂ W ∂ J ∂ J ∂ I 1 = I 3 − 1 / 3 ∂ W ∂ I ¯ 1 = J − 2 / 3 ∂ W ∂ I ¯ 1 ∂ W ∂ I 2 = ∂ W ∂ I ¯ 1 ∂ I ¯ 1 ∂ I 2 + ∂ W ∂ I ¯ 2 ∂ I ¯ 2 ∂ I 2 + ∂ W ∂ J ∂ J ∂ I 2 = I 3 − 2 / 3 ∂ W ∂ I ¯ 2 = J − 4 / 3 ∂ W ∂ I ¯ 2 ∂ W ∂ I 3 = ∂ W ∂ I ¯ 1 ∂
Recall that the Cauchy stress is given by
σ = 2 I 3 [ ( ∂ W ∂ I 1 + I 1 ∂ W ∂ I 2 ) B − ∂ W ∂ I 2 B ⋅ B ] + 2 I 3 ∂ W ∂ I 3 1 . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}
In terms of the invariants
I ¯ 1 , I ¯ 2 , J {\displaystyle {\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J} we have
σ = 2 J [ ( ∂ W ∂ I 1 + J 2 / 3 I ¯ 1 ∂ W ∂ I 2 ) B − ∂ W ∂ I 2 B ⋅ B ] + 2 J ∂ W ∂ I 3 1 . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+J^{2/3}~{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~J~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}
Plugging in the expressions for the derivatives of
W {\displaystyle W} in terms of
I ¯ 1 , I ¯ 2 , J {\displaystyle {\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J} , we have
σ = 2 J [ ( J − 2 / 3 ∂ W ∂ I ¯ 1 + J − 2 / 3 I ¯ 1 ∂ W ∂ I ¯ 2 ) B − J − 4 / 3 ∂ W ∂ I ¯ 2 B ⋅ B ] + 2 J [ − 1 3 J − 2 ( I ¯ 1 ∂ W ∂ I ¯ 1 + 2 I ¯ 2 ∂ W ∂ I ¯ 2 ) + 1 2 J − 1 ∂ W ∂ J ] 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{J}}~\left[\left(J^{-2/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+J^{-2/3}~{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-J^{-4/3}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\\&\qquad 2~J~\left[-{\frac {1}{3}}~J^{-2}~\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}~J^{-1}~{\frac {\partial W}{\partial J}}\right]~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}}
or,
σ = 2 J [ 1 J 2 / 3 ( ∂ W ∂ I ¯ 1 + I ¯ 1 ∂ W ∂ I ¯ 2 ) B − 1 J 4 / 3 ∂ W ∂ I ¯ 2 B ⋅ B ] + [ ∂ W ∂ J − 2 3 J ( I ¯ 1 ∂ W ∂ I ¯ 1 + 2 I ¯ 2 ∂ W ∂ I ¯ 2 ) ] 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{J}}~\left[{\frac {1}{J^{2/3}}}~\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {1}{J^{4/3}}}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]\\&\qquad +\left[{\frac {\partial W}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}}
In terms of the deviatoric part of
B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} , we can write
σ = 2 J [ ( ∂ W ∂ I ¯ 1 + I ¯ 1 ∂ W ∂ I ¯ 2 ) B ¯ − ∂ W ∂ I ¯ 2 B ¯ ⋅ B ¯ ] + [ ∂ W ∂ J − 2 3 J ( I ¯ 1 ∂ W ∂ I ¯ 1 + 2 I ¯ 2 ∂ W ∂ I ¯ 2 ) ] 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\frac {2}{J}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]\\&\qquad +\left[{\frac {\partial W}{\partial J}}-{\frac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}}
For an
incompressible material
J = 1 {\displaystyle J=1} and hence
W = W ( I ¯ 1 , I ¯ 2 ) {\displaystyle W=W({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2})} .Then
the Cauchy stress is given by
σ = 2 [ ( ∂ W ∂ I ¯ 1 + I 1 ∂ W ∂ I ¯ 2 ) B ¯ − ∂ W ∂ I ¯ 2 B ¯ ⋅ B ¯ ] − p 1 . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}
where
p {\displaystyle p} is an undetermined pressure-like Lagrange multiplier term. In addition, if
I ¯ 1 = I ¯ 2 {\displaystyle {\bar {I}}_{1}={\bar {I}}_{2}} , we have
W = W ( I ¯ 1 ) {\displaystyle W=W({\bar {I}}_{1})} and hence
the Cauchy stress can be expressed as
σ = 2 ∂ W ∂ I ¯ 1 B ¯ − p 1 . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.} Proof 3
To express the Cauchy stress in terms of the stretches λ 1 , λ 2 , λ 3 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}
∂ λ i ∂ C = 1 2 λ i R T ⋅ ( n i ⊗ n i ) ⋅ R ; i = 1 , 2 , 3 . {\displaystyle {\frac {\partial \lambda _{i}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {1}{2\lambda _{i}}}~{\boldsymbol {R}}^{T}\cdot (\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})\cdot {\boldsymbol {R}}~;~~i=1,2,3~.}
The chain rule gives
∂ W ∂ C = ∂ W ∂ λ 1 ∂ λ 1 ∂ C + ∂ W ∂ λ 2 ∂ λ 2 ∂ C + ∂ W ∂ λ 3 ∂ λ 3 ∂ C = R T ⋅ [ 1 2 λ 1 ∂ W ∂ λ 1 n 1 ⊗ n 1 + 1 2 λ 2 ∂ W ∂ λ 2 n 2 ⊗ n 2 + 1 2 λ 3 ∂ W ∂ λ 3 n 3 ⊗ n 3 ] ⋅ R {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}&={\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~{\frac {\partial \lambda _{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~{\frac {\partial \lambda _{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~{\frac {\partial \lambda _{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\\&={\boldsymbol {R}}^{T}\cdot \left[{\frac {1}{2\lambda _{1}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\frac {1}{2\lambda _{2}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\frac {1}{2\lambda _{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]\cdot {\boldsymbol {R}}\end{aligned}}}
The Cauchy stress is given by
σ = 2 J F ⋅ ∂ W ∂ C ⋅ F T = 2 J ( V ⋅ R ) ⋅ ∂ W ∂ C ⋅ ( R T ⋅ V ) {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\frac {2}{J}}~({\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {R}})\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot ({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {V}})}
Plugging in the expression for the derivative of
W {\displaystyle W} leads to
σ = 2 J V ⋅ [ 1 2 λ 1 ∂ W ∂ λ 1 n 1 ⊗ n 1 + 1 2 λ 2 ∂ W ∂ λ 2 n 2 ⊗ n 2 + 1 2 λ 3 ∂ W ∂ λ 3 n 3 ⊗ n 3 ] ⋅ V {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {V}}\cdot \left[{\frac {1}{2\lambda _{1}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\frac {1}{2\lambda _{2}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\frac {1}{2\lambda _{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]\cdot {\boldsymbol {V}}}
Using the
spectral decomposition of
V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} we have
V ⋅ ( n i ⊗ n i ) ⋅ V = λ i 2 n i ⊗ n i ; i = 1 , 2 , 3. {\displaystyle {\boldsymbol {V}}\cdot (\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})\cdot {\boldsymbol {V}}=\lambda _{i}^{2}~\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}~;~~i=1,2,3.}
Also note that
J = det ( F ) = det ( V ) det ( R ) = det ( V ) = λ 1 λ 2 λ 3 . {\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=\det({\boldsymbol {V}})\det({\boldsymbol {R}})=\det({\boldsymbol {V}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}~.}
Therefore, the expression for the Cauchy stress can be written as
σ = 1 λ 1 λ 2 λ 3 [ λ 1 ∂ W ∂ λ 1 n 1 ⊗ n 1 + λ 2 ∂ W ∂ λ 2 n 2 ⊗ n 2 + λ 3 ∂ W ∂ λ 3 n 3 ⊗ n 3 ] {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~\left[\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]}
For an
incompressible material
λ 1 λ 2 λ 3 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1} and hence
W = W ( λ 1 , λ 2 ) {\displaystyle W=W(\lambda _{1},\lambda _{2})} . Following Ogden
[1] p. 485, we may write
σ = λ 1 ∂ W ∂ λ 1 n 1 ⊗ n 1 + λ 2 ∂ W ∂ λ 2 n 2 ⊗ n 2 + λ 3 ∂ W ∂ λ 3 n 3 ⊗ n 3 − p 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~}
Some care is required at this stage because, when an eigenvalue is repeated, it is in general only
Gateaux differentiable , but not
Fréchet differentiable .
[8] [9] A rigorous
tensor derivative can only be found by solving another eigenvalue problem.
If we express the stress in terms of differences between components,
σ 11 − σ 33 = λ 1 ∂ W ∂ λ 1 − λ 3 ∂ W ∂ λ 3 ; σ 22 − σ 33 = λ 2 ∂ W ∂ λ 2 − λ 3 ∂ W ∂ λ 3 {\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}}
If in addition to incompressibility we have
λ 1 = λ 2 {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}} then a possible solution to the problem
requires
σ 11 = σ 22 {\displaystyle \sigma _{11}=\sigma _{22}} and we can write the stress differences as
σ 11 − σ 33 = σ 22 − σ 33 = λ 1 ∂ W ∂ λ 1 − λ 3 ∂ W ∂ λ 3 {\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}} असंपीड्य आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी असम्पीडित आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए, तनाव ऊर्जा घनत्व कार्य है W ( F ) = W ^ ( I 1 , I 2 ) {\displaystyle W({\boldsymbol {F}})={\hat {W}}(I_{1},I_{2})}
σ = − p 1 + 2 [ ( ∂ W ^ ∂ I 1 + I 1 ∂ W ^ ∂ I 2 ) B − ∂ W ^ ∂ I 2 B ⋅ B ] = − p 1 + 2 [ ( ∂ W ∂ I ¯ 1 + I 1 ∂ W ∂ I ¯ 2 ) B ¯ − ∂ W ∂ I ¯ 2 B ¯ ⋅ B ¯ ] = − p 1 + λ 1 ∂ W ∂ λ 1 n 1 ⊗ n 1 + λ 2 ∂ W ∂ λ 2 n 2 ⊗ n 2 + λ 3 ∂ W ∂ λ 3 n 3 ⊗ n 3 {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2\left[\left({\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]\\&=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\frac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]\\&=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\end{aligned}}}
कहाँ
p {\displaystyle p} एक अनिश्चित दबाव है। तनाव के अंतर के संदर्भ में
σ 11 − σ 33 = λ 1 ∂ W ∂ λ 1 − λ 3 ∂ W ∂ λ 3 ; σ 22 − σ 33 = λ 2 ∂ W ∂ λ 2 − λ 3 ∂ W ∂ λ 3 {\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}}
अगर इसके अलावा
I 1 = I 2 {\displaystyle I_{1}=I_{2}} , तब
σ = 2 ∂ W ∂ I 1 B − p 1 . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}
अगर
λ 1 = λ 2 {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}} , तब
σ 11 − σ 33 = σ 22 − σ 33 = λ 1 ∂ W ∂ λ 1 − λ 3 ∂ W ∂ λ 3 {\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}}
रैखिक लोच के साथ संगति रैखिक लोच के साथ संगति का उपयोग अक्सर हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल के कुछ मापदंडों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इन स्थिरता स्थितियों को हुक के कानून की तुलना छोटे उपभेदों पर रैखिककृत हाइपरलास्टिकिटी के साथ करके पाया जा सकता है।
=== आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक मॉडल === के लिए संगति की स्थिति
आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए आइसोट्रोपिक रैखिक लोच के अनुरूप होने के लिए, तनाव-तनाव संबंध में इनफिनिटिमल तनाव सिद्धांत सीमा में निम्न रूप होना चाहिए:
σ = λ t r ( ε ) 1 + 2 μ ε {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda ~\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}
कहाँ
λ , μ {\displaystyle \lambda ,\mu } लमे स्थिरांक हैं। उपरोक्त संबंध से मेल खाने वाला तनाव ऊर्जा घनत्व कार्य है
[1] W = 1 2 λ [ t r ( ε ) ] 2 + μ t r ( ε 2 ) {\displaystyle W={\tfrac {1}{2}}\lambda ~[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}+\mu ~\mathrm {tr} {\mathord {\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2}\right)}}}
एक असंपीड्य भौतिकी के लिए
t r ( ε ) = 0 {\displaystyle \mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=0} और हमारे पास है
W = μ t r ( ε 2 ) {\displaystyle W=\mu ~\mathrm {tr} {\mathord {\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2}\right)}}}
किसी भी तनाव ऊर्जा घनत्व समारोह के लिए
W ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) {\displaystyle W(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})} छोटे उपभेदों के लिए उपरोक्त रूपों को कम करने के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा
[1] W ( 1 , 1 , 1 ) = 0 ; ∂ W ∂ λ i ( 1 , 1 , 1 ) = 0 ∂ 2 W ∂ λ i ∂ λ j ( 1 , 1 , 1 ) = λ + 2 μ δ i j {\displaystyle {\begin{aligned}&W(1,1,1)=0~;~~{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}(1,1,1)=0\\&{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}(1,1,1)=\lambda +2\mu \delta _{ij}\end{aligned}}}
यदि भौतिकी असंपीड्य है, तो उपरोक्त शर्तों को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
W ( 1 , 1 , 1 ) = 0 ∂ W ∂ λ i ( 1 , 1 , 1 ) = ∂ W ∂ λ j ( 1 , 1 , 1 ) ; ∂ 2 W ∂ λ i 2 ( 1 , 1 , 1 ) = ∂ 2 W ∂ λ j 2 ( 1 , 1 , 1 ) ∂ 2 W ∂ λ i ∂ λ j ( 1 , 1 , 1 ) = i n d e p e n d e n t o f i , j ≠ i ∂ 2 W ∂ λ i 2 ( 1 , 1 , 1 ) − ∂ 2 W ∂ λ i ∂ λ j ( 1 , 1 , 1 ) + ∂ W ∂ λ i ( 1 , 1 , 1 ) = 2 μ ( i ≠ j ) {\displaystyle {\begin{aligned}&W(1,1,1)=0\\&{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}(1,1,1)={\frac {\partial W}{\partial \lambda _{j}}}(1,1,1)~;~~{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}^{2}}}(1,1,1)={\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{j}^{2}}}(1,1,1)\\&{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}(1,1,1)=\mathrm {independentof} ~i,j\neq i\\&{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}^{2}}}(1,1,1)-{\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}(1,1,1)+{\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}(1,1,1)=2\mu ~~(i\neq j)\end{aligned}}}
इन स्थितियों का उपयोग किसी दिए गए हाइपरलास्टिक मॉडल और कतरनी और थोक मोडुली के पैरामीटर के बीच संबंधों को खोजने के लिए किया जा सकता है।
असम्पीडित के लिए संगति की स्थिति I 1 कई इलास्टोमर्स को तनाव ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन द्वारा पर्याप्त रूप से तैयार किया जाता है जो कि केवल पर निर्भर करता है I 1 {\displaystyle I_{1}} W = W ( I 1 ) {\displaystyle W=W(I_{1})} I 1 = 3 , λ i = λ j = 1 {\displaystyle I_{1}=3,\lambda _{i}=\lambda _{j}=1}
W ( I 1 ) | I 1 = 3 = 0 and ∂ W ∂ I 1 | I 1 = 3 = μ 2 . {\displaystyle \left.W(I_{1})\right|_{I_{1}=3}=0\quad {\text{and}}\quad \left.{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}\right|_{I_{1}=3}={\frac {\mu }{2}}\,.}
ऊपर दी गई दूसरी स्थिरता की स्थिति को ध्यान में रखते हुए प्राप्त किया जा सकता है
∂ W ∂ λ i = ∂ W ∂ I 1 ∂ I 1 ∂ λ i = 2 λ i ∂ W ∂ I 1 and ∂ 2 W ∂ λ i ∂ λ j = 2 δ i j ∂ W ∂ I 1 + 4 λ i λ j ∂ 2 W ∂ I 1 2 . {\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial \lambda _{i}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}{\frac {\partial I_{1}}{\partial \lambda _{i}}}=2\lambda _{i}{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial ^{2}W}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}=2\delta _{ij}{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+4\lambda _{i}\lambda _{j}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial I_{1}^{2}}}\,.}
इन संबंधों को तब आइसोट्रोपिक असंपीड्य हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए स्थिरता की स्थिति में प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
संदर्भ
↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 R.W. Ogden, 1984, Non-Linear Elastic Deformations , ISBN 0-486-69648-0 , Dover.
↑ Muhr, A. H. (2005). "Modeling the stress–strain behavior of rubber". Rubber Chemistry and Technology . 78 (3): 391–425. doi :10.5254/1.3547890 . ↑ Gao, H; Ma, X; Qi, N; Berry, C; Griffith, BE; Luo, X (2014). "द्रव-संरचना अंतःक्रिया के साथ एक परिमित तनाव अरैखिक मानव माइट्रल वाल्व मॉडल" . Int J Numer Method Biomed Eng . 30 (12): 1597–613. doi :10.1002/cnm.2691 . PMC 4278556 PMID 25319496 . ↑ Jia, F; Ben Amar, M; Billoud, B; Charrier, B (2017). "Morphoelasticity in the development of brown alga Ectocarpus siliculosus : from cell rounding to branching" . J R Soc Interface . 14 (127): 20160596. doi :10.1098/rsif.2016.0596 . PMC 5332559 PMID 28228537 . ↑ Arruda, E.M.; Boyce, M.C. (1993). "रबर लोचदार सामग्री के बड़े खिंचाव व्यवहार के लिए एक त्रि-आयामी मॉडल" (PDF) . J. Mech. Phys. Solids . 41 : 389–412. doi :10.1016/0022-5096(93)90013-6 . S2CID 136924401 . ↑ Buche, M.R.; Silberstein, M.N. (2020). "Statistical mechanical constitutive theory of polymer networks: The inextricable links between distribution, behavior, and ensemble". Phys. Rev. E . 102 (1): 012501. arXiv :2004.07874 doi :10.1103/PhysRevE.102.012501 . PMID 32794915 . S2CID 215814600 . ↑ Y. Basar, 2000, Nonlinear continuum mechanics of solids, Springer, p. 157.
↑ Fox & Kapoor, Rates of change of eigenvalues and eigenvectors , AIAA Journal , 6 (12) 2426–2429 (1968)
↑ Friswell MI. The derivatives of repeated eigenvalues and their associated eigenvectors. Journal of Vibration and Acoustics (ASME) 1996; 118:390–397.
यह भी देखें
