डायमंड सिद्धांत

गणित में, और विशेष रूप से स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में हीरा सिद्धांत ◊ में रोनाल्ड जेन्सेन द्वारा पेश किया गया एक संयोजन सिद्धांत है Jensen (1972) जो रचनात्मक ब्रह्मांड में है (L) और इसका तात्पर्य सातत्य परिकल्पना से है। जेन्सेन ने हीरे के सिद्धांत को अपने प्रमाण से निकाला कि निर्माण की स्वयंसिद्धता (V = L) एक सुस्लिन वृक्ष के अस्तित्व का तात्पर्य है।

परिभाषाएँ

हीरा सिद्धांत ◊ कहते हैं कि एक मौजूद है◊-sequence, सेट का एक परिवार A_α ⊆ α के लिए α < ω₁ ऐसा कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए A प्रथम बेशुमार क्रमसूचक |ω₁के समुच्चय α साथ A ∩ α = A_α में स्थिर है ω₁.

हीरा सिद्धांत के कई समतुल्य रूप हैं। एक कहता है कि एक गणनीय संग्रह है A_α के सबसेट का α प्रत्येक गणनीय अध्यादेश के लिए α ऐसा कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए A का ω₁ एक स्थिर उपसमुच्चय है C का ω₁ ऐसा कि सभी के लिए α में C अपने पास A ∩ α ∈ A_α और C ∩ α ∈ A_α. एक अन्य समतुल्य रूप बताता है कि सेट मौजूद हैं A_α ⊆ α के लिए α < ω₁ ऐसा कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए A का ω₁ कम से कम एक अनंत है α साथ A ∩ α = A_α.

अधिक आम तौर पर, किसी दिए गए बुनियादी संख्या के लिए κ और एक स्थिर सेट S ⊆ κ, कथन ◊_S (कभी-कभी लिखा जाता है ◊(S) या ◊_κ(S)) कथन है कि एक क्रम है ⟨A_α : α ∈ S⟩ ऐसा है कि

• प्रत्येक A_α ⊆ α
• हरएक के लिए A ⊆ κ, {α ∈ S : A ∩ α = A_α} में स्थिर है κ

सिद्धांत ◊_ω1 वैसा ही है जैसा कि ◊.

हीरा-प्लस सिद्धांत ◊⁺ बताता है कि एक मौजूद है◊⁺-अनुक्रम, दूसरे शब्दों में एक गणनीय संग्रह A_α के सबसेट का α प्रत्येक गणनीय क्रमिक α के लिए जैसे कि किसी भी सबसेट के लिए A का ω₁ एक बंद असीमित उपसमुच्चय है C का ω₁ ऐसा कि सभी के लिए α में C अपने पास A ∩ α ∈ A_α और C ∩ α ∈ A_α.

गुण और उपयोग

Jensen (1972) दिखाया कि हीरा सिद्धांत ◊ सुस्लिन वृक्षों के अस्तित्व को दर्शाता है। उन्होंने यह भी दिखाया V = L हीरा-प्लस सिद्धांत का तात्पर्य है, जो हीरा सिद्धांत का तात्पर्य है, जिसका अर्थ है निरंतर परिकल्पना। विशेष रूप से हीरा सिद्धांत और हीरा-प्लस सिद्धांत दोनों ZFC के स्वयंसिद्धों की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) हैं। भी ♣ + CH तात्पर्य ◊, बूत सहारों शेलाह गावे मॉडल्स ऑफ़ ♣ + ¬ CH, इसलिए ◊ और ♣ समतुल्य नहीं हैं (बल्कि, ♣ से कमजोर है ◊).

हीरा सिद्धांत ◊ एक कुरेपा वृक्ष के अस्तित्व का अर्थ नहीं है, बल्कि मजबूत है ◊⁺ सिद्धांत दोनों का तात्पर्य है ◊ कुरेपा वृक्ष का सिद्धांत और अस्तित्व।

Akemann & Weaver (2004) इस्तेमाल किया गया ◊ C*-बीजगणित बनाने के लिए |C*- बीजगणित नाइमार्क की समस्या के प्रति उदाहरण के रूप में कार्य करता है।

सभी कार्डिनल्स के लिए κ और स्थिर उपसमुच्चय S ⊆ κ⁺, ◊_S रचनात्मक ब्रह्मांड में रखता है। Shelah (2010) के लिए साबित किया κ > ℵ₀, ◊_κ⁺(S) से अनुसरण करता है 2^κ = κ⁺ स्थिर के लिए S जिसमें cofinality के अध्यादेश शामिल नहीं हैं κ.

शेलाह ने दिखाया कि हीरे का सिद्धांत व्हाइटहेड समस्या को हल करता है, जिसका अर्थ है कि व्हाइटहेड की हर समस्या मुक्त है।

यह भी देखें

• ZFC से स्वतंत्र बयानों की सूची
• L में कथन सत्य | कथन सत्य में L

संदर्भ

• Akemann, Charles; Weaver, Nik (2004). "Consistency of a counterexample to Naimark's problem". Proceedings of the National Academy of Sciences. 101 (20): 7522–7525. arXiv:math.OA/0312135. Bibcode:2004PNAS..101.7522A. doi:10.1073/pnas.0401489101. MR 2057719. PMC 419638. PMID 15131270.
• Jensen, R. Björn (1972). "The fine structure of the constructible hierarchy". Annals of Mathematical Logic. 4 (3): 229–308. doi:10.1016/0003-4843(72)90001-0. MR 0309729.
• Rinot, Assaf (2011). "Jensen's diamond principle and its relatives". Set theory and its applications. Contemporary Mathematics. Vol. 533. Providence, RI: AMS. pp. 125–156. arXiv:0911.2151. Bibcode:2009arXiv0911.2151R. ISBN 978-0-8218-4812-8. MR 2777747.
• Shelah, Saharon (1974). "Infinite Abelian groups, Whitehead problem and some constructions". Israel Journal of Mathematics. 18 (3): 243–256. doi:10.1007/BF02757281. MR 0357114. S2CID 123351674.
• Shelah, Saharon (2010). "Diamonds". Proceedings of the American Mathematical Society. 138 (6): 2151–2161. doi:10.1090/S0002-9939-10-10254-8.