अनौपचारिक प्रणाली

नियंत्रण सिद्धांत में, कारण प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जहां आउटपुट अतीत और वर्तमान निविष्ट पर निर्भर करता है लेकिन भविष्य के निविष्ट पर नहीं- यानी $t\leq t_{0}$ मान के लिए आउटपुट $y(t_{0})$, निविष्ट $x(t)$ पर ही निर्भर करता है। कारण प्रणाली को भौतिक प्रणाली या गैर-प्रत्याशित प्रणाली के रूप में भी जाना जाता है

किसी भी समय अगर किसी कार्य का आउटपुट केवल निविष्ट के अतीत और वर्तमान मूल्यों पर निर्भर करता है तो सामान्यतौर पर संदर्भित गुणों द्वारा करणीयता के रूप में परिभाषित किया जाता है। अगर किसी प्रणाली में संभावित अतीत या वर्त्तमान निविष्ट मूल्यों के अतिरिक्त भविष्य से निविष्ट मूल्यों पर कुछ निर्भरता होती है तो उस प्रणाली को गैर-कारण या आकस्मिक प्रणाली कहा जाता है, और जो प्रणाली पूरी तरह से भविष्य के निविष्ट मूल्यों पर निर्भर करती है उसे आकस्मिक प्रणाली कहा जाता है। कुछ लेखकों के अनुसार अकारण प्रणाली को भविष्य और वर्त्तमान निविष्ट मूल्यों पर निर्भरता के रूप में परिभाषित किया है, अधिक सरलता से, एक ऐसी प्रणाली जो अतीत के निविष्ट मूल्यों पर निर्भर नहीं करता है।

प्राचीन रूप से, प्रकृति या भौतिक वास्तविकता को एक कारण प्रणाली माना गया है। विशेष आपेक्षिकता या सामान्य सापेक्षता वाले भौतिक विज्ञान में कार्य-कारण की अधिक सटीक परिभाषाओं की आवश्यकता होती है, जैसा कि कारणता (भौतिक विज्ञान) में विस्तृत रूप से वर्णित है।

कार्य-कारणता प्रणाली अंकीय संकेत प्रक्रिया में भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। कभी-कभी कार्य-कारण की कमी को दूर करने के लिए एक आकस्मिक सूत्रीकरण में बदलाव करके रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली सिद्धांत का निर्माण किया जाता है ताकि वे वास्तविक कारण प्रणाली हों सके। अधिक जानकारी के लिए कारण फ़िल्टर देखें।

एक कारण प्रणाली के लिए, रैखिकता की परवाह किए बिना आवेग प्रतिक्रिया की प्रणाली को आउटपुट निर्धारित करने के लिए, आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि केवल वर्तमान और अतीत के निविष्ट के मूल्यों का उपयोग करना चाहिए। निविष्ट के समान नियम असतत या निरंतर प्रणालियों पर भी लागू होते हैं। इस परिभाषा के अनुसार प्रणाली को वास्तविक समय में संकेतों को संसाधित करने के लिए कारण प्रणाली होनी चाहिए और भविष्य के निविष्ट मूल्यों की निर्भरता नहीं होनी चाहिए।

गणितीय परिभाषाएँ

परिभाषा 1: एक प्रणाली मैपिंग $x$ को $y$ निविष्ट सिग्नल की किसी भी जोड़ी के लिए अगर और केवल अगर कारण है $x_{1}(t)$, $x_{2}(t)$ और कोई भी विकल्प $t_{0}$, ऐसा है कि

$x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0},$

संबंधित आउटपुट संतुष्ट करते हैं

$y_{1}(t)=y_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0}.$

परिभाषा 2: मान लीजिए $h(t)$ किसी भी प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया है $H$ एक रेखीय निरंतर गुणांक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित। प्रणाली $H$ कारण है अगर और केवल अगर

$h(t)=0,\quad \forall \ t<0$

अन्यथा यह अकारण है।

उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण निविष्ट $x$ और आउटपुट $y$ वाले प्रणाली के लिए हैं.

कारण प्रणालियों के उदाहरण

• स्मृतिहीन प्रणाली

$y\left(t\right)=1-x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)$

• स्वतःप्रगति फिल्टर

$y\left(t\right)=\int _{0}^{\infty }x(t-\tau )e^{-\beta \tau }\,d\tau$

गैर-कारण (अकारण) प्रणालियों के उदाहरण

$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t+\tau )x(\tau )\,d\tau$

• केंद्रीय गतिशील औसत

$y_{n}={\frac {1}{2}}\,x_{n-1}+{\frac {1}{2}}\,x_{n+1}$

विरोधी कारण प्रणाली के उदाहरण

$y(t)=\int _{0}^{\infty }x(t+\tau )\,d\tau$

• अग्रावलोकन

$y_{n}=x_{n+1}$

संदर्भ

• Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S.; Nawab, Hamid; with S. Hamid (1998). Signals and Systems. Pearson Education. ISBN 0-13-814757-4.