नोडल विश्लेषण

किरचॉफ का विद्युत धारा नियम नोडल विश्लेषण का आधार है।

विद्युतीय परिपथ विश्लेषण में, नोडल विश्लेषण, नोड-वोल्टेज विश्लेषण, या ब्रांच विद्युत धारा पद्धति नोड (परिपथ) (बिंदु जहां तत्व या ब्रांचें संलग्नित होती हैं) के बीच विद्युत परिपथ में वोल्टेज (संभावित अंतर) द्वारा ब्रांच धाराओं का निर्धारण करने का एक तरीका है।

किरचॉफ के परिपथ नियमों का उपयोग करके एक परिपथ का विश्लेषण करने में, किरचॉफ के विद्युत धारा नियम (केसीएल) या किरचॉफ के वोल्टेज नियम (केवीएल) का उपयोग करके पाश विश्लेषण का उपयोग करके नोडल विश्लेषण किया जा सकता है। नोडल विश्लेषण प्रत्येक नोड (परिपथ) पर एक समीकरण लिखता है, जिसके लिए आवश्यकता होती है कि नोड पर होने वाली ब्रांच धाराओं का योग शून्य होना चाहिए। ब्रांच धाराओं को परिपथ नोड वोल्टेज के रूप में लिखा जाता है। एक परिणाम के रूप में, प्रत्येक ब्रांच संवैधानिक संबंध वोल्टेज के कार्य के रूप में एक प्रवेश प्रतिनिधित्व विद्युत धारा को उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए, एक प्रतिरोधक के लिए, I_{ब्रांच} = V_{ब्रांच} * G, जहाँ G (=1/R) प्रतिरोधक का प्रवेश (चालन) है।

नोडल विश्लेषण तभी संभव है जब सभी परिपथ तत्वों की ब्रांच संघटक संबंधों में एक प्रवेश प्रतिनिधित्व होता है। नोडल विश्लेषण नेटवर्क के लिए समीकरणों का एक सघन सेट तैयार करता है, जिसे छोटे होने पर हाथ से हल किया जा सकता है, या कंप्यूटर द्वारा रैखिक बीजगणित का उपयोग करके जल्दी से हल किया जा सकता है। समीकरणों की सघन प्रणाली के कारण, कई परिपथ सिमुलेशन प्रोग्राम (जैसे, स्पाइस) आधार के रूप में नोडल विश्लेषण का उपयोग करते हैं। जब तत्वों में प्रवेश का प्रतिनिधित्व नहीं होता है, तो नोडल विश्लेषण का अधिक सामान्य विस्तार, संशोधित नोडल विश्लेषण का उपयोग करके किया जा सकता है।

प्रक्रिया

परिपथ में सभी संलग्नित वायर सेगमेंट पर ध्यान दें। ये नोडल विश्लेषण के नोड हैं।
भू-स्तरीय (बिजली) संदर्भ के रूप में एक नोड का चयन करें। तत्व वोल्टेज को प्रभावित नहीं करता है (लेकिन यह नोडल वोल्टेज को प्रभावित करता है) और यह केवल गतिविधि का प्रकरण है। सबसे अधिक संपर्क वाले नोड को चुनना विश्लेषण को आसान बना सकता है। n नोड्स के परिपथ के लिए नोडल समीकरणों की संख्या n-1 है।
प्रत्येक नोड के लिए एक चर निर्धारित करें जिसका वोल्टेज अज्ञात है। यदि वोल्टेज पहले से ही ज्ञात है, तो चर निर्दिष्ट करना आवश्यक नहीं है।
प्रत्येक अज्ञात वोल्टेज के लिए, किरचॉफ के विद्युत धारा नियम के आधार पर एक समीकरण बनाएं (अर्थात नोड से निकलने वाली सभी धाराओं को एक साथ जोड़ें और योग को शून्य के बराबर चिह्नित करें)। दो नोड्स के बीच का विद्युत धारा नोड के वोल्टेज के बराबर होता है, जहां से विद्युत धारा निकलती है, नोड के वोल्टेज को घटाता है, जहां विद्युत धारा नोड में प्रवेश करती है, दोनों को दो नोड्स के बीच प्रतिरोध से विभाजित किया जाता है।
यदि दो अज्ञात वोल्टेज के बीच वोल्टेज स्रोत हैं, तो दो नोड्स को सुपरनोड (परिपथ) के रूप में जोड़ें। दो नोड्स की धाराओं को एक समीकरण में संयोजित किया जाता है, और वोल्टेज के लिए एक नया समीकरण बनता है।
प्रत्येक अज्ञात वोल्टेज के लिए एक साथ समीकरणों की प्रणाली को हल करें।

उदाहरण

मूल प्रकरण

एक अज्ञात वोल्टेज, V₁ के साथ मूल उदाहरण के रूप में परिपथ

इस परिपथ में एकमात्र अज्ञात वोल्टेज $V_{1}$ है, इस नोड के तीन संपर्क हैं और इसके परिणामस्वरूप विचार करने के लिए तीन धाराएँ हैं। गणना में धाराओं की दिशा को नोड से दूर चुना जाता है।

प्रतिरोध के माध्यम से विद्युत धारा $R_{1}$ : $(V_{1}-V_{S})/R_{1}$
प्रतिरोध के माध्यम से विद्युत धारा $R_{2}$ : $V_{1}/R_{2}$
विद्युत धारा स्रोत के माध्यम से विद्युत धारा $I_{S}$ : $-I_{S}$

किरचॉफ के विद्युत धारा नियम के साथ, हम प्राप्त करते हैं:

{\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0

इस समीकरण को V₁ के संबंध में हल किया जा सकता है:

V_{1}={\frac {\left({\frac {V_{S}}{R_{1}}}+I_{S}\right)}{\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}}

अंत में, प्रतीकों के लिए संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करके अज्ञात वोल्टेज को हल किया जा सकता है। परिपथ में सभी वोल्टेज ज्ञात होने के बाद किसी भी अज्ञात धारा की गणना करना आसान होता है।

V_{1}={\frac {\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)}{\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)}}={\frac {14}{3}}{\text{ V}}

सुपरनोड्स

इस परिपथ में V_A दो अज्ञात वोल्टेज के बीच है, और इसलिए एक सुपरनोड है।

इस परिपथ में, हमारे पास प्रारंभ में दो अज्ञात वोल्टेज, V₁ और V₂ हैं, V₃ पर वोल्टेज V_B के रूप में जाना जाता है क्योंकि वोल्टेज स्रोत का दूसरा टर्मिनल जमीनी क्षमता पर है।

वोल्टता स्रोत V_A से प्रवाहित धारा सीधे गणना नहीं की जा सकती। इसलिए, हम V₁ या V₂ के लिए सम्मिलित समीकरण नहीं लिख सकते हैं, हालाँकि, हम जानते हैं कि वही विद्युत धारा नोड V₂ छोड़ रहा है, जिसमे नोड V₁ दर्ज करना होगा। भले ही नोड्स को व्यक्तिगत रूप से हल नहीं किया जा सकता है, हम जानते हैं कि इन दो नोड्स का संयुक्त विद्युत धारा शून्य है। दो नोड्स के इस संयोजन को सुपरनोड (परिपथ) पद्धति कहा जाता है, और इसके लिए एक अतिरिक्त समीकरण की आवश्यकता होती है: V₁ = V₂ + V_A.

इस परिपथ के लिए समीकरणों का पूरा सेट है:

{\begin{cases}{\frac {V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}=0\\V_{1}=V_{2}+V_{\text{A}}\\\end{cases}}

प्रतिस्थापित करके

V_{2}={\frac {(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}

नोड-वोल्टेज समीकरण के लिए मैट्रिक्स फॉर्म

सामान्यतः, एक परिपथ के साथ $N$ नोड्स, नोडल विश्लेषण द्वारा प्राप्त नोड-वोल्टेज समीकरणों को निम्नलिखित में प्राप्त मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है। किसी भी नोड के लिए $k$ , केसीएल बताता है ${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$ जहाँ $G_{kj}=G_{jk}$ नोड्स के बीच चालन के योग का ऋणात्मक है, $k$ , $j$ , और $v_{k}$ नोड का वोल्टेज है $k$ यह संकेत करता है ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ जहाँ $G_{kk}$ नोड से जुड़े चालन का योग है, $k$ हम ध्यान दें कि पहला शब्द नोड में रैखिक रूप से योगदान देता है $k$ के जरिए $G_{kk}$ , जबकि दूसरा कार्यकाल प्रत्येक नोड में रैखिक रूप से योगदान देता है $j$ नोड से जुड़ा हुआ है $k$ के जरिए $G_{jk}$ माइनस साइन के साथ जुड़ा रहता है। यदि एक स्वतंत्र विद्युत धारा स्रोत/इनपुट $i_{k}$ नोड $k$ से भी जुड़ा हुआ है, उपरोक्त अभिव्यक्ति सामान्यीकृत है ${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ , यह आसानी से दिखाया गया है कि उपरोक्त नोड-वोल्टेज समीकरणों को सभी के लिए जोड़ा जा सकता है, $N$ नोड्स और उन्हें निम्नलिखित मैट्रिक्स फॉर्म में लिखें,