संतुलन बिंदु

स्वायत्त प्रणाली $x'=Ax,$ उनकी विशेषताओं के अनुसार स्थिर या अस्थिर। स्थिरता आमतौर पर आरेख के बाईं ओर बढ़ जाती है। कुछ सिंक, स्रोत या नोड समतोल बिंदु हैं।

गणित में, विशेष रूप से अंतर समीकरणों में, एक संतुलन बिंदु एक अंतर समीकरण का निरंतर समाधान होता है।

औपचारिक परिभाषा

बिंदु ${\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}$ अंतर समीकरण के लिए एक संतुलन बिंदु है

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )$ अगर $\mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0}$ सभी के लिए $t$.

इसी प्रकार बिंदु ${\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}$ अंतर समीकरण के लिए एक संतुलन बिंदु (या निश्चित बिंदु (गणित)) है

${\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}$

अगर $\mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}$ के लिए $k=0,1,2,\ldots$.

साम्यावस्था के बारे में समीकरणों के रेखीयकरण के eigenvalues ​​​​के संकेतों को देखकर संतुलन को वर्गीकृत किया जा सकता है। कहने का मतलब यह है कि, सिस्टम के प्रत्येक संतुलन बिंदु पर जैकबियन मैट्रिक्स का मूल्यांकन करके, और फिर परिणामी eigenvalues ​​​​का पता लगाकर, संतुलन को वर्गीकृत किया जा सकता है। फिर प्रत्येक संतुलन बिंदु के पड़ोस में प्रणाली के व्यवहार को गुणात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है, (या कुछ मामलों में मात्रात्मक रूप से भी निर्धारित किया जाता है), प्रत्येक ईजेनवेल्यू से जुड़े ईजेनवेक्टर (एस) को ढूंढकर।

एक संतुलन बिंदु अतिशयोक्तिपूर्ण संतुलन बिंदु है यदि किसी भी ईजेनवेल्यू का वास्तविक भाग शून्य नहीं है। यदि सभी eigenvalues ​​​​में नकारात्मक वास्तविक भाग होते हैं, तो बिंदु स्थिर होता है। यदि कम से कम एक सकारात्मक वास्तविक भाग है, तो बिंदु अस्थिर है। यदि कम से कम एक eigenvalue का नकारात्मक वास्तविक भाग है और कम से कम एक का सकारात्मक वास्तविक भाग है, तो संतुलन एक काठी बिंदु है और यह अस्थिर है। यदि सभी eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं और समान चिह्न हैं तो बिंदु को नोड कहा जाता है।

यह भी देखें

• स्वायत्त समीकरण
• महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)
• स्थिर अवस्था

संदर्भ

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (10th ed.). Wiley. ISBN 978-0-470-45831-0.
• Perko, Lawrence (2001). Differential Equations and Dynamical Systems (3rd ed.). Springer. pp. 102–104. ISBN 1-4613-0003-7.