तत्समक आव्यूह

Not to be confused with matrix of ones, unitary matrix, or matrix unit.

रैखिक बीजगणित में, आकार की पहचान मैट्रिक्स $n$ है $n\times n$ मुख्य विकर्ण पर वाले स्क्वायर मैट्रिक्स और कहीं और शून्य।

शब्दावली और अंकन

पहचान मैट्रिक्स को अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है $I_{n}$, या बस द्वारा $I$ यदि आकार सारहीन है या संदर्भ द्वारा तुच्छ रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

$$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$$

यूनिट मैट्रिक्स शब्द का भी व्यापक रूप से उपयोग किया गया है, लेकिन पहचान मैट्रिक्स शब्द अब मानक है। इकाई मैट्रिक्स शब्द अस्पष्ट है, क्योंकि इसका उपयोग लोगों के मैट्रिक्स के लिए और मैट्रिक्स रिंग की किसी भी इकाई (रिंग थ्योरी) के लिए भी किया जाता है। $n\times n$ मैट्रिक्स। कुछ क्षेत्रों में, जैसे समूह सिद्धांत या क्वांटम यांत्रिकी, पहचान मैट्रिक्स को कभी-कभी बोल्डफेस द्वारा दर्शाया जाता है, $\mathbf {1}$, या आईडी कहा जाता है (पहचान के लिए संक्षिप्त)। कम अक्सर, कुछ गणित की किताबें इस्तेमाल करती हैं $U$ या $E$ इकाई मैट्रिक्स के लिए खड़े पहचान मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करने के लिएऔर जर्मन शब्द Einheitsmatrix क्रमश। एक अंकन के संदर्भ में जिसे कभी-कभी विकर्ण मैट्रिक्स का संक्षेप में वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है, पहचान मैट्रिक्स को इस रूप में लिखा जा सकता है

$$I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).$$

आइडेंटिटी मैट्रिक्स को क्रोनकर डेल्टा नोटेशन का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है:

$$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.$$

गुण

कब $A$ एक $m\times n$ मैट्रिक्स, यह मैट्रिक्स गुणन का एक गुण है कि

$$I_{m}A=AI_{n}=A.$$

विशेष रूप से, पहचान मैट्रिक्स सभी के मैट्रिक्स रिंग की गुणात्मक पहचान के रूप में कार्य करता है $n\times n$ मैट्रिसेस, और सामान्य रैखिक समूह के पहचान तत्व के रूप में $GL(n)$, जिसमें सभी उलटा मैट्रिक्स शामिल हैं $n\times n$ मैट्रिक्स गुणा ऑपरेशन के तहत मैट्रिक्स। विशेष रूप से, पहचान मैट्रिक्स उलटा है। यह एक अनैच्छिक मैट्रिक्स है, जो अपने व्युत्क्रम के बराबर है। इस समूह में, दो वर्ग मैट्रिक्स में उनके उत्पाद के रूप में पहचान मैट्रिक्स होता है, जब वे एक दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं।

कब $n\times n$ मेट्रिसेस का उपयोग एक से रैखिक परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है $n$स्वयं के लिए आयामी सदिश स्थान, पहचान मैट्रिक्स $I_{n}$ इस प्रतिनिधित्व में जो भी आधार (रैखिक बीजगणित) का उपयोग किया गया था, उसके लिए पहचान समारोह का प्रतिनिधित्व करता है। $i$वें> एक ​​पहचान मैट्रिक्स का स्तंभ इकाई वेक्टर है $e_{i}$, एक वेक्टर जिसका $i$वीं प्रविष्टि 1 और 0 कहीं और है। पहचान मैट्रिक्स का निर्धारक 1 है, और इसका निशान (रैखिक बीजगणित) है $n$.

पहचान मैट्रिक्स गैर-शून्य निर्धारक वाला एकमात्र idempotent मैट्रिक्स है। अर्थात्, यह एकमात्र ऐसा मैट्रिक्स है जो:

1. जब स्वयं से गुणा किया जाता है, तो परिणाम स्वयं ही होता है
2. इसकी सभी पंक्तियाँ और स्तंभ रैखिक स्वतंत्रता हैं।

किसी उदासीन मैट्रिक्स के मैट्रिक्स का वर्गमूल स्वयं होता है, और यह इसका एकमात्र धनात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित वर्गमूल होता है। हालाँकि, कम से कम दो पंक्तियों और स्तंभों वाले प्रत्येक पहचान मैट्रिक्स में सममित वर्गमूलों की अनंतता होती है। एक पहचान मैट्रिक्स का रैंक (रैखिक बीजगणित)। $I_{n}$ आकार के बराबर है $n$, अर्थात:

$$\operatorname {rank} (I_{n})=n.$$

यह भी देखें

• तार्किक मैट्रिक्स (शून्य-एक मैट्रिक्स)
• प्राथमिक मैट्रिक्स
• एक्सचेंज मैट्रिक्स
• लोगों का मैट्रिक्स
• पॉल मैट्रिसेस (पहचान मैट्रिक्स शून्य पाउली मैट्रिक्स है)
• गृहस्थ परिवर्तन (हाउसहोल्डर मैट्रिक्स को आइडेंटिटी मैट्रिक्स के जरिए बनाया गया है)
• 2 बटा 2 मैट्रिक्स का वर्गमूल#पहचान मैट्रिक्स
• एकात्मक मैट्रिक्स
• शून्य मैट्रिक्स

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