बहुपद परिवर्तन

गणित में, एक बहुपद परिवर्तन में बहुपद की गणना होती है जिसकी बहुपद की जड़ बहुपद की जड़ों का दिया गया कार्य है। बीजगणितीय समीकरणों के समाधान को सरल बनाने के लिए बहुपद परिवर्तन जैसे कि चिरनहॉस परिवर्तन अक्सर उपयोग किए जाते हैं।

सरल उदाहरण

जड़ों का अनुवाद

होने देना

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}$

एक बहुपद हो, और

$\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ इसकी जटिल जड़ें हों (आवश्यक रूप से अलग नहीं)।

किसी भी स्थिरांक के लिए c, वह बहुपद जिसकी जड़ें हैं

$\alpha _{1}+c,\ldots ,\alpha _{n}+c$ है

$Q(y)=P(y-c)=a_{0}(y-c)^{n}+a_{1}(y-c)^{n-1}+\cdots +a_{n}.$

यदि के गुणांक P पूर्णांक और अचर हैं $c={\frac {p}{q}}$ एक परिमेय संख्या है, के गुणांक Q पूर्णांक नहीं, बल्कि बहुपद हो सकता है cⁿ Q में पूर्णांक गुणांक हैं और समान जड़ें हैं Q.

एक विशेष मामला है जब $c={\frac {a_{1}}{na_{0}}}.$ परिणामी बहुपद Q में कोई पद नहीं है y^{n − 1}.

मूलों का व्युत्क्रम

होने देना

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}$

एक बहुपद हो। वह बहुपद जिसकी जड़ें के मूलों का गुणक प्रतिलोम हैं P मूल के रूप में इसका पारस्परिक बहुपद है

$Q(y)=y^{n}P\left({\frac {1}{y}}\right)=a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_{0}.$

जड़ों को मापना

होने देना

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}$

एक बहुपद हो, और c एक गैर-शून्य स्थिरांक हो। एक बहुपद जिसकी जड़ें गुणनफल हैं c अगर की जड़ें P है

$Q(y)=c^{n}P\left({\frac {y}{c}}\right)=a_{0}y^{n}+a_{1}cy^{n-1}+\cdots +a_{n}c^{n}.$

कारण cⁿ यहाँ प्रकट होता है क्योंकि, यदि c और के गुणांक P पूर्णांक हैं या किसी अभिन्न डोमेन से संबंधित हैं, के गुणांक के लिए भी यही सच है Q.

विशेष मामले में जहां $c=a_{0}$, के सभी गुणांक Q के गुणक हैं c, और ${\frac {Q}{c}}$ एक मोनिक बहुपद है, जिसका गुणांक किसी भी अभिन्न डोमेन से संबंधित है c और के गुणांक P. इस बहुपद परिवर्तन का उपयोग अक्सर बीजगणितीय संख्याओं पर प्रश्नों को बीजगणितीय पूर्णांकों पर प्रश्नों को कम करने के लिए किया जाता है।

इसे एक #अनुवादित जड़ों के साथ जोड़कर ${\frac {a_{1}}{na_{0}}}$, बहुपद की जड़ों पर किसी भी प्रश्न को कम करने की अनुमति देता है, जैसे जड़ खोज , एक सरल बहुपद पर एक समान प्रश्न के लिए, जो मोनिक है और डिग्री की अवधि नहीं है n − 1. इसके उदाहरण के लिए, क्यूबिक फंक्शन देखें#डिप्रेस्ड क्यूबिक में कमी|क्यूबिक फंक्शन § डिप्रेस्ड क्यूबिक या क्वार्टिक फंक्शन में कमी#डिप्रेस्ड क्वार्टिक में कनवर्ट करना|क्वार्टिक फंक्शन § डिप्रेस्ड क्वार्टिक में कनवर्ट करना।

एक तर्कसंगत कार्य द्वारा परिवर्तन

पिछले सभी उदाहरण एक परिमेय फलन द्वारा बहुपद रूपांतर हैं, जिन्हें चिरनहॉस रूपांतरण भी कहा जाता है। होने देना

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

एक तर्कसंगत कार्य हो, जहाँ g और h सह अभाज्य बहुपद हैं। एक बहुपद का बहुपद परिवर्तन P द्वारा f बहुपद है Q (गैर-शून्य स्थिरांक द्वारा उत्पाद तक परिभाषित) जिनकी जड़ें छवियां हैं f अगर की जड़ें P.

परिणाम के रूप में इस तरह के एक बहुपद परिवर्तन की गणना की जा सकती है। वास्तव में, वांछित बहुपद की जड़ें Q बिल्कुल सम्मिश्र संख्याएँ हैं y जैसे कि एक सम्मिश्र संख्या है x ऐसा है कि एक साथ है (यदि के गुणांक P, g और h वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ नहीं हैं, सम्मिश्र संख्या को एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है जिसमें इनपुट बहुपदों के गुणांक हैं)

${\begin{aligned}P(x)&=0\\y\,h(x)-g(x)&=0\,.\end{aligned}}$

यह वास्तव में परिणामी की परिभाषित संपत्ति है

$\operatorname {Res} _{x}(y\,h(x)-g(x),P(x)).$

हाथ से गणना करना आम तौर पर मुश्किल होता है। हालाँकि, अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में परिणाम की गणना करने के लिए एक अंतर्निहित कार्य होता है, इसे कंप्यूटर से गणना करना सीधा है।

गुण

यदि बहुपद P अलघुकरणीय बहुपद है, तो या तो परिणामी बहुपद Q अलघुकरणीय है, या यह एक अलघुकरणीय बहुपद की शक्ति है। होने देना $\alpha$ की जड़ हो P और विचार करें L, द्वारा उत्पन्न फील्ड एक्सटेंशन $\alpha$. पूर्व मामले का मतलब है $f(\alpha )$ का सरल विस्तार है L, जो है Q न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) के रूप में। बाद वाले मामले में, $f(\alpha )$ के एक उपक्षेत्र से संबंधित है L और इसका अल्पतम बहुपद इर्रेड्यूबल बहुपद है जिसके पास है Q शक्ति के रूप में।

== समीकरण-समाधान == के लिए परिवर्तन

मूलांकों द्वारा, जहां संभव हो, समाधान के लिए बहुपद समीकरणों के सरलीकरण के लिए बहुपद परिवर्तनों को लागू किया गया है। Descartes ने डिग्री के बहुपद के परिवर्तन की शुरुआत की d जो डिग्री की अवधि को समाप्त करता है d − 1 जड़ों के अनुवाद द्वारा। ऐसे बहुपद को उदास कहा जाता है। वर्गमूल द्वारा द्विघात को हल करने के लिए यह पहले से ही पर्याप्त है। क्यूबिक के मामले में, Tschirnhaus परिवर्तन चर को एक द्विघात फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं, जिससे दो शब्दों को समाप्त करना संभव हो जाता है, और इसलिए संयोजन द्वारा क्यूबिक के समाधान को प्राप्त करने के लिए उदास क्यूबिक में रैखिक शब्द को समाप्त करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। वर्ग और घनमूलों की। ब्रिंग-जेरार्ड परिवर्तन, जो चर में चतुर्थक है, एक क्विंटिक को ब्रिंग-जेरार्ड सामान्य रूप में 5,1, और 0 की डिग्री के साथ लाता है।

संदर्भ

• Adamchik, Victor S.; Jeffrey, David J. (2003). "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard" (PDF). SIGSAM Bull. 37 (3): 90–94. Zbl 1055.65063. Archived from the original (PDF) on 2009-02-26.