लाप्लास विस्तार (संभावित)

This article is about approximation of radial potentials. For Laplace's determinant rule, see Laplace expansion.

भौतिकी में, क्षमता का लाप्लास विस्तार जो दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होता है ($1/r$), जैसे कि न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम#गुरुत्व क्षेत्र|न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण क्षमता या कूलम्ब का नियम#व्युत्पन्न मात्राओं की तालिका|कूलॉम्ब की इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता, उन्हें गोलाकार लीजेंड्रे बहुपदों के संदर्भ में व्यक्त करती है। परमाणुओं पर क्वांटम यांत्रिक गणना में अंतर-इलेक्ट्रॉनिक प्रतिकर्षण के अभिन्न के मूल्यांकन में विस्तार का उपयोग किया जाता है।

लाप्लास विस्तार वास्तव में दो बिंदुओं के बीच की व्युत्क्रम दूरी का विस्तार है। बता दें कि बिंदुओं में स्थिति वैक्टर हैं ${\textbf {r}}$ और ${\textbf {r}}'$, तो लाप्लास विस्तार है

${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}{\frac {r_{\scriptscriptstyle <}^{\ell }}{r_{\scriptscriptstyle >}^{\ell +1}}}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ').$

यहाँ ${\textbf {r}}$ गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक हैं $(r,\theta ,\varphi )$ और ${\textbf {r}}'$ है $(r',\theta ',\varphi ')$ डिग्री के सजातीय बहुपदों के साथ $\ell$. आगे आर_< न्यूनतम (आर, आर') और आर है_> मैक्स (आर, आर') है। कार्यक्रम $Y_{\ell }^{m}$ एक सामान्यीकृत गोलाकार हार्मोनिक्स है। ठोस हार्मोनिक्स के संदर्भ में लिखे जाने पर विस्तार एक सरल रूप लेता है,

${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {r} )R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ')\quad {\text{with}}\quad |\mathbf {r} |>|\mathbf {r} '|.$

व्युत्पत्ति

इस विस्तार की व्युत्पत्ति सरल है। कोसाइन के नियम से,

${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+(r')^{2}-2rr'\cos \gamma }}}={\frac {1}{r{\sqrt {1+h^{2}-2h\cos \gamma }}}}\quad {\hbox{with}}\quad h:={\frac {r'}{r}}.$

हम यहां लेजेंड्रे पॉलीनॉमियल्स का जनरेटिंग फंक्शन पाते हैं#फिजिक्स में लेजेंड्रे पॉलीनॉमियल्स के अनुप्रयोग $P_{\ell }(\cos \gamma )$ :

${\frac {1}{\sqrt {1+h^{2}-2h\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }h^{\ell }P_{\ell }(\cos \gamma ).$

स्फेरिकल मल्टीपोल मोमेंट्स का उपयोग # पॉइंट चार्ज के स्फेरिकल मल्टीपोल मोमेंट्स

$P_{\ell }(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m}(\theta ',\varphi ')$

मनोवांछित फल देता है।

न्यूमैन विस्तार

इसी तरह का समीकरण न्यूमैन <रेफरी नाम = रुडेनबर्ग 1951 पीपी। 1459-1477 > द्वारा व्युत्पन्न किया गया है।Rüdenberg, Klaus (1951). "आणविक संरचना पर गणना में उपयोगी टू-सेंटर इंटीग्रल्स का अध्ययन। द्वितीय। टू-सेंटर एक्सचेंज इंटीग्रल". The Journal of Chemical Physics. AIP Publishing. 19 (12): 1459–1477. Bibcode:1951JChPh..19.1459R. doi:10.1063/1.1748101. ISSN 0021-9606.</ref> जो की अभिव्यक्ति की अनुमति देता है $1/r$ प्रोलेट गोलाकार निर्देशांक में एक श्रृंखला के रूप में:

${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {4\pi }{a}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}{\frac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}{\mathcal {P}}_{\ell }^{|m|}(\sigma _{<}){\mathcal {Q}}_{\ell }^{|m|}(\sigma _{>})Y_{\ell }^{m}(\arccos \tau ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\arccos \tau ',\varphi ')$

कहाँ ${\mathcal {P}}_{\ell }^{m}(z)$ और ${\mathcal {Q}}_{\ell }^{m}(z)$ क्रमशः पहले और दूसरे प्रकार के लीजेंड्रे फ़ंक्शन जुड़े हुए हैं, जिन्हें इस तरह परिभाषित किया गया है कि वे वास्तविक हैं $z\in (1,\infty )$. उपरोक्त गोलाकार समन्वय मामले के अनुरूप, रेडियल निर्देशांक के सापेक्ष आकार महत्वपूर्ण हैं, जैसे $\sigma _{<}=\min(\sigma ,\sigma ')$ और $\sigma _{>}=\max(\sigma ,\sigma ')$.

संदर्भ

• Griffiths, David J. (David Jeffery). Introduction to Electrodynamics. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1981.