न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)

For the minimal polynomial of an algebraic element of a field, see Minimal polynomial (field theory).

रैखिक बीजगणित में, न्यूनतम बहुपद μ_A की एक n × n मैट्रिक्स (गणित) A एक क्षेत्र पर (गणित) F मोनिक बहुपद है P ऊपर F कम से कम एक बहुपद की डिग्री जैसे कि P(A) = 0. कोई अन्य बहुपद Q साथ Q(A) = 0 का (बहुपद) गुणज है μ_A.

निम्नलिखित तीन कथन तार्किक तुल्यता हैं:

1. λ के बहुपद का एक मूल है μ_A,
2. λ अभिलाक्षणिक बहुपद का एक मूल है χ_A का A,
3. λ मैट्रिक्स का eigenvalue है A.

एक जड़ की बहुलता λ का μ_A सबसे बड़ी शक्ति है m ऐसा है कि ker((A − λI_n)^m) सख्ती से शामिल है ker((A − λI_n)^m−1). दूसरे शब्दों में, तक एक्सपोनेंट बढ़ाना m हमेशा बड़ा कर्नेल (रैखिक बीजगणित) देगा, लेकिन एक्सपोनेंट को और बढ़ा देगा m बस वही कर्नेल देगा। औपचारिक रूप से, m का निलपोटेंट मैट्रिक्स है A-λI_n.

यदि मैदान F बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र नहीं है, तो न्यूनतम और विशिष्ट बहुपदों को उनकी जड़ों के अनुसार कारक नहीं होना चाहिए (में F) अकेले, दूसरे शब्दों में उनके पास से अधिक डिग्री के अलघुकरणीय बहुपद कारक हो सकते हैं 1. अलघुकरणीय बहुपदों के लिए P एक के समान समानताएं हैं:

1. P विभाजित करता है μ_A,
2. P विभाजित करता है χ_A,
3. की गिरी P(A) का कम से कम आयाम (वेक्टर स्थान) है 1.
4. की गिरी P(A) का आयाम कम से कम है deg(P).

विशेषता बहुपद की तरह, न्यूनतम बहुपद आधार क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स को एक बड़े क्षेत्र में गुणांक के रूप में मानने से न्यूनतम बहुपद नहीं बदलता है। इसका कारण विशेषता बहुपद (जहां यह निर्धारकों की परिभाषा से तत्काल है) के मामले से भिन्न होता है, अर्थात् इस तथ्य से कि न्यूनतम बहुपद की शक्तियों के बीच रैखिक निर्भरता के संबंधों द्वारा निर्धारित किया जाता है A: आधार क्षेत्र का विस्तार करने से ऐसा कोई नया संबंध नहीं आएगा (न ही यह मौजूदा संबंधों को हटाएगा)।

न्यूनतम बहुपद अक्सर विशेषता बहुपद के समान होता है, लेकिन हमेशा नहीं। उदाहरण के लिए, अगर A गुणज है aI_n सर्वसमिका आव्यूह का, तो इसका न्यूनतम बहुपद है X − a के कर्नेल के बाद से aI_n − A = 0 पहले से ही संपूर्ण स्थान है; दूसरी ओर इसकी विशेषता बहुपद है (X − a)ⁿ (एकमात्र eigenvalue है a, और विशेषता बहुपद की डिग्री हमेशा अंतरिक्ष के आयाम के बराबर होती है)। न्यूनतम बहुपद हमेशा विशिष्ट बहुपद को विभाजित करता है, जो केली-हैमिल्टन प्रमेय को तैयार करने का एक तरीका है (मैट्रिसेस के मामले में एक क्षेत्र पर)।

औपचारिक परिभाषा

एक एंडोमोर्फिज्म दिया T परिमित-आयामी सदिश स्थान पर V एक क्षेत्र पर (गणित) F, होने देना I_T के रूप में परिभाषित सेट हो

${\mathit {I}}_{T}=\{p\in \mathbf {F} [t]\mid p(T)=0\}$

कहाँ F[t ] क्षेत्र के ऊपर सभी बहुपदों का स्थान है F. I_T का एक आदर्श (रिंग थ्योरी) है F[t ]. तब से F एक क्षेत्र है, F[t ] एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, इस प्रकार कोई भी आदर्श एकल बहुपद द्वारा उत्पन्न होता है, जो इकाई (रिंग थ्योरी) तक अद्वितीय है F. जनरेटर के बीच एक विशेष विकल्प बनाया जा सकता है, क्योंकि जेनरेटर में से एक मोनिक बहुपद है। इस प्रकार न्यूनतम बहुपद को मोनिक बहुपद के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उत्पन्न करता है I_T. यह कम से कम डिग्री का मोनिक बहुपद है I_T.

अनुप्रयोग

एक एंडोमोर्फिज्म φ एक क्षेत्र पर एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान का F विकर्ण योग्य है यदि और केवल यदि इसके न्यूनतम बहुपद कारक पूरी तरह से खत्म हो गए हैं F अलग रैखिक कारकों में। तथ्य यह है कि केवल एक ही कारक है X − λ हर eigenvalue के लिए λ का अर्थ है कि सामान्यीकृत आइगेनस्पेस के लिए λ के लिए eigenspace के समान है λ: प्रत्येक जॉर्डन ब्लॉक का आकार होता है 1. अधिक सामान्यतः, यदि φ एक बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है P(φ) = 0 कहाँ P अलग-अलग रैखिक कारकों में कारक F, तो यह विकर्णीय होगा: इसका न्यूनतम बहुपद का भाजक है P और इसलिए विशिष्ट रेखीय कारकों में कारक भी हैं। विशेष रूप से एक है:

• P = X^k − 1: जटिल संख्या सदिश स्थानों के परिमित क्रम एंडोमोर्फिज़्म विकर्णीय होते हैं। विशेष मामले के लिए k = 2 इनवोल्यूशन (गणित) के अलावा, यह विशेषता (बीजगणित) के अलावा किसी अन्य क्षेत्र में वेक्टर रिक्त स्थान के एंडोमोर्फिज्म के लिए भी सच है 2, तब से X² − 1 = (X − 1)(X + 1) ऐसे क्षेत्र में अलग-अलग कारकों में एक गुणनखंड है। यह चक्रीय समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का एक हिस्सा है।
• P = X² − X = X(X − 1): एंडोमोर्फिज्म संतोषजनक φ² = φ को प्रोजेक्शन (रैखिक बीजगणित) कहा जाता है, और हमेशा विकर्णीय होते हैं (इसके अलावा उनके केवल eigenvalues ​​​​हैं 0 और 1).
• इसके विपरीत यदि μ_φ = X^k साथ k ≥ 2 तब φ (एक nilpotent एंडोमोर्फिज्म) अनिवार्य रूप से विकर्ण योग्य नहीं है, क्योंकि X^k की एक पुनरावर्ती जड़ है 0.

ये मामले सीधे गणितीय प्रमाण भी हो सकते हैं, लेकिन न्यूनतम बहुपद एक एकीकृत परिप्रेक्ष्य और प्रमाण देता है।

गणना

एक वेक्टर के लिए v में V परिभाषित करना:

${\mathit {I}}_{T,v}=\{p\in \mathbf {F} [t]\;|\;p(T)(v)=0\}.$

यह परिभाषा उचित आदर्श के गुणों को संतुष्ट करती है। होने देना μ_T,v मोनिक बहुपद हो जो इसे उत्पन्न करता है।

गुण

• Since I_T,v contains the minimal polynomial μ_T, the latter is divisible by μ_T,v.
• If d is the least natural number such that v, T(v), ..., T^d(v) are linearly dependent, then there exist unique a₀, a₁, ..., a_d−1 in F, not all zero, such that

  $a_{0}v+a_{1}T(v)+\cdots +a_{d-1}T^{d-1}(v)+T^{d}(v)=0$

  and for these coefficients one has

  $\mu _{T,v}(t)=a_{0}+a_{1}t+\ldots +a_{d-1}t^{d-1}+t^{d}.$

• Let the subspace W be the image of μ_T,v(T ), which is T-stable. Since μ_T,v(T ) annihilates at least the vectors v, T(v), ..., T^d−1(v), the codimension of W is at least d.
• The minimal polynomial μ_T is the product of μ_T,v and the minimal polynomial Q of the restriction of T to W. In the (likely) case that W has dimension 0 one has Q = 1 and therefore μ_T = μ_T,v ; otherwise a recursive computation of Q suffices to find μ_T .

उदाहरण

परिभाषित करना T का एंडोमोर्फिज्म होना R³ मैट्रिक्स के साथ, विहित आधार पर,

${\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&-2&1\\0&1&-3\end{pmatrix}}.$

पहला विहित आधार वेक्टर लेना e₁ और इसके द्वारा दोहराई गई छवियां T एक प्राप्त करता है

$e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad T\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}.\quad T^{2}\!\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}}{\mbox{ and}}\quad T^{3}\!\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}0\\3\\-4\end{bmatrix}}$

जिनमें से पहले तीन को आसानी से रैखिक रूप से स्वतंत्र देखा जाता है, और इसलिए सभी का रैखिक विस्तार होता है R³. वास्तव में, अंतिम एक अनिवार्य रूप से पहले तीन का एक रैखिक संयोजन है

T³ ⋅ e₁ = −4T² ⋅ e₁ − T ⋅ e₁ + e₁,

ताकि:

μ_T, e1 = X³ + 4X² + X − I.

यह वास्तव में न्यूनतम बहुपद भी है μ_T और विशेषता बहुपद χ_T : वास्तव में μ_T, e1 विभाजित करता है μ_T जो विभाजित करता है χ_T, और चूंकि पहली और आखिरी बहुपद की डिग्री हैं 3 और सभी मोनिक हैं, वे सभी एक जैसे होने चाहिए। दूसरा कारण यह है कि सामान्य तौर पर यदि कोई बहुपद in T सदिश को नष्ट कर देता है v, तो वह भी सत्यानाश कर देता है T ⋅v (बस लागू करें T उस समीकरण के लिए जो कहता है कि यह सत्यानाश करता है v), और इसलिए पुनरावृत्ति द्वारा यह पुनरावृत्त छवियों द्वारा उत्पन्न संपूर्ण स्थान को नष्ट कर देता है T का v; वर्तमान मामले में हमने देखा है कि के लिए v = e₁ वह स्थान सभी का है R³, इसलिए μ_T, e1(T ) = 0. वास्तव में एक पूर्ण मैट्रिक्स के लिए सत्यापित करता है कि T³ + 4T² + T − I₃ शून्य मैट्रिक्स है:

${\begin{bmatrix}0&1&-3\\3&-13&23\\-4&19&-36\end{bmatrix}}+4{\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&4&-6\\1&-5&10\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-1&-1\\1&-2&1\\0&1&-3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

संदर्भ

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556