डेल्टा ऑपरेटर

गणित में, एक डेल्टा ऑपरेटर एक शिफ्ट-समतुल्य रैखिक ऑपरेटर होता है $Q\colon \mathbb {K} [x]\longrightarrow \mathbb {K} [x]$ एक चर में बहुपदों के सदिश स्थान पर $x$ एक क्षेत्र पर (गणित) $\mathbb {K}$ जो बहुपद की घात को एक से कम कर देता है।

यह कहने के लिए $Q$ is शिफ्ट-इक्विवेरिएंट का मतलब है कि अगर $g(x)=f(x+a)$, तब

${(Qg)(x)=(Qf)(x+a)}.\,$

दूसरे शब्दों में, अगर $f$ की पारी है $g$, तब $Qf$ की भी एक पारी है $Qg$, और एक ही शिफ्टिंग वेक्टर है $a$.

यह कहना कि एक ऑपरेटर डिग्री को एक से कम कर देता है, जिसका अर्थ है कि यदि $f$ डिग्री का बहुपद है $n$, तब $Qf$ या तो डिग्री का बहुपद है $n-1$, या, मामले में $n=0$, $Qf$ 0 है।

कभी-कभी एक डेल्टा ऑपरेटर को बहुपदों पर एक शिफ्ट-समतुल्य रैखिक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है $x$ वह मानचित्र $x$ एक अशून्य स्थिरांक के लिए। ऊपर दी गई परिभाषा की तुलना में कमजोर रूप से कमजोर, यह बाद के लक्षण वर्णन को बताई गई परिभाषा के बराबर दिखाया जा सकता है $\mathbb {K}$ विशेषता (बीजगणित) शून्य है, क्योंकि शिफ्ट-समतुल्यता एक काफी मजबूत स्थिति है।

उदाहरण

• आगे अंतर ऑपरेटर

$(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,$

एक डेल्टा ऑपरेटर है।

• एक्स के संबंध में यौगिक , जिसे डी के रूप में लिखा गया है, एक डेल्टा ऑपरेटर भी है।
• फॉर्म का कोई भी ऑपरेटर

$\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}D^{k}$

(जहां घⁿ(ƒ) = ƒ⁽ⁿ⁾ n है^वें व्युत्पन्न) के साथ $c_{1}\neq 0$ एक डेल्टा ऑपरेटर है। यह दिखाया जा सकता है कि सभी डेल्टा ऑपरेटरों को इस रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए अंतर ऑपरेटर का विस्तार किया जा सकता है

$\Delta =e^{D}-1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {D^{k}}{k!}}.$

• [[समय पैमाने की गणना]] का सामान्यीकृत डेरिवेटिव जो फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर को कैलकुलस के डेरिवेटिव के साथ जोड़ता है, एक डेल्टा ऑपरेटर है।
• कंप्यूटर विज्ञान और साइबरनेटिक्स में, डिस्क्रीट-टाइम डेल्टा ऑपरेटर (δ) शब्द को आम तौर पर एक अंतर ऑपरेटर के रूप में लिया जाता है।

${(\delta f)(x)={{f(x+\Delta t)-f(x)} \over {\Delta t}}},$

असतत नमूना समय के साथ सामान्य व्युत्पन्न का यूलर सन्निकटन $\Delta t$. तेजी से नमूने लेने पर शिफ्ट-ऑपरेटर की तुलना में डेल्टा-सूत्रीकरण महत्वपूर्ण संख्या में संख्यात्मक लाभ प्राप्त करता है।

बुनियादी बहुपद

हर डेल्टा ऑपरेटर$Q$बुनियादी बहुपदों का एक अद्वितीय अनुक्रम है, एक बहुपद अनुक्रम तीन शर्तों द्वारा परिभाषित किया गया है:

• $p_{0}(x)=1;$
• $p_{n}(0)=0;$
• $(Qp_{n})(x)=np_{n-1}(x){\text{ for all }}n\in \mathbb {N} .$

बुनियादी बहुपदों का ऐसा क्रम हमेशा द्विपद प्रकार का होता है, और यह दिखाया जा सकता है कि द्विपद प्रकार के कोई अन्य क्रम मौजूद नहीं हैं। यदि उपरोक्त पहली दो शर्तों को छोड़ दिया जाता है, तो तीसरी शर्त कहती है कि यह बहुपद अनुक्रम एक शेफ़र अनुक्रम है - एक अधिक सामान्य अवधारणा।

यह भी देखें

• पिंचरले व्युत्पन्न
• शिफ्ट ऑपरेटर
• उम्ब्रल कैलकुलस

संदर्भ

• Nikol'Skii, Nikolai Kapitonovich (1986), Treatise on the shift operator: spectral function theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-15021-5

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Delta Operator". MathWorld.