समीकरण गुणांक

गणित में, गुणांकों को समान करने की विधि कई अज्ञात मापदंडों के लिए बहुपद जैसे दो भावों के एक कार्यात्मक समीकरण को हल करने का एक तरीका है। यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि दो व्यंजक सटीक रूप से समान होते हैं जब संगत गुणांक प्रत्येक भिन्न प्रकार के पद के लिए समान होते हैं। सूत्रों को वांछित रूप में लाने के लिए विधि का उपयोग किया जाता है।

वास्तविक अंशों में उदाहरण

मान लीजिए कि हम अभिव्यक्ति के आंशिक अंश अपघटन को लागू करना चाहते हैं:

${\frac {1}{x(x-1)(x-2)}},\,$

यानी हम इसे फॉर्म में लाना चाहते हैं:

${\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-1}}+{\frac {C}{x-2}},\,$

जिसमें अज्ञात पैरामीटर ए, बी और सी हैं। इन सूत्रों को x(x − 1)(x − 2) से गुणा करने पर दोनों बहुपद बन जाते हैं, जिनकी हम बराबरी करते हैं:

$A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)=1,\,$

या, एक्स की समान शक्तियों के साथ विस्तार और संग्रह करने के बाद:

$(A+B+C)x^{2}-(3A+2B+C)x+2A=1.\,$

इस बिंदु पर यह महसूस करना आवश्यक है कि बहुपद 1 वास्तव में बहुपद 0x के बराबर है² + 0x + 1, x की सकारात्मक शक्तियों के लिए शून्य गुणांक वाले। संबंधित गुणांकों को बराबर करने से अब रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली का परिणाम मिलता है:

$A+B+C=0,\,$

$3A+2B+C=0,\,$

$2A=1.\,$

इसे हल करने का परिणाम है:

$A={\frac {1}{2}},\,B=-1,\,C={\frac {1}{2}}.\,$

== नेस्टेड कट्टरपंथी == में उदाहरण

यदि हम नेस्टेड रेडिकल्स को डी-नेस्ट करना चाहते हैं, तो एक समान समस्या, समान शर्तों के गुणांकों के बजाय समान शर्तों को शामिल करने से उत्पन्न होती है ${\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}$ समतुल्य व्यंजक प्राप्त करने के लिए जिसमें स्वयं वर्गमूल वाले व्यंजक का वर्गमूल शामिल न हो, हम परिमेय संख्या प्राचलों d, e के अस्तित्व की कल्पना कर सकते हैं जैसे कि

${\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}+{\sqrt {e}}.$

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है:

$a+b{\sqrt {c}}=d+e+2{\sqrt {de}}.$

डी और ई खोजने के लिए हम वर्ग जड़ों को शामिल नहीं करने वाली शर्तों को बराबर करते हैं, इसलिए $a=d+e,$ और रेडिकल्स से जुड़े हिस्सों की बराबरी करें, इसलिए $b{\sqrt {c}}=2{\sqrt {de}}$ जो जब चुकता होता है $b^{2}c=4de.$ यह हमें वांछित पैरामीटर डी और ई में दो समीकरण, एक द्विघात बहुपद और एक रैखिक देता है, और ये नेस्टेड रेडिकल # डेनेस्टिंग नेस्टेड रेडिकल प्राप्त करने के लिए

$e={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},$

$d={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},$

जो एक मान्य समाधान युग्म है यदि और केवल यदि ${\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}$ एक परिमेय संख्या है।

समीकरणों की रैखिक निर्भरता के लिए परीक्षण का उदाहरण

इस अतिनिर्धारित प्रणाली पर विचार करें (सिर्फ 2 अज्ञात में 3 समीकरणों के साथ):

$x-2y+1=0,$

$3x+5y-8=0,$

$4x+3y-7=0.$

यह परीक्षण करने के लिए कि क्या तीसरा समीकरण पहले दो पर रैखिक निर्भरता है, दो पैरामीटर a और b को ऐसे मान लें कि पहले समीकरण का a गुना और दूसरे समीकरण का b गुना तीसरा समीकरण के बराबर है। चूंकि यह हमेशा दाएं पक्षों के लिए होता है, जिनमें से सभी 0 हैं, हमें केवल इसे बाएं पक्षों के लिए भी रखने की आवश्यकता है:

$a(x-2y+1)+b(3x+5y-8)=4x+3y-7.$

दोनों पक्षों पर x के गुणांकों की समानता, दोनों पक्षों पर y के गुणांकों की समानता, और दोनों पक्षों पर स्थिरांकों की समानता, वांछित पैरामीटर a, b में निम्नलिखित सिस्टम देता है:

$a+3b=4,$

$-2a+5b=3,$

$a-8b=-7.$

इसे हल करने से मिलता है:

$a=1,\ b=1$

मूल्यों की अनूठी जोड़ी ए, बी पहले दो समीकरणों को संतुष्ट करती है (ए, बी) = (1, -1); चूँकि ये मान तीसरे समीकरण को भी संतुष्ट करते हैं, वास्तव में ए, बी का अस्तित्व होता है जैसे कि मूल प्रथम समीकरण का गुणा और मूल द्वितीय समीकरण का गुणा मूल तीसरे समीकरण के बराबर होता है; हम निष्कर्ष निकालते हैं कि तीसरा समीकरण पहले दो पर रैखिक रूप से निर्भर है।

ध्यान दें कि यदि मूल तीसरे समीकरण में स्थिर शब्द -7 के अलावा कुछ और होता, तो मान (a, b) = (1, 1) जो पैरामीटर में पहले दो समीकरणों को संतुष्ट करता है वह तीसरे को संतुष्ट नहीं करता (a, b) = (1, 1) - 8b = स्थिर), इसलिए मापदंडों में सभी तीन समीकरणों को संतुष्ट करने वाला कोई a, b मौजूद नहीं होगा, और इसलिए तीसरा मूल समीकरण पहले दो से स्वतंत्र होगा।

जटिल संख्या में उदाहरण

सम्मिश्र संख्याओं के साथ काम करते समय अक्सर गुणांकों की समानता की विधि का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या a+bi को सम्मिश्र संख्या c+di से विभाजित करने के लिए, हम मानते हैं कि अनुपात सम्मिश्र संख्या e+fi के बराबर है, और हम उन पैरामीटरों e और f के मान ज्ञात करना चाहते हैं जिनके लिए यह सत्य है . हम लिखते हैं

${\frac {a+bi}{c+di}}=e+fi,$

और प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को भाजक से गुणा करें

$(ce-fd)+(ed+cf)i=a+bi.$

वास्तविक संख्या शर्तों को समान करना देता है

$ce-fd=a,$

और काल्पनिक इकाई i के गुणांकों की समानता देता है

$ed+cf=b.$

अज्ञात पैरामीटर ई और एफ में ये दो समीकरण हैं, और भागफल के वांछित गुणांक प्राप्त करने के लिए इन्हें हल किया जा सकता है:

$e={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad f={\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}.$

संदर्भ

• Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts on File. p. 162. ISBN 0-8160-5124-0.