त्रिकोणमितीय बहुपद

संख्यात्मक विश्लेषण और [[गणितीय विश्लेषण]] के गणितीय उपक्षेत्रों में, एक त्रिकोणमितीय बहुपद फलन (गणित) sin(nx) और cos(nx) का एक परिमित रैखिक संयोजन है जिसमें n लिया जाता है। एक या अधिक प्राकृतिक संख्याओं के मान। वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए गुणांकों को वास्तविक संख्या के रूप में लिया जा सकता है। सम्मिश्र संख्या के लिए, ऐसे फलन और परिमित फूरियर श्रृंखला के बीच कोई अंतर नहीं है।

त्रिकोणमितीय बहुपदों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए आवधिक कार्यों के प्रक्षेप के लिए लागू त्रिकोणमितीय प्रक्षेप में। उनका उपयोग असतत फूरियर रूपांतरण में भी किया जाता है।

वास्तविक-मूल्य वाले मामले के लिए 'त्रिकोणमितीय बहुपद' शब्द को सादृश्य का उपयोग करते हुए देखा जा सकता है: कार्य sin(nx) और cos(nx) बहुपदों के लिए मोनोमियल आधार के समान हैं। जटिल मामले में त्रिकोणमितीय बहुपदों को 'ई' की सकारात्मक और नकारात्मक शक्तियों द्वारा फैलाया जाता है^ix, चर z = e के परिवर्तन के तहत z में लॉरेंट बहुपद^ix।

औपचारिक परिभाषा

फॉर्म का कोई फंक्शन टी

$T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} )$

साथ $a_{n},b_{n}\in \mathbb {C}$ के लिए $0\leq n\leq N$, घात N का एक जटिल त्रिकोणमितीय बहुपद कहलाता है (Rudin 1987, p. 88). यूलर के सूत्र का उपयोग करके बहुपद को फिर से लिखा जा सकता है

$T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ).$

सादृश्य, दे $a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} ,\quad 0\leq n\leq N$ और $a_{N}\neq 0$ या $b_{N}\neq 0$, तब

$t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbb {R} )$

घात N का वास्तविक त्रिकोणमितीय बहुपद कहलाता है (Powell 1981, p. 150).

गुण

एक त्रिकोणमितीय बहुपद को वास्तविक रेखा पर एक आवर्त फलन माना जा सकता है, जिसमें आवर्त फलन 2 का कुछ गुणज होता हैπ, या यूनिट सर्कल पर एक फ़ंक्शन के रूप में।

एक मूल परिणाम यह है कि त्रिकोणमितीय बहुपद इकाई सर्कल पर निरंतर कार्यों के स्थान पर एकसमान मानदंड के साथ सघन सेट हैं (Rudin 1987, Thm 4.25); यह स्टोन-वीयरस्ट्रास प्रमेय का एक विशेष मामला है। अधिक ठोस रूप से, प्रत्येक निरंतर फलन f और प्रत्येक ε > 0 के लिए, एक त्रिकोणमितीय बहुपद T का अस्तित्व होता है जैसे कि |f(z) - T(z)| < ε सभी z के लिए। Fejér के प्रमेय में कहा गया है कि f की फूरियर श्रृंखला के आंशिक योगों का अंकगणितीय साधन समान रूप से f पर अभिसरण करता है, बशर्ते f वृत्त पर निरंतर हो, इस प्रकार एक अनुमानित त्रिकोणमितीय बहुपद T को खोजने का एक स्पष्ट तरीका देता है।

डिग्री एन के एक त्रिकोणमितीय बहुपद में किसी भी अंतराल में अधिकतम 2N जड़ें होती हैं [a, a + 2{{pi}) a in R के साथ, जब तक कि यह शून्य फ़ंक्शन न हो (Powell 1981, p. 150).

संदर्भ

• Powell, Michael J. D. (1981), Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-29514-7
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157.