सांस्थितिक वलय

गणित में, एक टोपोलॉजिकल रिंग एक रिंग (बीजगणित) है $R$ वह भी एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जैसे कि जोड़ और गुणा दोनों निरंतरता (टोपोलॉजी) नक्शे के रूप में हैं:

$$R\times R\to R$$

कहाँ $R\times R$ उत्पाद टोपोलॉजी वहन करती है। इसका मत $R$ एक योगात्मक टोपोलॉजिकल समूह और एक गुणक टोपोलॉजिकल सेमीग्रुप है।

टोपोलॉजिकल रिंग मूल रूप से टोपोलॉजिकल क्षेत्र से संबंधित हैं और उनका अध्ययन करते समय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए एक टोपोलॉजिकल फील्ड का पूरा होना एक टोपोलॉजिकल रिंग हो सकता है जो फील्ड (गणित) नहीं है।

सामान्य टिप्पणियाँ

इकाइयों का समूह $R^{\times }$ एक टोपोलॉजिकल रिंग का $R$ एक टोपोलॉजिकल समूह है जब एंबेडिंग # जनरल टोपोलॉजी से आने वाली टोपोलॉजी से संपन्न होता है $R^{\times }$ उत्पाद में $R\times R$ जैसा $\left(x,x^{-1}\right).$ हालाँकि, यदि इकाई समूह को उप-स्थान टोपोलॉजी के उप-स्थान के रूप में संपन्न किया गया है $R,$ यह एक सामयिक समूह नहीं हो सकता है, क्योंकि उलटा है $R^{\times }$ सबस्पेस टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है। इस स्थिति का एक उदाहरण वैश्विक क्षेत्र का एडेल रिंग है; इसका इकाई समूह, जिसे आदर्श समूह कहा जाता है, उप-स्थान टोपोलॉजी में एक सांस्थितिक समूह नहीं है। यदि उलटा चालू है $R^{\times }$ के सबस्पेस टोपोलॉजी में निरंतर है $R$ फिर इन दो टोपोलॉजी पर $R^{\times }$ समान हैं।

यदि किसी को एक इकाई होने के लिए रिंग की आवश्यकता नहीं है, तो किसी को टोपोलॉजिकल रिंग को एक रिंग के रूप में परिभाषित करने के लिए एडिटिव व्युत्क्रम की निरंतरता या समकक्ष की आवश्यकता को जोड़ना होगा, जो कि एक टोपोलॉजिकल समूह है (के लिए) $+$) जिसमें गुणन भी निरंतर है।

उदाहरण

टोपोलॉजिकल रिंग गणितीय विश्लेषण में होते हैं, उदाहरण के लिए कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) के रिंग के रूप में (जहां टोपोलॉजी बिंदुवार अभिसरण द्वारा दी जाती है), या कुछ नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस पर निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के रिंग के रूप में; सभी बनच बीजगणित सांस्थितिक वलय हैं। परिमेय संख्या, वास्तविक संख्या, सम्मिश्र संख्या और p-adic संख्या |$p$-ऐडिक नंबर भी अपने मानक टोपोलॉजी के साथ टोपोलॉजिकल रिंग्स (यहां तक ​​​​कि टोपोलॉजिकल फील्ड्स, नीचे देखें) हैं। समतल में, विभाजित-जटिल संख्याएँ और दोहरी संख्याएँ वैकल्पिक सांस्थितिक वलय बनाती हैं। अन्य निम्न-आयामी उदाहरणों के लिए हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर देखें।

सार बीजगणित में, निम्नलिखित निर्माण आम है: एक क्रमविनिमेय अंगूठी के साथ शुरू होता है $R$ एक आदर्श (अंगूठी) युक्त $I,$ और फिर एडिक टोपोलॉजी पर विचार करता है$I$-एडिक टोपोलॉजी ऑन $R$: उपसमुच्चय $R=U$ का $R$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए खुला है $x\in U$ एक प्राकृतिक संख्या मौजूद है $n$ ऐसा है कि $x+I^{n}\subseteq U.$ यह मुड़ता है $R$ एक टोपोलॉजिकल रिंग में। $I$वें>-ऐडिक टोपोलॉजी हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष है अगर और केवल अगर इंटरसेक्शन (सेट सिद्धांत) की सभी शक्तियां $I$ शून्य आदर्श है $(0).$

$p$वें>-पूर्णांकों पर ऐडिक टोपोलॉजी एक उदाहरण है $I$-ऐडिक टोपोलॉजी (के साथ $I=(p)$).

समापन

Main article: Completion (algebra)

प्रत्येक टोपोलॉजिकल रिंग एक टोपोलॉजिकल ग्रुप (जोड़ के संबंध में) है और इसलिए प्राकृतिक तरीके से एक समान स्थान है। कोई इस प्रकार पूछ सकता है कि क्या दी गई टोपोलॉजिकल रिंग है$R$ पूर्ण एकसमान स्थान है। यदि यह नहीं है, तो इसे पूरा किया जा सकता है: एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय पूर्ण टोपोलॉजिकल रिंग मिल सकती है $S$ उसमें सम्मिलित है $R$ एक सघन (टोपोलॉजी) सबरिंग के रूप में दी गई टोपोलॉजी पर $R$ से उत्पन्न होने वाले सबस्पेस (टोपोलॉजी) के बराबर है $S.$ यदि शुरुआती रिंग $R$ मीट्रिक है, अंगूठी $S$ में कॉची अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों के एक सेट के रूप में निर्मित किया जा सकता है $R,$ यह तुल्यता संबंध वलय बनाता है $S$ हॉसडॉर्फ और निरंतर अनुक्रमों (जो कॉची हैं) का उपयोग करके एक (समान रूप से) निरंतर आकारिकी (अगली कड़ी में सीएम) का एहसास होता है। $c:R\to S$ ऐसा है कि, सभी मुख्यमंत्री के लिए $f:R\to T$ कहाँ $T$ हॉसडॉर्फ और पूर्ण है, एक अद्वितीय सीएम मौजूद है $g:S\to T$ ऐसा है कि

$f=g\circ c.$ अगर $R$ मेट्रिक नहीं है (उदाहरण के लिए, सभी वास्तविक-चर तर्कसंगत मूल्यवान फ़ंक्शन का वलय, यानी सभी फ़ंक्शन $f:\mathbb {R} \to \mathbb {Q}$ बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ संपन्न) मानक निर्माण न्यूनतम कॉची फिल्टर का उपयोग करता है और उपरोक्त के समान सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है (निकोलस बोरबाकी, जनरल टोपोलॉजी, III.6.5 देखें)।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला के छल्ले और पी-एडिक नंबर |$p$-adic पूर्णांकों को सबसे अधिक स्वाभाविक रूप से कुछ टोपोलॉजिकल रिंगों के पूर्ण होने के रूप में परिभाषित किया जाता है $I$-एडिक टोपोलॉजी।

सामयिक क्षेत्र

सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों में से कुछ सामयिक क्षेत्र हैं। एक टोपोलॉजिकल फील्ड एक टोपोलॉजिकल रिंग है जो एक फील्ड (गणित) भी है, और ऐसा है कि नॉन जीरो एलिमेंट्स का मल्टीप्लिकेटिव व्युत्क्रम एक निरंतर कार्य है। सबसे आम उदाहरण सम्मिश्र संख्याएं और इसके सभी उपक्षेत्र (गणित) और मूल्यवान क्षेत्र हैं, जिनमें p-adic क्षेत्र शामिल हैं|$p$-आदिक क्षेत्र।

यह भी देखें

• Compact group
• Complete field
• Locally compact field
• Locally compact quantum group
• Locally compact group
• Ordered topological vector space
• Strongly continuous semigroup
• Topological abelian group
• Topological field
• Topological group
• Topological module
• Topological semigroup
• Topological vector space

संदर्भ

• L. V. Kuzmin (2001) [1994], "Topological ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• D. B. Shakhmatov (2001) [1994], "Topological field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Warner, Seth (1989). Topological Fields. Elsevier. ISBN 9780080872681.
• Warner, Seth (1993). Topological Rings. Elsevier. ISBN 9780080872896.
• Vladimir I. Arnautov, Sergei T. Glavatsky and Aleksandr V. Michalev: Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules. Marcel Dekker Inc, February 1996, ISBN 0-8247-9323-4.
• N. Bourbaki, Éléments de Mathématique. Topologie Générale. Hermann, Paris 1971, ch. III §6