अद्वितीय गुणनखंड डोमेन

"Unique factorization" redirects here. For the uniqueness of integer factorization, see fundamental theorem of arithmetic.

गणित में, एक अद्वितीय कारककरण डोमेन (यूएफडी) (जिसे कभी-कभी निकोलस बोरबाकी की शब्दावली के बाद एक फैक्टोरियल रिंग भी कहा जाता है) एक अंगूठी (गणित) है जिसमें अंकगणित के मौलिक प्रमेय के अनुरूप एक बयान होता है। विशेष रूप से, एक UFD एक अभिन्न डोमेन है (एक शून्य रिंग क्रमविनिमेय अंगूठी जिसमें किन्हीं दो गैर-शून्य तत्वों का उत्पाद गैर-शून्य होता है) जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य गैर-इकाई (रिंग सिद्धांत) तत्व को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। प्रमुख तत्वों (या अलघुकरणीय तत्वों) की, विशिष्ट रूप से आदेश और इकाइयों तक।

UFDs के महत्वपूर्ण उदाहरण एक या एक से अधिक चर में पूर्णांक और बहुपद के छल्ले हैं, जो पूर्णांक से या एक क्षेत्र (गणित) से आते हैं।

उपवर्ग (सेट सिद्धांत) की निम्नलिखित श्रृंखला में अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन दिखाई देते हैं:

rngs ⊃ rings ⊃ commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ algebraically closed fields

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन को एक अभिन्न डोमेन R के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें R के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व x को अप्रासंगिक तत्वों p के उत्पाद (एक खाली उत्पाद यदि x एक इकाई है) के रूप में लिखा जा सकता है।_i आर और एक यूनिट (रिंग थ्योरी) यू:

एक्स = यू पी₁ p₂ ⋅⋅⋅ प_n एन ≥ 0 के साथ

और यह प्रतिनिधित्व निम्नलिखित अर्थों में अद्वितीय है: अगर क्यू₁, ..., क्यू_m R के अलघुकरणीय तत्व हैं और w एक ऐसी इकाई है

एक्स = डब्ल्यू क्यू₁ q₂ ⋅⋅⋅ क्यू_m एम ≥ 0 के साथ,

तब m = n, और एक विशेषण φ : {1, ..., n} → {1, ..., m} का अस्तित्व होता है जैसे कि p_i q से संबद्ध तत्व है_φ(i) i ∈ {1, ..., n} के लिए।

विशिष्टता भाग आमतौर पर सत्यापित करना कठिन होता है, यही कारण है कि निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा उपयोगी है:

एक अद्वितीय कारक डोमेन एक अभिन्न डोमेन आर है जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व को इकाई के उत्पाद और आर के प्रमुख तत्वों के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण

प्रारंभिक गणित से परिचित अधिकांश छल्ले UFD हैं:

• सभी प्रमुख आदर्श डोमेन, इसलिए सभी यूक्लिडियन डोमेन, यूएफडी हैं। विशेष रूप से, पूर्णांक (अंकगणित के मौलिक प्रमेय को भी देखें), गॉसियन पूर्णांक और ईसेनस्टीन पूर्णांक यूएफडी हैं।
• यदि R एक UFD है, तो R[X] भी है, R में गुणांकों के साथ बहुपद वलय है। जब तक R एक क्षेत्र नहीं है, R[X] एक प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं है। प्रेरण द्वारा, किसी भी यूएफडी (और विशेष रूप से एक क्षेत्र या पूर्णांक पर) पर किसी भी संख्या में चर में एक बहुपद अंगूठी एक यूएफडी है।
• औपचारिक शक्ति श्रृंखला रिंग KX₁,...,एक्स_n एक क्षेत्र K पर (या अधिक सामान्यतः एक नियमित UFD जैसे कि PID पर) एक UFD है। दूसरी ओर, UFD के ऊपर औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी को UFD होने की आवश्यकता नहीं है, भले ही UFD स्थानीय हो। उदाहरण के लिए, यदि R k[x,y,z]/(x² + और^साथ + साथ⁷) प्रधान आदर्श (x,y,z) पर तब R एक स्थानीय वलय है जो एक UFD है, लेकिन औपचारिक शक्ति श्रृंखला वलय RX ओवर R UFD नहीं है।
• ऑस्लैंडर-बक्सबौम प्रमेय कहता है कि प्रत्येक नियमित स्थानीय रिंग एक यूएफडी है।
• $\mathbb {Z} \left[e^{\frac {2\pi i}{n}}\right]$ सभी पूर्णांकों 1 ≤ n ≤ 22 के लिए एक UFD है, लेकिन n = 23 के लिए नहीं।
• मोरी ने दिखाया कि अगर जरिस्की रिंग का पूरा होना, जैसे नोथेरियन रिंग, एक UFD है, तो रिंग एक UFD है। इसका विलोम सत्य नहीं है: नोथेरियन स्थानीय रिंग हैं जो यूएफडी हैं लेकिन जिनकी पूर्णता नहीं है। ऐसा कब होता है इसका प्रश्न बल्कि सूक्ष्म है: उदाहरण के लिए, k[x,y,z]/(x) की अंगूठी के स्थानीयकरण के लिए² + और^साथ + साथ⁵) प्रमुख आदर्श (x,y,z) पर, स्थानीय रिंग और इसकी पूर्णता दोनों ही UFDs हैं, लेकिन k[x,y,z]/(x) के स्थानीयकरण के स्पष्ट रूप से समान उदाहरण में² + और^साथ + साथ⁷) प्रमुख आदर्श (x, y, z) पर स्थानीय वलय एक UFD है, लेकिन इसकी पूर्णता नहीं है।
• होने देना $R$ 2 के अलावा किसी भी विशेषता का एक क्षेत्र हो। क्लेन और नागाटा ने दिखाया कि अंगूठी आर [एक्स₁,...,एक्स_n]/Q एक UFD है जब भी Q, X में एक गैर-एकवचन द्विघात रूप है और n कम से कम 5 है। जब n = 4 रिंग को UFD नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, $R[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)$ यूएफडी नहीं है, क्योंकि तत्व $XY$ तत्व के बराबर है $ZW$ ताकि $XY$ और $ZW$ इरेड्यूसिबल में एक ही तत्व के दो अलग-अलग कारक हैं।
• अंगूठी Q[x,y]/(x^{ए</op>  + यानी2 + 1) एक UFD है, लेकिन रिंग Q(i)[x,y]/(xए</op>  + यानी2 + 1) नहीं है। दूसरी ओर, वलय Q[x,y]/(x2 + और2 – 1) UFD नहीं है, लेकिन रिंग Q(i)[x,y]/(x2 + और2 – 1) है (Samuel 1964, p.35). इसी तरह निर्देशांक वलय R[X,Y,Z]/(X2 + वाई2 + Z2 − 1) 2-आयामी क्षेत्र का एक UFD है, लेकिन निर्देशांक वलय C[X,Y,Z]/(X2 + वाई2 + Z2 − 1) जटिल गोले का नहीं है।}
• मान लीजिए कि चर X_i वजन डब्ल्यू दिया जाता है_i, और एफ (एक्स₁,...,एक्स_n) भार w का एक सजातीय बहुपद है। तब यदि c, w के लिए coprime है और R एक UFD है और या तो R पर प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी मॉड्यूल मुक्त है या c 1 mod w है, तो रिंग R [X₁,...,एक्स_n, जेड]/(जेड^{सी</सुप> − एफ(एक्स₁,...,एक्स_n)) एक यूएफडी है (Samuel 1964, p.31).}

गैर-उदाहरण

• द्विघात पूर्णांक वलय $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ फॉर्म की सभी जटिल संख्याओं में से $a+b{\sqrt {-5}}$, जहाँ a और b पूर्णांक हैं, एक UFD नहीं है क्योंकि 6 कारक दोनों 2×3 और जैसा हैं $\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right)$. ये वास्तव में अलग-अलग गुणनखंड हैं, क्योंकि इस वलय में केवल 1 और -1 इकाइयाँ हैं; अत: 2, 3 में से कोई नहीं, $1+{\sqrt {-5}}$, और $1-{\sqrt {-5}}$ यूनिट (रिंग थ्योरी) हैं। यह दिखाना कठिन नहीं है कि सभी चार कारक भी अप्रासंगिक हैं, हालांकि यह स्पष्ट नहीं हो सकता है। बीजगणितीय पूर्णांक भी देखें।
• एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक के लिए | वर्ग-मुक्त धनात्मक पूर्णांक d, के पूर्णांकों का वलय $\mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]$ जब तक d एक Heegner संख्या नहीं है, तब तक वह UFD नहीं बन पाएगा।
• जटिल संख्याओं पर औपचारिक शक्ति श्रृंखला का वलय एक UFD है, लेकिन उन लोगों का उपसमूह जो हर जगह अभिसरण करते हैं, दूसरे शब्दों में एक एकल जटिल चर में संपूर्ण कार्यों की वलय, एक UFD नहीं है, क्योंकि एक के साथ संपूर्ण कार्य मौजूद हैं शून्यों की अनंतता, और इस प्रकार अप्रासंगिक कारकों की अनंतता, जबकि एक UFD गुणनखंड परिमित होना चाहिए, उदा .:

$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{z^{2}} \over {n^{2}}}\right).$

गुण

पूर्णांकों के लिए परिभाषित कुछ अवधारणाओं को UFDs के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

• UFDs में, प्रत्येक इर्रिड्यूसिबल तत्व प्रमुख तत्व है। (किसी भी अभिन्न डोमेन में, प्रत्येक अभाज्य तत्व अप्रासंगिक है, लेकिन बातचीत हमेशा धारण नहीं करती है। उदाहरण के लिए, तत्व $z\in K[x,y,z]/(z^{2}-xy)$ इरेड्यूसिबल है, लेकिन प्राइम नहीं है।) ध्यान दें कि इसका एक आंशिक विलोम है: प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक डोमेन एक UFD है यदि और केवल अगर हर इर्रिड्यूसबल एलिमेंट प्राइम है।
• UFD के किसी भी दो तत्वों में सबसे बड़ा सामान्य विभाजक और सबसे कम सामान्य गुणक होता है। यहाँ, a और b का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक तत्व d है जो a और b दोनों को विभाजित करता है, और ऐसा है कि a और b का हर दूसरा सामान्य भाजक d को विभाजित करता है। ए और बी के सभी महानतम सामान्य विभाजक संबंधित तत्व हैं।
• कोई भी UFD अभिन्न रूप से बंद डोमेन है। दूसरे शब्दों में, यदि R भागफल क्षेत्र K के साथ एक UFD है, और यदि K में एक तत्व k, R में गुणांक वाले एक मोनिक बहुपद का मूल#गणित है, तो k, R का एक तत्व है।
• मान लीजिए कि S, UFD A का गुणनात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है। फिर एक वलय का स्थानीयकरण $S^{-1}A$ एक यूएफडी है। इसका एक आंशिक विलोम भी मान्य है; नीचे देखें।

एक अंगूठी के यूएफडी होने के लिए समतुल्य शर्तें

एक नोथेरियन रिंग इंटीग्रल डोमेन एक यूएफडी है अगर और केवल अगर हर ऊंचाई (रिंग थ्योरी) 1 प्राइम आइडियल प्रिंसिपल है (एक प्रमाण अंत में दिया गया है)। इसके अलावा, एक Dedekind डोमेन एक UFD है यदि और केवल यदि इसका आदर्श वर्ग समूह तुच्छ है। इस मामले में, यह वास्तव में एक प्रमुख आदर्श डोमेन है।

सामान्य तौर पर, एक अभिन्न डोमेन ए के लिए, निम्नलिखित शर्तें समतुल्य हैं:

1. ए एक यूएफडी है।
2. A के प्रत्येक अशून्य अभाज्य गुणज में एक अभाज्य अवयव होता है। (इरविंग कपलान्स्की)
3. A प्रमुख आदर्शों (ACCP) पर आरोही श्रृंखला की स्थिति और एक रिंग S के स्थानीयकरण को संतुष्ट करता है⁻¹A एक UFD है, जहां S अभाज्य तत्वों द्वारा जनरेट किया गया A का गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है। (नागाटा कसौटी)
4. ए प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है और प्रत्येक अलघुकरणीय तत्व प्रमुख तत्व है।
5. A परमाणु डोमेन है और हर अलघुकरणीय तत्व प्रमुख तत्व है।
6. A एक GCD डोमेन है जो प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।
7. A एक श्रेयर डोमेन है, और परमाणु डोमेन।
8. ए श्रेयर डोमेन है | प्री-श्रेयर डोमेन और एटॉमिक डोमेन।
9. A का एक विभाजक सिद्धांत है जिसमें प्रत्येक भाजक प्रधान है।
10. ए एक क्रुल डोमेन है जिसमें प्रत्येक विभाजक आदर्श प्रमुख है (वास्तव में, यह बॉरबाकी में यूएफडी की परिभाषा है।)
11. A एक क्रुल डोमेन है और ऊँचाई 1 का प्रत्येक अभाज्य गुणज प्रधान है।

व्यवहार में, (2) और (3) जाँच के लिए सबसे उपयोगी स्थितियाँ हैं। उदाहरण के लिए, यह (2) से तुरंत अनुसरण करता है कि एक पीआईडी ​​एक यूएफडी है, क्योंकि पीआईडी ​​​​में एक प्रमुख तत्व द्वारा प्रत्येक प्रमुख आदर्श उत्पन्न होता है।

एक अन्य उदाहरण के लिए, एक नोथेरियन इंटीग्रल डोमेन पर विचार करें जिसमें प्रत्येक ऊँचाई एक प्रमुख आदर्श है। चूँकि प्रत्येक प्रमुख आदर्श की परिमित ऊँचाई होती है, इसमें ऊँचाई एक प्रधान आदर्श (ऊँचाई पर प्रेरण) होती है जो कि प्रमुख है। द्वारा (2), अंगूठी एक UFD है।

यह भी देखें

• पैराफैक्टोरियल लोकल रिंग
• गैर-अनुवर्ती अद्वितीय गुणनखंड डोमेन

संदर्भ

• N. Bourbaki (1972). Commutative algebra. Paris, Hermann; Reading, Mass., Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 9780201006445.
• B. Hartley; T.O. Hawkes (1970). Rings, modules and linear algebra. Chapman and Hall. ISBN 0-412-09810-5. Chap. 4.
• Chapter II.5 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
• David Sharpe (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33718-6.
• Samuel, Pierre (1964), Murthy, M. Pavman (ed.), Lectures on unique factorization domains, Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, vol. 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0214579
• Samuel, Pierre (1968). "Unique factorization". The American Mathematical Monthly. 75 (9): 945–952. doi:10.2307/2315529. ISSN 0002-9890. JSTOR 2315529.