स्टेनर शांकव

1. शंक्वाकार खंड की स्टेनर पीढ़ी की परिभाषा

स्विस गणितज्ञ जैकब स्टेनर के नाम पर स्टेनर शंकु या अधिक सटीक रूप से स्टेनर की एक शंकु की पीढ़ी, एक फील्ड (गणित) पर एक प्रक्षेपी विमान में एक गैर-पतित क्वाड्रिक (प्रक्षेपी ज्यामिति) को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक तरीका है।

एक शंकु की सामान्य परिभाषा एक द्विघात रूप का उपयोग करती है (क्वाड्रिक (प्रक्षेपी ज्यामिति) देखें)। शंकु की एक अन्य वैकल्पिक परिभाषा एक अतिपरवलयिक ध्रुवीयता का उपयोग करती है। यह "कार्ल जॉर्ज क्रिश्चियन स्टॉडट शांकव द्वारा| के" के कारण है। जी. सी. वॉन स्टॉड्ट और कभी-कभी वॉन स्टॉड्ट शांकव कहा जाता है। वॉन स्टॉड की परिभाषा का नुकसान यह है कि यह केवल तभी काम करता है जब अंतर्निहित क्षेत्र में अजीब विशेषता (फ़ील्ड) हो (यानी, $Char\neq 2$).

स्टेनर शांकव की परिभाषा

• दो पेंसिल दी गई है (गणित) $B(U),B(V)$ दो बिंदुओं पर रेखाओं का $U,V$ (सभी पंक्तियां शामिल हैं $U$ और $V$ सम्मान।) और एक प्रक्षेपी लेकिन परिप्रेक्ष्य मानचित्रण नहीं $\pi$ का $B(U)$ पर $B(V)$. फिर संबंधित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु एक गैर-पतित प्रक्षेपी शांकव खंड बनाते हैं (आकृति 1)

2. रेखाओं के बीच परिप्रेक्ष्य मानचित्रण

एक परिप्रेक्ष्य मानचित्रण $\pi$ एक पेंसिल का $B(U)$ एक पेंसिल पर $B(V)$ एक आक्षेप (1-1 पत्राचार) है जैसे कि संबंधित रेखाएं एक निश्चित रेखा पर प्रतिच्छेद करती हैं $a$, जिसे परिप्रेक्ष्य की धुरी कहा जाता है $\pi$ (चित्र 2)।

एक प्रक्षेपी मानचित्रण परिप्रेक्ष्य मानचित्रण का एक परिमित उत्पाद है।

सरल उदाहरण: यदि कोई पहले आरेख बिंदु में बदलाव करता है $U$ और इसकी लाइनों की पेंसिल पर $V$ और स्थानांतरित पेंसिल को चारों ओर घुमाता है $V$ एक निश्चित कोण से $\varphi$ तब शिफ्ट (अनुवाद) और रोटेशन एक प्रोजेक्टिव मैपिंग उत्पन्न करते हैं $\pi$ बिंदु पर पेंसिल का $U$ पेंसिल पर $V$. उत्कीर्ण कोण प्रमेय से एक प्राप्त होता है: संगत रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु एक वृत्त बनाते हैं।

आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले फ़ील्ड के उदाहरण वास्तविक संख्याएँ हैं $\mathbb {R}$, परिमेय संख्याएँ $\mathbb {Q}$ या जटिल संख्याएँ $\mathbb {C}$. निर्माण परिमित प्रक्षेपी विमानों में उदाहरण प्रदान करते हुए परिमित क्षेत्रों पर भी काम करता है।

टिप्पणी: प्रोजेक्टिव विमानों के लिए मौलिक प्रमेय कहता है, कि एक फ़ील्ड (पुजारी का विमान) पर एक प्रोजेक्टिव प्लेन में एक प्रोजेक्टिव मैपिंग विशिष्ट रूप से तीन पंक्तियों की छवियों को निर्धारित करके निर्धारित की जाती है। इसका मतलब है कि, एक शंकु खंड के स्टेनर पीढ़ी के लिए, दो बिंदुओं के अलावा $U,V$ केवल 3 पंक्तियों के चित्र देने होते हैं। ये 5 आइटम (2 बिंदु, 3 पंक्तियां) विशिष्ट रूप से शांकव अनुभाग निर्धारित करते हैं।

टिप्पणी: संकेतन परिप्रेक्ष्य दोहरे कथन के कारण है: एक रेखा पर बिंदुओं का प्रक्षेपण $a$ एक केंद्र से $Z$ एक लाइन पर $b$ एक परिप्रेक्ष्य कहा जाता है (एक दोहरे शंकु की #स्टेनर पीढ़ी देखें)।

3. स्टेनर पीढ़ी का उदाहरण: एक बिंदु की पीढ़ी

उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण के लिए लाइनों की छवियां $a,u,w$ (तस्वीर देखें) दिए गए हैं: $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$. प्रक्षेपी मानचित्रण $\pi$ निम्नलिखित परिप्रेक्ष्य मानचित्रण का उत्पाद है $\pi _{b},\pi _{a}$: 1) $\pi _{b}$ बिंदु पर पेंसिल का परिप्रेक्ष्य मानचित्रण है $U$ पेंसिल पर बिंदु पर $O$ अक्ष के साथ $b$. 2) $\pi _{a}$ बिंदु पर पेंसिल का परिप्रेक्ष्य मानचित्रण है $O$ पेंसिल पर बिंदु पर $V$ अक्ष के साथ $a$. पहले इसकी जांच करनी चाहिए $\pi =\pi _{a}\pi _{b}$ गुण हैं: $\pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v$. इसलिए किसी भी रेखा के लिए $g$ छवि $\pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)$ का निर्माण किया जा सकता है और इसलिए बिंदुओं के एक मनमाना सेट की छवियां। रेखाएं $u$ और $v$ केवल शांकव बिंदु होते हैं $U$ और $V$ सम्मान .. इसलिए $u$ और $v$ उत्पन्न शांकव खंड की स्पर्शरेखा रेखाएँ हैं।

एक सबूत है कि यह विधि एक शंकु खंड उत्पन्न करती है जो लाइन के साथ एफ़िन प्रतिबंध पर स्विच करने से होती है $w$ अनंत पर रेखा के रूप में, बिंदु $O$ अंक के साथ एक समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के रूप में $U,V$ x- और y-अक्ष सम्मान की अनंतता पर बिंदु के रूप में। और बिंदु $E=(1,1)$. उत्पन्न वक्र का संबधित भाग अतिपरवलय प्रतीत होता है $y=1/x$.

टिप्पणी:

1. शंक्वाकार खंड की स्टेनर पीढ़ी दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय के निर्माण के लिए सरल विधियाँ प्रदान करती है जिन्हें आमतौर पर समांतर चतुर्भुज विधियाँ कहा जाता है।
2. एक बिंदु (आकृति 3) का निर्माण करते समय जो आंकड़ा दिखाई देता है वह पास्कल के प्रमेय का 4-बिंदु-अपघटन है।

एक दोहरे शांकव की स्टेनर पीढ़ी

दोहरी दीर्घवृत्त

दोहरे शंकु की स्टेनर पीढ़ी

परिप्रेक्ष्य मानचित्रण की परिभाषा

परिभाषाएँ और दोहरी पीढ़ी

द्वैतकरण (द्वैत देखें (प्रोजेक्टिव ज्यामिति)) एक प्रक्षेपी विमान का मतलब है कि रेखाओं और संचालन चौराहे और कनेक्टिंग के साथ बिंदुओं का आदान-प्रदान करना। प्रोजेक्टिव प्लेन की दोहरी संरचना भी एक प्रोजेक्टिव प्लेन है। एक पैपियन विमान का दोहरा विमान पपियन है और इसे सजातीय निर्देशांक द्वारा भी समन्वित किया जा सकता है। एक अविकृत दोहरे शंकु खंड को द्विघात रूप से समान रूप से परिभाषित किया गया है।

स्टेनर की द्वैत विधि द्वारा एक द्वैत शंकु उत्पन्न किया जा सकता है:

• दो पंक्तियों के बिंदु सेट दिए गए हैं $u,v$ और एक प्रक्षेपी लेकिन परिप्रेक्ष्य मानचित्रण नहीं $\pi$ का $u$ पर $v$. फिर संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाएं एक दोहरी गैर-पतित प्रक्षेपी शांकव खंड बनाती हैं।

एक परिप्रेक्ष्य मानचित्रण $\pi$ एक रेखा के बिंदु सेट का $u$ एक रेखा के बिंदु सेट पर $v$ एक आक्षेप (1-1 संगति) है जैसे कि संबंधित बिंदुओं की जोड़ने वाली रेखाएं एक निश्चित बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं $Z$, जिसे परिप्रेक्ष्य का केंद्र कहा जाता है $\pi$ (रेखा - चित्र देखें)।

एक प्रोजेक्टिव मैपिंग परिप्रेक्ष्य मैपिंग का एक सीमित क्रम है।

द्वैत और उभयनिष्ठ शंकु परिच्छेदों के साथ कार्य करते समय, सामान्य शांकव परिच्छेद को बिन्दु शांकव और द्वैत शांकव को रेखा शांकव कहना सामान्य है।

मामले में अंतर्निहित क्षेत्र है $Char=2$ एक बिंदु शंकु के सभी स्पर्शरेखा एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे शंकु की गाँठ (या नाभिक) कहा जाता है। इस प्रकार, एक गैर-पतित बिंदु शंकु का द्वैत एक द्वैत रेखा के बिंदुओं का एक उपसमुच्चय होता है, न कि एक अंडाकार वक्र (दोहरे तल में)। तो, केवल उस मामले में $Char\neq 2$ एक गैर-पतित बिंदु शंकु का द्वैत एक गैर-पतित रेखा शंकु है।

उदाहरण

दोहरे स्टेनर शांकव को दो दृष्टिकोणों द्वारा परिभाषित किया गया है $\pi _{A},\pi _{B}$

दोहरे शांकव की स्टेनर पीढ़ी का उदाहरण

(1) दो दृष्टिकोणों द्वारा दी गई प्रोजेक्टिविटी:

दो पंक्तियाँ $u,v$ चौराहे बिंदु के साथ $W$ दिए गए हैं और एक प्रोजेक्टिविटी $\pi$ से $u$ पर $v$ दो दृष्टिकोणों से $\pi _{A},\pi _{B}$ केंद्रों के साथ $A,B$. $\pi _{A}$ मानचित्र रेखा $u$ तीसरी पंक्ति पर $o$, $\pi _{B}$ मानचित्र रेखा $o$ लाइन पर $v$ (आरेख देखें)। बिंदु $W$ लाइनों पर झूठ नहीं बोलना चाहिए ${\overline {AB}},o$. प्रोजेक्टिविटी $\pi$ दो दृष्टिकोणों की रचना है: $\ \pi =\pi _{B}\pi _{A}$. इसलिए एक बिंदु $X$ पर मैप किया जाता है $\pi (X)=\pi _{B}\pi _{A}(X)$ और रेखा $x={\overline {X\pi (X)}}$ द्वारा परिभाषित दोहरे शंकु का एक तत्व है $\pi$
(अगर $W$ एक निश्चित बिंदु होगा, $\pi$ दृष्टिकोण होगा।)

(2) तीन बिंदु और उनके चित्र दिए गए हैं:
निम्नलिखित उदाहरण स्टेनर शांकव के लिए ऊपर दिया गया दोहरा उदाहरण है।
बिंदुओं के चित्र $A,U,W$ दिया जाता है: $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$. प्रक्षेपी मानचित्रण $\pi$ निम्नलिखित दृष्टिकोणों के उत्पाद द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $\pi _{B},\pi _{A}$:

1. $\pi _{B}$ रेखा के बिंदु समुच्चय का परिप्रेक्ष्य है $u$ लाइन के बिंदु सेट पर $o$ केंद्र के साथ $B$.
2. $\pi _{A}$ रेखा के बिंदु समुच्चय का परिप्रेक्ष्य है $o$ लाइन के बिंदु सेट पर $v$ केंद्र के साथ $A$.

एक आसानी से जांचता है कि प्रोजेक्टिव मैपिंग $\pi =\pi _{A}\pi _{B}$ पूरा $\pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V$. इसलिए किसी भी मनमाना बिंदु के लिए $G$ छवि $\pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)$ निर्माण और लाइन किया जा सकता है ${\overline {G\pi (G)}}$ एक गैर पतित दोहरे शांकव खंड का एक तत्व है। क्योंकि अंक $U$ और $V$ पंक्तियों में निहित हैं $u$, $v$ सम्मान।, अंक $U$ और $V$ शंकु और रेखाओं के बिंदु हैं $u,v$ पर स्पर्शरेखा हैं $U,V$.

एक रेखीय घटना ज्यामिति में आंतरिक शांकव

स्टाइनर निर्माण एक प्लानर रेखीय घटना ज्यामिति में शांकवों को परिभाषित करता है (दो बिंदु अधिकतम एक रेखा पर निर्धारित करते हैं और दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं) आंतरिक रूप से, यानी केवल संरेखन समूह का उपयोग करते हुए। विशेष रूप से, $E(T,P)$ बिंदु पर शंकु है $P$ कॉलिनेशन द्वारा प्रदान किया गया $T$, के चौराहों से मिलकर $L$ और $T(L)$ सभी पंक्तियों के लिए $L$ द्वारा $P$. अगर $T(P)=P$ या $T(L)=L$ कुछ के लिए $L$ तो शांकव पतित है। उदाहरण के लिए, वास्तविक समन्वय तल में, affine प्रकार (दीर्घवृत्त, परवलय, अतिपरवलय) $E(T,P)$ के मैट्रिक्स घटक के ट्रेस और निर्धारक द्वारा निर्धारित किया जाता है $T$, स्वतंत्र $P$.

इसके विपरीत, वास्तविक अतिपरवलयिक तल का संरेखन समूह $\mathbb {H} ^{2}$आइसोमेट्रीज के होते हैं। नतीजतन, आंतरिक शांकवों में सामान्य शांकवों का एक छोटा लेकिन विविध उपसमुच्चय शामिल होता है, एक अतिशयोक्तिपूर्ण डोमेन के साथ प्रक्षेपी शांकवों के चौराहों से प्राप्त वक्र। इसके अलावा, यूक्लिडियन विमान के विपरीत, डायरेक्ट के बीच कोई ओवरलैप नहीं है $E(T,P)$ - $T$ अभिविन्यास बरकरार रखता है - और इसके विपरीत $E(T,P)$ - $T$ अभिविन्यास को उलट देता है। प्रत्यक्ष मामले में केंद्रीय (समरूपता की दो लंबवत रेखाएँ) और गैर-केंद्रीय शांकव शामिल हैं, जबकि प्रत्येक विपरीत शंकु केंद्रीय है। भले ही प्रत्यक्ष और विपरीत केंद्रीय शांकव सर्वांगसम नहीं हो सकते हैं, वे समानता के पूरक कोणों के संदर्भ में परिभाषित अर्ध-समरूपता से संबंधित हैं। इस प्रकार, के किसी भी उलटा मॉडल में $\mathbb {H} ^{2}$, प्रत्येक सीधा केंद्रीय शांकव द्विभाजित रूप से एक विपरीत केंद्रीय शांकव के बराबर है। वास्तव में, केंद्रीय शांकव वास्तविक आकार अपरिवर्तनीय के साथ सभी जीनस 1 वक्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं $j\geq 1$. समरूपता के सामान्य केंद्र और अक्ष के साथ केंद्रीय प्रत्यक्ष शांकवों से प्रतिनिधियों का एक न्यूनतम सेट प्राप्त किया जाता है, जिससे आकृति अपरिवर्तनीय विलक्षणता का एक कार्य है, जो बीच की दूरी के संदर्भ में परिभाषित है। $P$ और $T(P)$. इन वक्रों के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र सभी जीनस 1 वक्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं $j\leq 1$, जो या तो अलघुकरणीय घन या द्वि-वृत्ताकार क्वार्टिक्स के रूप में प्रकट होते हैं। प्रत्येक प्रक्षेपवक्र पर अण्डाकार वक्र योग नियम का उपयोग करते हुए, प्रत्येक सामान्य केंद्रीय शंकु में $\mathbb {H} ^{2}$विशिष्ट रूप से दो आंतरिक शांकवों के योग के रूप में उन बिंदुओं के जोड़े जोड़कर विघटित होता है जहां शांकव प्रत्येक प्रक्षेपवक्र को काटते हैं।

संदर्भ

• Coxeter, H. S. M. (1993), The Real Projective Plane, Springer Science & Business Media
• Hartmann, Erich, Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF), retrieved 20 September 2014 (PDF; 891 kB).
• Merserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry, Dover, ISBN 0-486-63415-9