सेंटर-ऑफ-मोमेंटम फ्रेम

भौतिकी में, एक प्रणाली का केंद्र-की-गति फ्रेम (शून्य-गति फ्रेम या COM फ्रेम भी) अद्वितीय (वेग तक लेकिन मूल नहीं) जड़त्वीय फ्रेम है जिसमें सिस्टम की कुल गति गायब हो जाती है। एक प्रणाली का 'संवेग का केंद्र' एक स्थान नहीं है (लेकिन सापेक्ष संवेग/वेग का एक संग्रह: एक संदर्भ फ्रेम)। इस प्रकार गति के केंद्र का अर्थ केंद्र-संवेग फ्रेम है और यह इस वाक्यांश का संक्षिप्त रूप है। सेंटर-ऑफ-मोमेंटम फ्रेम का एक विशेष मामला सेंटर-ऑफ-मास फ्रेम है: एक जड़त्वीय फ्रेम जिसमें द्रव्यमान का केंद्र (जो एक भौतिक बिंदु है) मूल पर रहता है। सभी COM फ़्रेमों में, द्रव्यमान का केंद्र आराम पर है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह समन्वय प्रणाली के मूल में हो।

विशेष सापेक्षता में, COM फ्रेम आवश्यक रूप से केवल तभी अद्वितीय होता है जब सिस्टम पृथक होता है।

गुण

सामान्य

संवेग फ्रेम के केंद्र को जड़त्वीय फ्रेम के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें सभी कणों के रैखिक संवेग का योग 0 के बराबर है। एस को प्रयोगशाला संदर्भ प्रणाली को निरूपित करने दें और एस' केंद्र-संवेग संदर्भ फ्रेम को निरूपित करें। गैलिलियन रूपांतरण का उपयोग करते हुए, S′ में कण वेग है

$v'=v-V_{c},$

कहाँ

$V_{c}={\frac {\sum _{i}m_{i}v_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}$

द्रव्यमान केंद्र का वेग है। केंद्र-संवेग प्रणाली में कुल गति तब गायब हो जाती है:

$\sum _{i}p'_{i}=\sum _{i}m_{i}v'_{i}=\sum _{i}m_{i}(v_{i}-V_{c})=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{i}m_{i}{\frac {\sum _{j}m_{j}v_{j}}{\sum _{j}m_{j}}}=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{j}m_{j}v_{j}=0.$

साथ ही, सिस्टम की कुल ऊर्जा न्यूनतम ऊर्जा है जैसा कि सभी जड़त्वीय संदर्भ फ़्रेमों से देखा जाता है।

विशेष सापेक्षता

विशेष सापेक्षता में, COM फ्रेम एक पृथक विशाल प्रणाली के लिए मौजूद है। यह नोएदर के प्रमेय का परिणाम है#उदाहरण 2: संवेग केंद्र का संरक्षण|नोएदर का प्रमेय। COM फ्रेम में सिस्टम की कुल ऊर्जा बाकी ऊर्जा है, और यह मात्रा (जब कारक c², जहाँ c प्रकाश की गति है) प्रणाली का शेष द्रव्यमान (अपरिवर्तनीय द्रव्यमान) देता है:

$m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}.$

सिस्टम का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान सापेक्षतावादी अपरिवर्तनीय संबंध द्वारा किसी भी जड़त्वीय फ्रेम में दिया जाता है

$m_{0}{}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2},$

लेकिन शून्य संवेग के लिए संवेग पद (p/c)² गायब हो जाता है और इस प्रकार कुल ऊर्जा शेष ऊर्जा के साथ मेल खाती है।

ऐसी प्रणालियाँ जिनमें गैर-शून्य ऊर्जा होती है, लेकिन शून्य विश्राम द्रव्यमान (जैसे कि एक ही दिशा में चलने वाले फोटॉन, या समतुल्य, समतल तरंग विद्युत चुम्बकीय तरंगें) में COM फ्रेम नहीं होते हैं, क्योंकि ऐसा कोई फ्रेम नहीं है जिसमें उनका शुद्ध संवेग शून्य हो। प्रकाश की गति के अपरिवर्तनीय होने के कारण, द्रव्यमान रहित कण प्रणाली को किसी भी फ्रेम में प्रकाश की गति से यात्रा करनी चाहिए, और हमेशा शुद्ध गति होती है। इसकी ऊर्जा है - प्रत्येक संदर्भ फ्रेम के लिए - प्रकाश की गति से गुणा किए गए गति के परिमाण के बराबर:

$E=pc.$

दो शरीर की समस्या

इस फ्रेम के उपयोग का एक उदाहरण नीचे दिया गया है - दो-पिंडों की टक्कर में, जरूरी नहीं कि लोचदार (जहां गतिज ऊर्जा संरक्षित हो)। प्रयोगशाला फ्रेम की तुलना में COM फ्रेम का उपयोग कणों की गति को बहुत आसान खोजने के लिए किया जा सकता है: वह फ्रेम जहां माप या गणना की जाती है। द्रव्यमान m के दो कणों के लिए गैलिलियन परिवर्तनों और संवेग के संरक्षण (सामान्यता के लिए, केवल गतिज ऊर्जा के बजाय) का उपयोग करके स्थिति का विश्लेषण किया जाता है।₁ और एम₂, प्रारंभिक वेगों पर (टक्कर से पहले) चल रहा है₁ और आप₂ क्रमश। लैब फ्रेम (अप्राइमेड मात्रा) से प्रत्येक कण के वेग से COM फ्रेम (प्राइमेड मात्रा) में फ्रेम के वेग को लेने के लिए परिवर्तन लागू किए जाते हैं:

$\mathbf {u} _{1}^{\prime }=\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} ,\quad \mathbf {u} _{2}^{\prime }=\mathbf {u} _{2}-\mathbf {V}$

जहाँ V COM फ्रेम का वेग है। चूँकि V COM का वेग है, अर्थात COM स्थान R का समय व्युत्पन्न (सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति):

${\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}$

इसलिए COM फ्रेम के मूल में, R' = 0, इसका तात्पर्य है

$m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}$

लैब फ्रेम में संवेग संरक्षण को लागू करके वही परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं, जहाँ संवेग p हैं₁ और पी₂:

$\mathbf {V} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

और COM फ्रेम में, जहां यह निश्चित रूप से कहा गया है कि कणों का कुल संवेग, p₁' और प₂', गायब हो जाता है:

$\mathbf {p} _{1}^{\prime }+\mathbf {p} _{2}^{\prime }=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}$

वी के लिए हल करने के लिए COM फ्रेम समीकरण का उपयोग ऊपर दिए गए लैब फ्रेम समीकरण को लौटाता है, कणों के संवेग की गणना के लिए किसी भी फ्रेम (COM फ्रेम सहित) का प्रदर्शन किया जा सकता है। यह स्थापित किया गया है कि उपरोक्त फ्रेम का उपयोग करके गणना से COM फ्रेम के वेग को हटाया जा सकता है, इसलिए COM फ्रेम में कणों का संवेग हो सकता है लैब फ्रेम में मात्राओं के संदर्भ में व्यक्त किया गया (अर्थात दिए गए प्रारंभिक मान):

${\begin{aligned}\mathbf {p} _{1}^{\prime }&=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }\\&=m_{1}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} \right)={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}\right)\\&=-m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }\\\end{aligned}}$

ध्यान दें कि पार्टिकल 1 से 2 के लैब फ्रेम में आपेक्षिक वेग है

$\Delta \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}$

और 2-बॉडी कम द्रव्यमान है

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

इसलिए कणों का संवेग सघन रूप से कम हो जाता है

$\mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {u}$

यह दोनों कणों के संवेग की काफी सरल गणना है; घटे हुए द्रव्यमान और सापेक्ष वेग की गणना लैब फ्रेम और द्रव्यमान में प्रारंभिक वेगों से की जा सकती है, और एक कण का संवेग केवल दूसरे का ऋणात्मक होता है। गणना को अंतिम वेग v के लिए दोहराया जा सकता है₁ और वी₂ प्रारंभिक वेग यू के स्थान पर₁ और आप₂, टक्कर के बाद से वेग अभी भी उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करते हैं:

${\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}$

इसलिए COM फ्रेम के मूल में, R = 0, इसका तात्पर्य टक्कर के बाद है

$m_{1}\mathbf {v} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {v} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}$

लैब फ्रेम में, संवेग का संरक्षण पूरी तरह से पढ़ता है:

$m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V}$

यह समीकरण इसका मतलब नहीं है

$m_{1}\mathbf {u} _{1}=m_{1}\mathbf {v} _{1}=m_{1}\mathbf {V} ,\quad m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{2}\mathbf {V}$

इसके बजाय, यह केवल इंगित करता है कि कुल द्रव्यमान M को द्रव्यमान के केंद्र के वेग से गुणा किया जाता है 'V' प्रणाली का कुल संवेग 'P' है:

${\begin{aligned}\mathbf {P} &=\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\\&=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} \\&=M\mathbf {V} \end{aligned}}$

उपरोक्त के समान विश्लेषण प्राप्त होता है

$\mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {v} =\mu \Delta \mathbf {u}$

जहां कण 1 से 2 के लैब फ्रेम में अंतिम सापेक्ष वेग है

$\Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}=\Delta \mathbf {u} .$

यह भी देखें

• संदर्भ की प्रयोगशाला फ्रेम
• चौड़ा फ्रेम