यादृच्छिक तत्व

संभाव्यता सिद्धांत में, यादृच्छिक तत्व सरल वास्तविक रेखा की तुलना में अधिक जटिल स्थानों के लिए यादृच्छिक चर की अवधारणा का सामान्यीकरण है। अवधारणा द्वारा पेश किया गया था Maurice Fréchet (1948) जिन्होंने टिप्पणी की कि "संभाव्यता सिद्धांत के विकास और इसके अनुप्रयोगों के क्षेत्र के विस्तार ने उन योजनाओं से गुजरने की आवश्यकता को जन्म दिया है जहां (यादृच्छिक) प्रयोगों के परिणामों को संख्या या संख्याओं के परिमित सेट द्वारा वर्णित किया जा सकता है, योजनाओं के लिए जहां प्रयोगों के परिणाम उदाहरण के लिए, यादृच्छिक वेक्टर, फ़ंक्शन (गणित), प्रक्रियाओं, फ़ील्ड (गणित), श्रृंखला (गणित), परिवर्तन (ज्यामिति), और सेट (गणित) या सेट के संग्रह का प्रतिनिधित्व करते हैं। "यादृच्छिक तत्व" का आधुनिक उपयोग अक्सर मान लेता है कि मूल्यों का स्थान एक सांस्थितिक सदिश स्थान है, अक्सर एक बनच स्थान या हिल्बर्ट अंतरिक्ष जिसमें उपसमुच्चयों का एक निर्दिष्ट प्राकृतिक सिग्मा बीजगणित होता है।

परिभाषा

होने देना $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ एक संभावना स्थान हो, और $(E,{\mathcal {E}})$ एक मापने योग्य स्थान। E में मानों वाला एक यादृच्छिक तत्व एक फलन है X: Ω→E जो है $({\mathcal {F}},{\mathcal {E}})$-मापने योग्य समारोह। यही है, एक फ़ंक्शन एक्स ऐसा है कि किसी के लिए भी $B\in {\mathcal {E}}$, B की पूर्वकल्पना निहित है ${\mathcal {F}}$.

कभी-कभी यादृच्छिक तत्वों में मूल्यों के साथ $E$ कहा जाता है $E$-मूल्यवान यादृच्छिक चर।

ध्यान दें अगर $(E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, कहाँ $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ इसका बोरेल σ-बीजगणित है, तो यादृच्छिक तत्व की परिभाषा यादृच्छिक चर की शास्त्रीय परिभाषा है।

एक यादृच्छिक तत्व की परिभाषा $X$ एक Banach अंतरिक्ष में मूल्यों के साथ $B$ आमतौर पर सबसे छोटे का उपयोग करने के लिए समझा जाता है $\sigma$बी पर बीजगणित जिसके लिए प्रत्येक बाध्य रैखिक कार्यात्मक औसत दर्जे का है। एक समतुल्य परिभाषा, इस मामले में, उपरोक्त के लिए, वह एक मानचित्र है $X:\Omega \rightarrow B$, प्रायिकता स्थान से, एक यादृच्छिक तत्व है यदि $f\circ X$ प्रत्येक परिबद्ध रैखिक फलन f, या, समतुल्य, कि के लिए एक यादृच्छिक चर है $X$ कमजोर रूप से मापने योग्य कार्य है।

यादृच्छिक तत्वों के उदाहरण

यादृच्छिक चर

Main article: Random variable

एक यादृच्छिक चर सबसे सरल प्रकार का यादृच्छिक तत्व है। यह एक नक्शा है $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ संभावित परिणामों के सेट से एक मापने योग्य कार्य है $\Omega$ को $\mathbb {R}$.

वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में, $X$ अक्सर किसी दी गई घटना की कुछ संख्यात्मक मात्रा का वर्णन करता है। उदा. एक निश्चित संख्या में सिक्के पलटने के बाद सिर की संख्या; विभिन्न लोगों की ऊंचाई।

जब की छवि (गणित) (या श्रेणी)। $X$ परिमित या गणनीय रूप से अनंत है, यादृच्छिक चर को असतत यादृच्छिक चर कहा जाता है और इसके वितरण को प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो छवि में प्रत्येक मान को प्रायिकता प्रदान करता है $X$. यदि छवि बेशुमार अनंत है तो $X$ एक सतत यादृच्छिक चर कहा जाता है। विशेष मामले में कि यह बिल्कुल निरंतर है, इसके वितरण को संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो अंतरालों को संभावनाएं प्रदान करता है; विशेष रूप से, प्रत्येक अलग-अलग बिंदु में एक बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए आवश्यक रूप से शून्य प्रायिकता होनी चाहिए। सभी निरंतर यादृच्छिक चर बिल्कुल निरंतर नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए एक मिश्रण वितरण। ऐसे यादृच्छिक चरों को प्रायिकता घनत्व या प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है।

रैंडम वेक्टर

Main article: Random vector

एक यादृच्छिक वेक्टर एक कॉलम वेक्टर सदिश स्थल है $\mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}$ (या इसका स्थानान्तरण, जो एक पंक्ति सदिश है) जिसके घटक अदिश (गणित) हैं - समान संभाव्यता स्थान पर यादृच्छिक चर $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$, कहाँ $\Omega$ नमूना स्थान है, ${\mathcal {F}}$ सिग्मा-बीजगणित (सभी घटनाओं का संग्रह) है, और $P$ प्रायिकता माप है (प्रत्येक ईवेंट की प्रायिकता लौटाने वाला फ़ंक्शन)।

यादृच्छिक वैक्टर अक्सर विभिन्न प्रकार के कुल यादृच्छिक चर के अंतर्निहित कार्यान्वयन के रूप में उपयोग किए जाते हैं, उदा। एक यादृच्छिक मैट्रिक्स, यादृच्छिक पेड़, यादृच्छिक क्रम, यादृच्छिक प्रक्रिया, आदि।

रैंडम मैट्रिक्स

Main article: Random matrix theory

एक यादृच्छिक मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) -मूल्यवान यादृच्छिक तत्व है। भौतिक प्रणालियों के कई महत्वपूर्ण गुणों को गणितीय रूप से मैट्रिक्स समस्याओं के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जाली मॉडल (भौतिकी) की तापीय चालकता की गणना जाली के भीतर कण-कण अंतःक्रियाओं के गतिशील मैट्रिक्स से की जा सकती है।

रैंडम फंक्शन

Main article: Random function

एक यादृच्छिक कार्य एक प्रकार का यादृच्छिक तत्व है जिसमें कार्यों के कुछ परिवार से एक परिणाम का चयन किया जाता है, जहां परिवार में फ़ंक्शन के डोमेन से कोडोमेन तक सभी मानचित्रों के कुछ वर्ग होते हैं। उदाहरण के लिए, कक्षा सभी निरंतर कार्यों या सभी चरण कार्यों तक सीमित हो सकती है। एक ही बोध से विभिन्न बिंदुओं पर मूल्यांकन किए गए एक यादृच्छिक फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित मान आमतौर पर सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र नहीं होंगे, लेकिन मॉडल के आधार पर, अलग-अलग बोध से समान या अलग-अलग बिंदुओं पर निर्धारित मूल्यों को स्वतंत्र माना जा सकता है।

यादृच्छिक प्रक्रिया

Main article: Random process

एक यादृच्छिक प्रक्रिया यादृच्छिक चर का संग्रह है, जो समय के साथ यादृच्छिक मूल्यों की कुछ प्रणाली के विकास का प्रतिनिधित्व करती है। यह एक नियतात्मक प्रक्रिया (या नियतात्मक प्रणाली) का संभाव्य समकक्ष है। एक ऐसी प्रक्रिया का वर्णन करने के बजाय जो केवल एक ही तरीके से विकसित हो सकती है (उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, सामान्य अंतर समीकरण के समाधान के मामले में), एक यादृच्छिक या यादृच्छिक प्रक्रिया में कुछ अनिश्चितता होती है: भले ही प्रारंभिक स्थिति (या प्रारंभिक बिंदु) ) ज्ञात है, ऐसी कई (अक्सर असीम रूप से कई) दिशाएँ हैं जिनमें प्रक्रिया विकसित हो सकती है।

असतत-समय स्टोचैस्टिक प्रक्रिया के साधारण मामले में, सतत-समय स्टोचैस्टिक प्रक्रिया के विपरीत, एक स्टोचैस्टिक प्रक्रिया में यादृच्छिक चर का अनुक्रम (गणित) और इन यादृच्छिक चर से जुड़ी समय श्रृंखला शामिल होती है (उदाहरण के लिए, मार्कोव श्रृंखला भी देखें) असतत-समय मार्कोव श्रृंखला के रूप में जाना जाता है)।

यादृच्छिक क्षेत्र

Main article: Random field

एक संभाव्यता स्थान दिया गया $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ और मापने योग्य स्थान X, एक्स-वैल्यू रैंडम फील्ड एक्स-वैल्यू का एक संग्रह है टोपोलॉजिकल स्पेस टी में तत्वों द्वारा अनुक्रमित यादृच्छिक चर। यानी, एक यादृच्छिक क्षेत्र एफ एक संग्रह है

$\{F_{t}:t\in T\}$

जहां प्रत्येक $F_{t}$ एक एक्स-मूल्यवान यादृच्छिक चर है।

मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र (एमआरएफ), गिब्स यादृच्छिक क्षेत्र (जीआरएफ), सशर्त यादृच्छिक क्षेत्र (सीआरएफ), और गॉसियन यादृच्छिक क्षेत्र सहित कई प्रकार के यादृच्छिक क्षेत्र मौजूद हैं। एक एमआरएफ मार्कोवियन संपत्ति प्रदर्शित करता है

$P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i}),\,$

कहाँ $\partial _{i}$ यादृच्छिक चर X के पड़ोसियों का एक समूह है_i. दूसरे शब्दों में, संभावना है कि एक यादृच्छिक चर मान लेता है अन्य यादृच्छिक चर पर केवल उन लोगों के माध्यम से निर्भर करता है जो इसके तत्काल पड़ोसी हैं। एक MRF में एक यादृच्छिक चर की प्रायिकता किसके द्वारा दी जाती है

$P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(\omega )}{\sum _{\omega '}P(\omega ')}},$

जहां Ω' यादृच्छिक चर X को छोड़कर Ω की समान प्राप्ति है_i. 1974 में जूलियन बेसाग द्वारा प्रस्तावित एमआरएफ और जीआरएफ के बीच संबंध का सहारा लिए बिना, इस समीकरण के साथ गणना करना मुश्किल है।

यादृच्छिक माप

Main article: Random measure

एक यादृच्छिक माप एक माप (गणित) है - यादृच्छिक यादृच्छिक तत्व। बता दें कि X एक पूर्ण वियोज्य मीट्रिक स्थान है और ${\mathfrak {B}}(X)$ सिग्मा-बीजगणित#उत्पन्न .CF.83-बीजगणित|σ-इसके बोरेल सेटों का बीजगणित। एक्स पर एक बोरेल माप μ निश्चित रूप से परिमित है यदि μ(A) < ∞ प्रत्येक बंधे हुए बोरेल सेट ए के लिए। $M_{X}$ पर सभी सीमित परिमित उपायों का स्थान हो ${\mathfrak {B}}(X)$. होने देना (Ω, ℱ, P) एक प्रायिकता स्थान हो, तो एक यादृच्छिक माप इस प्रायिकता स्थान से औसत दर्जे का स्थान मैप करता है ($M_{X}$, ${\mathfrak {B}}(M_{X})$). आम तौर पर एक उपाय को विघटित किया जा सकता है:

$\mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},$

यहाँ $\mu _{d}$ परमाणुओं के बिना एक विसरित माप है, जबकि $\mu _{a}$ विशुद्ध रूप से परमाणु माप है।

रैंडम सेट

एक यादृच्छिक सेट एक सेट-मूल्यवान यादृच्छिक तत्व है।

एक विशिष्ट उदाहरण एक यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट है। होने देना $(M,d)$ एक पूर्ण स्थान वियोज्य अंतरिक्ष मीट्रिक स्थान हो। होने देना ${\mathcal {K}}$ के सभी कॉम्पैक्ट सबसेट के सेट को निरूपित करें $M$. हॉसडॉर्फ मीट्रिक $h$ पर ${\mathcal {K}}$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.$

$({\mathcal {K}},h)$ एक पूर्ण वियोज्य मीट्रिक स्थान भी है। संबंधित खुले उपसमुच्चय एक सिग्मा बीजगणित उत्पन्न करते हैं|σ-बीजगणित पर ${\mathcal {K}}$, बोरेल सिग्मा बीजगणित ${\mathcal {B}}({\mathcal {K}})$ का ${\mathcal {K}}$.

एक यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट एक औसत दर्जे का कार्य है $K$ संभाव्यता स्थान से $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ में $({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))$.

दूसरा तरीका रखो, एक यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट एक औसत दर्जे का कार्य है $K\colon \Omega \to 2^{M}$ ऐसा है कि $K(\omega )$ लगभग निश्चित रूप से कॉम्पैक्ट है और

$\omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)$

प्रत्येक के लिए एक मापने योग्य कार्य है $x\in M$.

यादृच्छिक ज्यामितीय वस्तुएँ

इनमें यादृच्छिक बिंदु, यादृच्छिक आंकड़े, और यादृच्छिक आकार।

संदर्भ

साहित्य

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• हॉफमैन-जोर्गेनसन जे., पिसिएर जी. (1976) ऐन.प्रोब। , वी.4, 587-589।
• मौरियर ई. (1955) रैंडम एलिमेंट्स इन ए बनच स्पेस (ये)। पेरिस।
• प्रोखोरोव यू.वी. (1999) यादृच्छिक तत्व। संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी। विश्वकोश। मॉस्को: द ग्रेट रशियन एनसाइक्लोपीडिया, पी।

बाहरी संबंध

• Entry in Springer Encyclopedia of Mathematics

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