स्केल पैरामीटर

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, स्केल पैरामीटर संभाव्यता वितरण के पैरामीट्रिक परिवार का एक विशेष प्रकार का संख्यात्मक पैरामीटर है। स्केल पैरामीटर जितना बड़ा होगा, वितरण उतना ही अधिक फैला होगा।

परिभाषा

यदि संभाव्यता वितरण का एक परिवार ऐसा है कि एक पैरामीटर एस (और अन्य पैरामीटर θ) है जिसके लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन संतुष्ट करता है

$F(x;s,\theta )=F(x/s;1,\theta ),\!$

तब s को 'स्केल पैरामीटर' कहा जाता है, क्योंकि इसका मान प्रायिकता वितरण के पैमाने (अनुपात) या सांख्यिकीय फैलाव को निर्धारित करता है। यदि s बड़ा है, तो वितरण अधिक फैला हुआ होगा; यदि एस छोटा है तो यह अधिक केंद्रित होगा।

धनात्मक वास्तविक रेखा पर समर्थित संभाव्यता वितरण पर स्केल पैरामीटर के प्रभावों को दर्शाने वाला एनिमेशन।

दो सामान्य प्रायिकता वितरणों के मिश्रण पर स्केल पैरामीटर का प्रभाव

यदि संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन पूर्ण पैरामीटर सेट के सभी मानों के लिए मौजूद है, तो घनत्व (केवल स्केल पैरामीटर के फ़ंक्शन के रूप में) संतुष्ट करता है

$f_{s}(x)=f(x/s)/s,\!$

जहाँ f घनत्व के मानकीकृत संस्करण का घनत्व है, अर्थात $f(x)\equiv f_{s=1}(x)$.

स्केल पैरामीटर के एक अनुमानक को स्केल का अनुमानक कहा जाता है।

स्थान पैरामीटर वाले परिवार

ऐसे मामले में जहां एक पैरामीट्रिज्ड परिवार का स्थान पैरामीटर होता है, थोड़ी अलग परिभाषा अक्सर निम्नानुसार उपयोग की जाती है। यदि हम स्थान पैरामीटर को निरूपित करते हैं $m$, और स्केल पैरामीटर द्वारा $s$, तो हमें उसकी आवश्यकता है $F(x;s,m,\theta )=F((x-m)/s;1,0,\theta )$ कहाँ $F(x,s,m,\theta )$ parametrized परिवार के लिए cmd है। एक गैर-केंद्रीय गॉसियन के मानक विचलन के लिए एक स्केल पैरामीटर होने के लिए यह संशोधन आवश्यक है, अन्यथा जब हम पुनर्विक्रय करते हैं तो माध्य बदल जाएगा $x$. हालाँकि, इस वैकल्पिक परिभाषा का लगातार उपयोग नहीं किया जाता है।

सरल जोड़तोड़

हम लिख सकते हैं $f_{s}$ के अनुसार $g(x)=x/s$, निम्नलिखित नुसार:

$f_{s}(x)=f\left({\frac {x}{s}}\right)\cdot {\frac {1}{s}}=f(g(x))g'(x).$

चूँकि f प्रायिकता घनत्व फलन है, यह एकता से एकीकृत होता है:

$1=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{g(-\infty )}^{g(\infty )}f(x)\,dx.$

इंटीग्रल कैलकुलस के प्रतिस्थापन नियम से, हमारे पास तब है

$1=\int _{-\infty }^{\infty }f(g(x))g'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x)\,dx.$

इसलिए $f_{s}$ भी ठीक से सामान्यीकृत है।

दर पैरामीटर

वितरण के कुछ परिवार दर पैरामीटर (या व्युत्क्रम स्केल पैरामीटर) का उपयोग करते हैं, जो कि 'स्केल पैरामीटर' का पारस्परिक है। तो उदाहरण के लिए पैमाने पैरामीटर β और संभाव्यता घनत्व के साथ घातीय वितरण

$f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0$

समान रूप से दर पैरामीटर λ के रूप में लिखा जा सकता है

$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.$

उदाहरण

• समान वितरण (निरंतर) के स्थान पैरामीटर के साथ पैरामीटरकृत किया जा सकता है $(a+b)/2$ और एक स्केल पैरामीटर $|b-a|$.
• सामान्य वितरण के दो पैरामीटर होते हैं: एक स्थान पैरामीटर $\mu$ और एक स्केल पैरामीटर $\sigma$. व्यवहार में सामान्य वितरण को अक्सर स्क्वेर्ड स्केल के रूप में परिचालित किया जाता है $\sigma ^{2}$, जो वितरण के विचरण के अनुरूप है।
• गामा वितरण आमतौर पर स्केल पैरामीटर के संदर्भ में पैरामीटरकृत होता है $\theta$ या इसका उलटा।
• वितरण के विशेष मामले जहां पैमाने का पैरामीटर एकता के बराबर होता है, उसे कुछ शर्तों के तहत मानक कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि स्थान पैरामीटर शून्य के बराबर है और स्केल पैरामीटर एक के बराबर है, तो सामान्य वितरण को मानक सामान्य वितरण के रूप में जाना जाता है, और कॉची वितरण को मानक कॉची वितरण के रूप में जाना जाता है।

अनुमान

एक पैमाने पैरामीटर का अनुमान लगाने के लिए एक आंकड़े का उपयोग तब तक किया जा सकता है जब तक:

• स्थान-परिवर्तनशील है,
• स्केल पैरामीटर के साथ रैखिक रूप से स्केल करें, और
• नमूना आकार बढ़ने पर अभिसरण होता है।

विभिन्न सांख्यिकीय फैलाव#सांख्यिकीय फैलाव के उपाय इन्हें संतुष्ट करते हैं। पैमाने पैरामीटर के लिए आंकड़े को एक सुसंगत अनुमानक बनाने के लिए, सामान्य रूप से स्थिर पैमाने के कारक से आंकड़े को गुणा करना चाहिए। इस पैमाने के कारक को सांख्यिकीय के एसिम्प्टोटिक मान द्वारा आवश्यक स्केल पैरामीटर को विभाजित करके प्राप्त मूल्य के सैद्धांतिक मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है। ध्यान दें कि स्केल कारक प्रश्न में वितरण पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए, सामान्य वितरण के मानक विचलन का अनुमान लगाने के लिए औसत पूर्ण विचलन (एमएडी) का उपयोग करने के लिए, इसे कारक से गुणा करना होगा

$1/\Phi ^{-1}(3/4)\approx 1.4826,$

जहां Φ⁻¹ मानक सामान्य बंटन के लिए मात्रात्मक फलन (संचयी बंटन फलन का व्युत्क्रम) है। (विवरण के लिए माध्यिका निरपेक्ष विचलन#रिलेशन टू स्टैंडर्ड डेविएशन देखें।) अर्थात्, MAD एक सामान्य वितरण के मानक विचलन के लिए एक सुसंगत अनुमानक नहीं है, लेकिन 1.4826... MAD एक सुसंगत अनुमानक है। इसी तरह, मानक विचलन के लिए एक सुसंगत अनुमानक होने के लिए औसत निरपेक्ष विचलन को लगभग 1.2533 से गुणा करने की आवश्यकता है। यदि जनसंख्या सामान्य वितरण का पालन नहीं करती है तो मानक विचलन का अनुमान लगाने के लिए विभिन्न कारकों की आवश्यकता होगी।

यह भी देखें

• केंद्रीय प्रवृत्ति
• अपरिवर्तनीय अनुमानक
• स्थान पैरामीटर
• स्थान-पैमाने पर परिवार
• माध्य-संरक्षण प्रसार
• स्केल मिश्रण
• आकार पैरामीटर
• सांख्यिकीय फैलाव

अग्रिम पठन

• Mood, A. M.; Graybill, F. A.; Boes, D. C. (1974). "VII.6.2 Scale invariance". Introduction to the theory of statistics (3rd ed.). New York: McGraw-Hill.