सटीक संचालिका

This article is about exact functors in homological algebra. For exact functors between regular categories, see regular category.

गणित में, विशेष रूप से होमोलॉजिकल बीजगणित, एक सटीक फ़ैक्टर एक ऑपरेटर है जो कम सटीक अनुक्रमों को संरक्षित करता है। बीजगणितीय गणनाओं के लिए सटीक कारक सुविधाजनक होते हैं क्योंकि उन्हें वस्तुओं की प्रस्तुतियों पर सीधे लागू किया जा सकता है। होमोलॉजिकल बीजगणित में अधिकांश कार्य उन फ़ैक्टरों से निपटने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं जो 'विफल' सटीक होने के लिए हैं, लेकिन उन तरीकों से जिन्हें अभी भी नियंत्रित किया जा सकता है।

परिभाषाएँ

मान लीजिए कि P और Q आबेली श्रेणियाँ हैं, और मान लीजिए F: P→Q एक सहसंयोजक फ़ंक्टर योगात्मक कारक बनें (ताकि, विशेष रूप से, F(0) = 0)। हम कहते हैं कि F एक सटीक फ़ंक्टर है यदि जब भी

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :$0\to A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0$ पी में एक छोटा सटीक अनुक्रम है

$0\to F(A)\ {\stackrel {F(f)}{\longrightarrow }}\ F(B)\ {\stackrel {F(g)}{\longrightarrow }}\ F(C)\to 0$ क्यू में एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम है। (नक्शे अक्सर छोड़े गए और निहित होते हैं, और एक कहता है: यदि 0→A→B→C→0 सटीक है, तो 0→' 'F(A)→F(B)→F(C)→0 भी सटीक है।)

आगे हम कहते हैं कि 'F' है

• बाएं-सटीक अगर जब भी 0→A→B→C→0 सटीक है तो 0→F(A)→F (बी)→एफ(सी) सटीक है;
• सही-सटीक अगर जब भी 0→A→B→C→0 सटीक है तो F(A)→F(' 'B)→F(C)→0 सटीक है;
• आधा सटीक अगर जब भी 0→A→B→C→0 सटीक है तो F(A)→F(' 'B)→F(C) सटीक है। यह एक टोपोलॉजिकल अर्ध-सटीक फ़ैक्टर की धारणा से अलग है।

अगर जी पी से क्यू तक एक प्रतिपरिवर्तक फ़ंक्टर एडिटिव फ़ंक्टर है, तो हम इसी तरह जी को परिभाषित करते हैं

• सटीक अगर जब भी 0→A→B→C→0 सटीक है तो 0→G(C)→G(' 'बी)→जी(ए)→0 सटीक है;
• बाएं-सटीक अगर जब भी 0→A→B→C→0 सटीक है तो 0→G(C)→G (B)→G(A) सटीक है;
• सही-सटीक अगर जब भी 0→A→B→C→0 सटीक है तो G(C)→G(' 'बी)→जी(ए)→0 सटीक है;
• आधा सटीक अगर जब भी 0→A→B→C→0 सटीक है तो G(C)→G(' 'B)→G(A) सटीक है।

कुछ सटीकता को बनाए रखने के लिए हमेशा संपूर्ण संक्षिप्त सटीक अनुक्रम 0→A→B→C→0 से प्रारंभ करना आवश्यक नहीं है। निम्नलिखित परिभाषाएँ ऊपर दी गई परिभाषा के समतुल्य हैं:

• F सटीक है अगर और केवल अगर A→B→C सटीक अर्थ F(A)→F( बी)→एफ(सी) सटीक;
• F वाम-सटीक है अगर और केवल अगर 0→A→B→C सटीक अर्थ 0→F(A)→ F(B)→F(C) सटीक (अर्थात यदि F गुठली को गुठली में बदल देता है);
• F सही-सटीक है अगर और केवल अगर A→B→C→0 सटीक अर्थ है F(A)→ F(B)→F(C)→0 सटीक (अर्थात यदि F कोकर्नेल को कोकर्नेल में बदल देता है);
• G वाम-सटीक है यदि और केवल यदि A→B→C→0 सटीक तात्पर्य 0→G(C)→ है G(B)→G(A) सटीक (अर्थात यदि G कोकर्नेल को गुठली में बदल देता है);
• G सही-सटीक है अगर और केवल अगर 0→A→B→C का सटीक अर्थ है G(C)→ G(B)→G(A)→0 सटीक (यानी अगर G गुठली को कोकर्नेल में बदल देता है)।

उदाहरण

एबेलियन श्रेणियों की श्रेणियों की प्रत्येक समानता सटीक है।

बाएँ सटीक फ़ैक्टरों के सबसे बुनियादी उदाहरण मैं एक आदमी के रूप में काम करता हूं हैं: यदि A एक एबेलियन श्रेणी है और A A की वस्तु है, तो F_A(एक्स) = आदमी_A(ए, एक्स) एबेलियन समूहों की श्रेणी के लिए 'ए' से सहसंयोजक बाएं-सटीक फ़ंक्टर को परिभाषित करता है। एबेलियन समूहों की श्रेणी 'एबी'। फ़ैक्टर एफ_A सटीक है अगर और केवल अगर ए प्रक्षेपी मॉड्यूल है। फ़ैक्टर जी_A(एक्स) = आदमी_A(एक्स, ए) एक विपरीत बाएं-सटीक फ़ैक्टर है; यह सटीक है अगर और केवल अगर ए इंजेक्शन मॉड्यूल है। यदि k एक क्षेत्र (गणित) है और V k पर एक सदिश समष्टि है, तो हम लिखते हैं V * = होम_k(वी, के) (इसे आमतौर पर दोहरी जगह के रूप में जाना जाता है)। यह वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से स्वयं के लिए के-वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से एक विरोधाभासी सटीक फ़ैक्टर उत्पन्न करता है। (सटीकता ऊपर से अनुसरण करती है: k एक इंजेक्शन मॉड्यूल k-मॉड्यूल (गणित) है। वैकल्पिक रूप से, कोई यह तर्क दे सकता है कि k-वेक्टर रिक्त स्थान का प्रत्येक छोटा सटीक अनुक्रम सटीक अनुक्रम को विभाजित करता है, और कोई भी एडिटिव फ़ंक्टर विभाजित अनुक्रमों को विभाजित अनुक्रमों में बदल देता है।)

यदि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो हम X पर एबेलियन समूहों के सभी शीफ (गणित) की एबेलियन श्रेणी पर विचार कर सकते हैं। सहसंयोजक फ़ंक्टर जो प्रत्येक शीफ़ F से जुड़ता है, वैश्विक वर्गों का समूह F(X) बाएँ-सटीक है।

यदि R एक वलय (गणित) है और T एक सही R-मॉड्यूल (गणित) है, तो हम एक functor H को परिभाषित कर सकते हैं_T एबेलियन श्रेणी के मॉड्यूल से | आर: एच पर टेंसर उत्पाद का उपयोग करके सभी बाएं आर-मॉड्यूल की श्रेणी 'एबी' तक_T(एक्स) = टी ⊗ एक्स। यह एक सहसंयोजक सही सटीक फ़ैक्टर है; यह सटीक है अगर और केवल अगर टी फ्लैट मॉड्यूल है। दूसरे शब्दों में, बाएं R मॉड्यूल का एक सटीक अनुक्रम A→B→C→0 दिया गया है, एबेलियन समूहों का अनुक्रम T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 सटीक है।

उदाहरण के लिए, $\mathbb {Q}$ एक फ्लैट है $\mathbb {Z}$-मापांक। इसलिए, साथ टेंसरिंग $\mathbb {Q}$ के तौर पर $\mathbb {Z}$-मॉड्यूल एक सटीक फ़ैक्टर है। प्रमाण: यह दर्शाने के लिए पर्याप्त है कि यदि i का एक अंतःक्षेपी मानचित्र है $\mathbb {Z}$-मॉड्यूल $i:M\to N$, फिर टेंसर उत्पादों के बीच संबंधित मानचित्र $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ इंजेक्शन है। कोई यह दिखा सकता है $m\otimes q=0$ अगर और केवल अगर $m$ एक मरोड़ तत्व है या $q=0$. दिए गए टेंसर उत्पादों में केवल शुद्ध टेंसर होते हैं। इसलिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि यदि एक शुद्ध टेंसर $m\otimes q$ कर्नेल (बीजगणित) में है, तो यह शून्य है। लगता है कि $m\otimes q$ कर्नेल का एक तत्व है। तब, $i(m)$ मरोड़ है। तब से $i$ इंजेक्शन है, $m$ मरोड़ है। इसलिए, $m\otimes q=0$. इसलिए, $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ इंजेक्शन भी है।

सामान्य तौर पर, यदि T सपाट नहीं है, तो टेन्सर उत्पाद सटीक नहीं बचा है। उदाहरण के लिए, के संक्षिप्त सटीक अनुक्रम पर विचार करें $\mathbf {Z}$-मॉड्यूल $5\mathbf {Z} \hookrightarrow \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$. तानना खत्म $\mathbf {Z}$ साथ $\mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ एक अनुक्रम देता है जो अब सटीक नहीं है, चूँकि $\mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ मरोड़ रहित नहीं है और इसलिए सपाट नहीं है।

यदि ए एबेलियन श्रेणी है और सी एक मनमानी छोटी श्रेणी श्रेणी (गणित) है, तो हम फ़ैक्टर श्रेणी ए पर विचार कर सकते हैं^C में C से A तक के सभी फ़ैक्टर शामिल हैं; यह एबेलियन है। यदि X C की दी गई वस्तु है, तो हमें एक functor E मिलता है_X एक से^C से A X पर फ़ैक्टरों का मूल्यांकन करके। यह functor ई_X सटीक है।

जबकि टेंसरिंग सटीक नहीं छोड़ा जा सकता है, यह दिखाया जा सकता है कि टेंसरिंग एक सही सटीक फ़ैक्टर है:

प्रमेय: ए, बी, सी और पी को गुणात्मक पहचान वाले एक क्रमविनिमेय अंगूठी आर के लिए आर-मॉड्यूल होने दें। होने देना $A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0$ आर-मॉड्यूल का एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम हो। तब

$A\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}B\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}C\otimes _{R}P\to 0$

आर-मॉड्यूल का एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम भी है। (चूँकि R क्रमविनिमेय है, यह अनुक्रम R-मॉड्यूल का एक क्रम है और केवल एबेलियन समूहों का नहीं है)। यहाँ, हम परिभाषित करते हैं

$f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p$.

इसका एक उपयोगी परिणाम है: यदि I, R का एक आदर्श (रिंग थ्योरी) है और P ऊपर जैसा है, तो $P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP$.

सबूत: $I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0$, जहां एफ समावेशन है और जी प्रक्षेपण है, आर-मॉड्यूल का एक सटीक अनुक्रम है। ऊपर से हम पाते हैं कि:$I\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}R\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}R/I\otimes _{R}P\to 0$ आर-मॉड्यूल का एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम भी है। सटीकता से, $R/I\otimes _{R}P\cong (R\otimes _{R}P)/Image(f\otimes P)=(R\otimes _{R}P)/(I\otimes _{R}P)$, चूंकि f समावेशन है। अब, मॉड्यूल समरूपता पर विचार करें। आर-मॉड्यूल समरूपता से $R\otimes _{R}P\rightarrow P$ शुद्ध टेंसरों पर परिभाषित मानचित्र को आर-रैखिक रूप से विस्तारित करके दिया गया है: $r\otimes p\mapsto rp.rp=0$ इसका आशय है $0=rp\otimes 1=r\otimes p$. इसलिए, इस मानचित्र के कर्नेल में कोई गैर-शून्य शुद्ध टेंसर नहीं हो सकता है। $R\otimes _{R}P$ केवल शुद्ध टेंसरों से बना है: के लिए $x_{i}\in R,\sum _{i}x_{i}(r_{i}\otimes p_{i})=\sum _{i}1\otimes (r_{i}x_{i}p_{i})=1\otimes (\sum _{i}r_{i}x_{i}p_{i})$. तो, यह नक्शा इंजेक्शन है। यह स्पष्ट रूप से विशेषण है। इसलिए, $R\otimes _{R}P\cong P$. इसी प्रकार, $I\otimes _{R}P\cong IP$. यह परिणाम सिद्ध करता है।

एक अन्य एप्लिकेशन के रूप में, हम दिखाते हैं कि, $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ कहाँ $k=m/2^{n}$ और n दो विभाजक m की उच्चतम शक्ति है। हम एक विशेष मामला साबित करते हैं: एम = 12।

प्रमाण: एक शुद्ध टेन्सर पर विचार करें $(12z)\otimes (a/2^{k})\in (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P).(12z)\otimes (a/2^{k})=(3z)\otimes (a/2^{k-2})$. के लिए भी $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$. इससे पता चलता है कि $(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)$. दे $P=\mathbf {Z} [1/2],A=12\mathbf {Z} ,B=\mathbf {Z} ,C=\mathbf {Z} /12\mathbf {Z}$, ए, बी, सी, पी सामान्य गुणा क्रिया द्वारा आर = 'जेड' मॉड्यूल हैं और मुख्य प्रमेय की शर्तों को पूरा करते हैं। प्रमेय द्वारा निहित सटीकता और उपरोक्त नोट द्वारा हम इसे प्राप्त करते हैं $:\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P\cong (\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)\cong \mathbf {Z} P/3\mathbf {Z} P$. अंतिम सर्वांगसमता उपप्रमेय के प्रमाण में एक के समान तर्क द्वारा अनुसरण करती है जो यह दर्शाता है $I\otimes _{R}P\cong IP$.

गुण और प्रमेय

एक मज़ेदार सटीक है अगर और केवल अगर यह दोनों सटीक और सही सटीक है।

एक सहसंयोजक (आवश्यक रूप से योज्य नहीं) फ़ैक्टर को सटीक छोड़ दिया जाता है अगर और केवल अगर यह परिमित सीमा (श्रेणी सिद्धांत) को सीमा में बदल देता है; एक सहसंयोजक फ़नकार सही है अगर और केवल अगर यह परिमित कोलिमिट को कोलिमिट में बदल देता है; एक प्रतिपरिवर्ती फ़ैक्टर सटीक छोड़ दिया जाता है अगर यह परिमित कॉलिमिट को सीमा में बदल देता है; एक कॉन्ट्रावैरिएंट फ़ंक्टर सही है अगर यह परिमित सीमा को कोलिमिट में बदल देता है।

जिस हद तक एक बाएं सटीक फ़ंक्टर सटीक होने में विफल रहता है, उसे इसके व्युत्पन्न फ़ैक्टर से मापा जा सकता है; जिस हद तक एक सही सटीक फ़ंक्टर सटीक होने में विफल रहता है, उसे उसके व्युत्पन्न फ़नकार के साथ मापा जा सकता है।

मुख्य रूप से निम्न तथ्य के कारण बाएँ और दाएँ सटीक फ़ंक्टर सर्वव्यापी हैं: यदि फ़ंक्टर F, G से सटे फ़ंक्टर हैं, तो F दाएँ सटीक है और G बाएँ सटीक है।

सामान्यीकरण

ग्रोथेंडिक के सेमिनेयर डे जियोमेट्री अल्गेब्रिक, टोम I, सेक्शन 1 में, बाएं (दाएं) सटीक फ़ैक्टरों की धारणा को सामान्य श्रेणियों के लिए परिभाषित किया गया है, न कि केवल एबेलियन वाले। परिभाषा इस प्रकार है:

सी को परिमित प्रोजेक्टिव (प्रतिक्रियात्मक) सीमाओं के साथ एक श्रेणी होने दें। तब C से दूसरी श्रेणी C' में एक फ़ंक्टर बाएँ (सही। दाएं) सटीक होता है यदि यह परिमित प्रक्षेप्य (उत्तर। आगमनात्मक) सीमा के साथ शुरू होता है।

इसके अमूर्त होने के बावजूद, इस सामान्य परिभाषा के उपयोगी परिणाम हैं। उदाहरण के लिए, धारा 1.8 में, ग्रोथेंडिक साबित करता है कि श्रेणी सी पर कुछ हल्की स्थितियों के तहत, एक फ़ंक्टर प्रो-प्रतिनिधित्व योग्य है अगर और केवल अगर इसे सटीक छोड़ दिया जाए।

Quillen की सटीक श्रेणी के बीच सटीक फ़ैक्टर यहां चर्चा की गई एबेलियन श्रेणियों के बीच सटीक फ़ैक्टर का सामान्यीकरण करते हैं।

नियमित श्रेणी के बीच नियमित फ़ैक्टरों को कभी-कभी सटीक फ़ैक्टर कहा जाता है और यहां पर चर्चा की गई सटीक फ़ैक्टरों को सामान्यीकृत किया जाता है।

संदर्भ

• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Vol. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.