समुचित श्रेणी

This article is about exact categories in the sense of Quillen. For exact categories in the sense of Barr, see regular category. For exact categories in the sense of Buchsbaum, see abelian category.

गणित में, एक सटीक श्रेणी डेनियल क्विलेन के कारण श्रेणी सिद्धांत की एक अवधारणा है, जिसे एबेलियन श्रेणी में छोटे सटीक अनुक्रमों के गुणों को समाहित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, बिना किसी आकारिकी के पास वास्तव में कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) है, जो सामान्य परिभाषा के लिए आवश्यक है। ऐसा क्रम।

परिभाषा

एक सटीक श्रेणी ई एक योगात्मक श्रेणी है जिसमें लघु सटीक अनुक्रमों का एक वर्ग (सेट सिद्धांत) ई होता है: तीरों से जुड़े वस्तुओं के ट्रिपल

$M'\to M\to M''\$

एबेलियन श्रेणी में संक्षिप्त सटीक अनुक्रमों के गुणों से प्रेरित निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना:

• ई समरूपता के तहत बंद है और इसमें विहित (विभाजित सटीक) अनुक्रम शामिल हैं:

$M'\to M'\oplus M''\to M'';$

• कल्पना करना $M\to M''$ ई में एक अनुक्रम के दूसरे तीर के रूप में होता है (यह एक 'स्वीकार्य एपिमोर्फिज्म' है) और $N\to M''$ ई में कोई तीर है। तब उनका पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) मौजूद है और इसका प्रक्षेपण $N$ एक स्वीकार्य एपिमोर्फिज्म भी है। दोहरी (श्रेणी सिद्धांत), यदि $M'\to M$ ई में अनुक्रम के पहले तीर के रूप में होता है (यह एक 'स्वीकार्य मोनोमोर्फिज्म' है) और $M'\to N$ कोई भी तीर है, तो उनका पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) मौजूद है और इसका सहप्रक्षेपण $N$ एक स्वीकार्य मोनोमोर्फिज्म भी है। (हम कहते हैं कि स्वीकार्य एपिमोर्फिज्म पुलबैक के तहत स्थिर हैं, सम्मान। स्वीकार्य मोनोमोर्फिज्म पुशआउट के तहत स्थिर हैं।);
• स्वीकार्य मोनोमोर्फिज्म उनके संबंधित स्वीकार्य एपिमोर्फिज्म के कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत) हैं, और दोहरे रूप से। दो स्वीकार्य मोनोमोर्फिम्स की संरचना स्वीकार्य है (इसी तरह स्वीकार्य एपिमोर्फिज्म);
• कल्पना करना $M\to M''$ ई में एक नक्शा है जो ई में कर्नेल को स्वीकार करता है, और मान लीजिए $N\to M$ क्या कोई नक्शा ऐसा है कि रचना $N\to M\to M''$ एक स्वीकार्य एपिमोर्फिज्म है। तो ऐसा है $M\to M''.$ दो तरह से, अगर $M'\to M$ एक कोकरनेल और स्वीकार करता है $M\to N$ इस प्रकार कि $M'\to M\to N$ एक स्वीकार्य मोनोमोर्फिज्म है, तो ऐसा ही है $M'\to M.$

स्वीकार्य मोनोमोर्फिम्स को आमतौर पर निरूपित किया जाता है $\rightarrowtail$ और स्वीकार्य एपिमोर्फिज्म को निरूपित किया जाता है $\twoheadrightarrow .$ ये स्वयंसिद्ध न्यूनतम नहीं हैं; वास्तव में, अंतिम द्वारा दिखाया गया है Bernhard Keller (1990) बेमानी होना।

एबेलियन श्रेणियों के सटीक फ़ैक्टर के मामले में सटीक श्रेणियों के बीच एक सटीक फ़ैक्टर के बारे में बात कर सकते हैं: एक सटीक फ़ैक्टर $F$ एक सटीक श्रेणी डी से दूसरे ई तक एक योजक फ़ंक्टर है जैसे कि यदि

$M'\rightarrowtail M\twoheadrightarrow M''$

डी में सटीक है, तो

$F(M')\rightarrowtail F(M)\twoheadrightarrow F(M'')$

ई में सटीक है। यदि डी ई की उपश्रेणी है, तो यह एक सटीक उपश्रेणी है यदि समावेशन फ़ैक्टर पूरी तरह से वफादार और सटीक है।

प्रेरणा

एबेलियन श्रेणियों से सटीक श्रेणियां निम्नलिखित तरीके से आती हैं। मान लीजिए कि ए एबेलियन है और ई को कोई भी पूर्ण रूप से पूर्ण उपश्रेणी योगात्मक उपश्रेणी है जो इस अर्थ में विस्तार (बीजगणित) लेने के तहत बंद है कि एक सटीक अनुक्रम दिया गया है

$0\to M'\to M\to M''\to 0\$

ए में, तो अगर $M',M''$ ई में हैं, इसलिए है $M$. हम वर्ग ई को केवल 'ई' में अनुक्रम के रूप में ले सकते हैं जो 'ए' में सटीक हैं; वह है,

$M'\to M\to M''\$

ईआईएफ में है

$0\to M'\to M\to M''\to 0\$

ए में सटीक है। फिर उपरोक्त अर्थ में ई एक सटीक श्रेणी है। हम स्वयंसिद्धों की पुष्टि करते हैं:

• ई आइसोमोर्फिज्म के तहत बंद है और इसमें विभाजित सटीक अनुक्रम शामिल हैं: ये परिभाषा के अनुसार सही हैं, क्योंकि एबेलियन श्रेणी में, किसी भी अनुक्रम आइसोमोर्फिक से सटीक एक भी सटीक है, और चूंकि विभाजित अनुक्रम हमेशा ए में सटीक होते हैं .
• स्वीकार्य एपिमोर्फिज्म (क्रमशः, स्वीकार्य मोनोमोर्फिज्म) पुलबैक (प्रतिक्रिया पुशआउट्स) के तहत स्थिर हैं: ई में वस्तुओं का एक सटीक क्रम दिया गया है,

$0\to M'\xrightarrow {f} M\to M''\to 0,\$

और एक नक्शा $N\to M''$ साथ $N$ ई में, कोई सत्यापित करता है कि निम्नलिखित अनुक्रम भी सटीक है; चूंकि ई एक्सटेंशन के तहत स्थिर है, इसका मतलब यह है कि $M\times _{M''}N$ ई में है:

$0\to M'\xrightarrow {(f,0)} M\times _{M''}N\to N\to 0.\$

• प्रत्येक स्वीकार्य मोनोमोर्फिज्म इसके संबंधित स्वीकार्य एपिमोर्फिज्म का कर्नेल है, और इसके विपरीत: यह ए में आकारिकी के रूप में सच है, और ई एक पूर्ण उपश्रेणी है।
• अगर $M\to M''$ ई में एक कर्नेल स्वीकार करता है और यदि $N\to M$ इस प्रकार कि $N\to M\to M''$ एक स्वीकार्य एपिमोर्फिज्म है, तो ऐसा ही है $M\to M''$: देखना Quillen (1972).

इसके विपरीत, यदि ई कोई सटीक श्रेणी है, तो हम ए को सटीक फ़ैक्टर की श्रेणी ले सकते हैं। लेम्मा, चूंकि होम सटीक छोड़ दिया गया है), एक्सटेंशन के तहत स्थिर है, और जिसमें अनुक्रम ई में है अगर और केवल अगर यह ए में सटीक है।

उदाहरण

• कोई भी आबेली श्रेणी स्पष्ट रूप से #प्रेरणा के निर्माण के अनुसार सटीक होती है।
• एक कम तुच्छ उदाहरण श्रेणी Ab है_tf मरोड़-मुक्त एबेलियन समूहों की, जो सभी एबेलियन समूहों की (एबेलियन) श्रेणी एबी की एक पूर्ण उपश्रेणी है। यह एक्सटेंशन के तहत बंद है: if

$0\to A\to B\to C\to 0\$

एबेलियन समूहों का एक छोटा सटीक क्रम है जिसमें $A,C$ तो मरोड़ मुक्त हैं $B$ निम्न तर्क द्वारा मरोड़-मुक्त देखा जाता है: यदि $b$ एक मरोड़ तत्व है, तो उसकी छवि में $C$ शून्य है, क्योंकि $C$ मरोड़ रहित है। इस प्रकार $b$ मानचित्र के कर्नेल में स्थित है $C$, जो है $A$, लेकिन वह भी मरोड़-मुक्त है, इसलिए $b=0$. #मोटिवेशन के निर्माण से, ए.बी_tf एक सटीक श्रेणी है; इसमें सटीक अनुक्रमों के कुछ उदाहरण हैं:

$0\to \mathbb {Z} \xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}1\\2\end{smallmatrix}}\right)} \mathbb {Z} ^{2}\xrightarrow {(-2,1)} \mathbb {Z} \to 0,$

$0\to \mathbb {Q} \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Q} \to 0,$

$0\to d\Omega ^{0}(S^{1})\to \Omega _{c}^{1}(S^{1})\to H_{\text{dR}}^{1}(S^{1})\to 0,$

जहां अंतिम उदाहरण डॉ कहलमज गर्भाशय से प्रेरित है ($\Omega _{c}^{1}(S^{1})$ और $d\Omega ^{0}(S^{1})$ सर्कल समूह पर बंद और सटीक अंतर रूप हैं); विशेष रूप से, यह ज्ञात है कि कोहोलॉजी समूह वास्तविक संख्याओं के लिए समरूप है। यह श्रेणी एबेलियन नहीं है।

• निम्नलिखित उदाहरण कुछ अर्थों में उपरोक्त का पूरक है। अब चलो_t मरोड़ (और शून्य समूह भी) के साथ एबेलियन समूहों की श्रेणी हो। यह योगात्मक है और फिर से 'एबी' की पूरी तरह से पूर्ण उपश्रेणी है। यह देखना और भी आसान है कि यह एक्सटेंशन के तहत स्थिर है: यदि

$0\to A\to B\to C\to 0\$

एक सटीक क्रम है जिसमें $A,C$ मरोड़ है, तो $B$ स्वाभाविक रूप से के सभी मरोड़ तत्व है $A$. इस प्रकार यह एक सटीक श्रेणी है।

संदर्भ

• Keller, Bernhard (1990). "Chain complexes and stable categories". Manuscripta Mathematica. 67: 379–417. CiteSeerX 10.1.1.146.3555. doi:10.1007/BF02568439. S2CID 6945014. Appendix A. Exact Categories

• Quillen, Daniel (1972). Higher algebraic K-theory I. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 341. Springer. pp. 85–147. doi:10.1007/BFb0067053. ISBN 978-3-540-06434-3.