विभेदक

For other uses, see विभेदक (disambiguation).

गणित में, बहुपद का विविक्तकर एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक सटीक रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विवेचक बहुपद गुणनखंडन, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

द्विघात बहुपद का विविक्तकर $ax^{2}+bx+c$ है

$b^{2}-4ac,$

वह मात्रा जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंतर्गत प्रकट होती है। अगर $a\neq 0,$ यह विविक्तकर शून्य है यदि और केवल यदि बहुपद का दोहरा मूल है। वास्तविक संख्या गुणांक के मामले में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें हैं, तो यह सकारात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी जड़ें हैं तो यह नकारात्मक है। इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विविक्तकर शून्य होता है यदि और केवल यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के मामले में, यदि बहुपद की तीन अलग-अलग वास्तविक जड़ें हैं, तो विवेचक सकारात्मक होता है, और यदि इसकी एक वास्तविक जड़ और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म जड़ें होती हैं, तो नकारात्मक होता है।

अधिक आम तौर पर, एक बहुपद की सकारात्मक डिग्री के एक अविभाजित बहुपद का विवेचक शून्य होता है यदि और केवल यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विवेचक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।

कई सामान्यीकरणों को विवेचक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विवेचक; द्विघात रूप का विवेचक; और अधिक आम तौर पर, एक सजातीय बहुपद के एक रूप (गणित) का विभेदक, या एक प्रक्षेपी अतिसतह (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।

उत्पत्ति

डिस्क्रिमिनेंट शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा गढ़ा गया था।

परिभाषा

होने देना

$A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

एक बहुपद की डिग्री का एक बहुपद हो n (इसका मतलब यह है $a_{n}\neq 0$), जैसे कि गुणांक $a_{0},\ldots ,a_{n}$ एक क्षेत्र (गणित) से संबंधित हैं, या, अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित हैं। का परिणाम है A और इसका औपचारिक व्युत्पन्न,

$A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1},$ में बहुपद है $a_{0},\ldots ,a_{n}$ पूर्णांक गुणांक के साथ, जो सिल्वेस्टर मैट्रिक्स का निर्धारक है A और A′. सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के पहले कॉलम की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हैं $a_{n}$ और $na_{n},$ और परिणामी इस प्रकार का एक गुणक है $a_{n}.$ इसलिए विवेचक - इसके चिह्न तक - के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है A और A' द्वारा $a_{n}$:

$\operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')$

ऐतिहासिक रूप से, इस चिन्ह को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विवेचक सकारात्मक होगा जब बहुपद की सभी जड़ें वास्तविक हों। द्वारा विभाजन $a_{n}$ यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक हैं, तो अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। बदलने से ऐसी समस्या से बचा जा सकता है $a_{n}$ सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के पहले कॉलम में 1 से - निर्धारक की गणना करने से पहले। किसी भी मामले में, विवेचक एक बहुपद है $a_{0},\ldots ,a_{n}$ पूर्णांक गुणांक के साथ।

जड़ों के संदर्भ में अभिव्यक्ति

जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो यह होता है n जड़ें, $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$क्षेत्र के किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार में, जरूरी नहीं कि सभी अलग-अलग हों। (यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो जड़ों को जटिल संख्याओं के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां बीजगणित का मौलिक प्रमेय लागू होता है।)

जड़ों के संदर्भ में, विवेचक के बराबर है

$\operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j}).$

इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद समय का वर्ग है $a_{n}^{2n-2}$.

विवेचक के लिए यह अभिव्यक्ति अक्सर एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विवेचक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के मामले में, यदि सभी मूल वास्तविक और सरल मूल हैं, तो विवेचक सकारात्मक है। पिछली परिभाषा के विपरीत, यह अभिव्यक्ति गुणांक में स्पष्ट रूप से एक बहुपद नहीं है, लेकिन यह या तो गैलोज सिद्धांत के मौलिक प्रमेय से या सममित बहुपदों के मौलिक प्रमेय और वीटा के सूत्रों से यह देखते हुए कि यह अभिव्यक्ति एक सममित बहुपद है की जड़ें A.

कम डिग्री

एक रेखीय बहुपद (डिग्री 1) का विविक्तकर शायद ही कभी माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे आम तौर पर 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है (खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलनों का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के दो ब्लॉकों में से एक खाली मैट्रिक्स है)। एक अचर बहुपद (अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विविक्तकर के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है।

छोटी डिग्री के लिए, विवेचक सरल है (नीचे देखें), लेकिन उच्च डिग्री के लिए, यह बोझिल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक सामान्य बहुपद चतुर्थक समारोह के विविक्तकर के 16 पद हैं, एक पंचक समारोह के 59 पद हैं, और एक यौन समीकरण के 246 पद हैं। यह OEIS क्रम है A007878.

डिग्री 2

See also: Quadratic equation § Discriminant

द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c\,$ विवेचक है

$b^{2}-4ac\,.$

विवेचक का वर्गमूल द्विघात बहुपद के मूलों के द्विघात सूत्र में प्रकट होता है:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

जहां विविक्तकर शून्य है यदि और केवल यदि दो मूल समान हैं। अगर a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, यदि विवेचक धनात्मक है तो बहुपद की दो विशिष्ट वास्तविक जड़ें हैं, और यदि ऋणात्मक है तो दो जटिल संयुग्मी मूल हैं। विवेचक का उत्पाद है a² और जड़ों के अंतर का वर्ग।

अगर a, b, c परिमेय संख्याएँ हैं, तो विवेचक परिमेय संख्या का वर्ग है यदि और केवल यदि दो मूल परिमेय संख्याएँ हैं।

डिग्री 3

See also: Cubic equation § Discriminant

घन के विवेचक का शून्य सेट x³ + bx² + cx + d, यानी संतोषजनक अंक b²c² – 4c³ – 4b³d – 27d² + 18bcd = 0.

घन बहुपद $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ विवेचक है

$b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.$

एक डिप्रेस्ड क्यूबिक#डिप्रेस्ड क्यूबिक पॉलीनॉमियल के विशेष मामले में $x^{3}+px+q$, विवेचक सरल करता है

$-4p^{3}-27q^{2}\,.$

विविक्तकर शून्य होता है यदि और केवल यदि कम से कम दो मूल बराबर हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, और विवेचक शून्य नहीं है, तो विवेचक सकारात्मक है यदि जड़ें तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, और ऋणात्मक है यदि एक वास्तविक जड़ और दो जटिल संयुग्म जड़ें हैं। विवेचक से दृढ़ता से संबंधित मात्रा का वर्गमूल घन समीकरण#सामान्य घन सूत्र में दिखाई देता है। विशेष रूप से, यह मात्रा हो सकती है −3 परिमेय संख्या के वर्ग के साथ विवेचक, या उसके गुणनफल का गुणा; उदाहरण के लिए, का वर्ग 1/18 कार्डानो सूत्र के मामले में।

यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी संख्या क्षेत्र से संबंधित हैं), तो विवेचक एक परिमेय संख्या का वर्ग है (या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और केवल यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का चक्रीय समूह (समूह सिद्धांत) तीन है।

डिग्री 4

चतुर्थक बहुपद का विविक्तकर x⁴ + cx² + dx + e. सतह बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है (c, d, e) जहां बहुपद की जड़ दोहराई जाती है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-चौराहा दो अलग-अलग दोहराई गई जड़ों वाले बहुपदों से मेल खाती है।

चतुर्थक बहुपद

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ विवेचक है

${\begin{aligned}{}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&{}-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&{}+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&{}-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\,.\end{aligned}}$

विविक्तकर शून्य होता है यदि और केवल यदि कम से कम दो मूल समान हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और विवेचक ऋणात्मक है, तो दो वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्मी मूल होते हैं। इसके विपरीत, यदि विवेचक सकारात्मक है, तो जड़ें या तो सभी वास्तविक हैं या सभी गैर-वास्तविक हैं।

गुण

शून्य विवेचक

किसी क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद का विविक्तकर शून्य होता है यदि और केवल यदि बहुपद का कुछ क्षेत्र विस्तार में बहुपद हो।

एक अभिन्न डोमेन पर एक बहुपद का विभेदक शून्य है यदि और केवल अगर बहुपद और इसके औपचारिक व्युत्पन्न में एक गैर-निरंतर सामान्य भाजक है।

विशेषता (बीजगणित) 0 में, यह कहने के बराबर है कि बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद नहीं है | वर्ग-मुक्त (अर्थात, एक गैर-निरंतर बहुपद के वर्ग से विभाज्य)।

अशून्य विशेषता में p, विवेचक शून्य है यदि और केवल यदि बहुपद वर्ग-मुक्त नहीं है या इसमें एक अलघुकरणीय बहुपद है जो वियोज्य नहीं है (अर्थात्, अलघुकरणीय कारक एक बहुपद है $x^{p}$).

चर के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम

एक बहुपद का विविक्तकर, स्केलिंग तक, चर के किसी प्रक्षेपी परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक प्रक्षेपी परिवर्तन के रूप में अनुवाद, समरूपता और व्युत्क्रम के उत्पाद में विघटित हो सकता है, इसका परिणाम सरल परिवर्तनों के लिए निम्नलिखित सूत्र में होता है, जहाँ P(x) डिग्री के बहुपद को दर्शाता है n, साथ $a_{n}$ अग्रणी गुणांक के रूप में।

• अनुवाद द्वारा व्युत्क्रम:

$\operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha ))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))$

यह जड़ों के संदर्भ में विवेचक की अभिव्यक्ति का परिणाम है

• समरूपता द्वारा आक्रमण:

$\operatorname {Disc} _{x}(P(\alpha x))=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))$

यह जड़ों, या विवेचक की अर्ध-समरूपता के संदर्भ में अभिव्यक्ति का परिणाम है।

• व्युत्क्रम द्वारा व्युत्क्रम:

$\operatorname {Disc} _{x}(P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))$

कब $P(0)\neq 0.$ यहाँ, $P^{\mathrm {r} }\!\!\;$ के पारस्परिक बहुपद को दर्शाता है P; वह है, अगर $P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},$ और $a_{0}\neq 0,$ तब

$P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.$

रिंग होमोमोर्फिज्म के तहत इनवेरियन

होने देना $\varphi \colon R\to S$ क्रमविनिमेय वलयों का एक वलय समरूपता हो। एक बहुपद दिया

$A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}$

में R[x], समरूपता $\varphi$ पर कार्य करता है A बहुपद बनाने के लिए

$A^{\varphi }=\varphi (a_{n})x^{n}+\varphi (a_{n-1})x^{n-1}+\cdots +\varphi (a_{0})$

में S[x].

विवेचक के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है $\varphi$ निम्नलिखित अर्थ में। अगर $\varphi (a_{n})\neq 0,$ तब

$\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A)).$

जैसा कि विवेचक को एक निर्धारक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह संपत्ति निर्धारकों की समान संपत्ति से तुरंत परिणाम देती है।

अगर $\varphi (a_{n})=0,$ तब $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))$ शून्य हो सकता है या नहीं। एक है, जब $\varphi (a_{n})=0,$

$\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).$

जब कोई केवल यह जानने में रुचि रखता है कि क्या एक विवेचक शून्य है (जैसा कि आमतौर पर बीजगणितीय ज्यामिति में होता है), तो इन गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

$\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0$ अगर और केवल अगर या तो $\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0$ या $\deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.$

इसे अक्सर ऐसा कहने के रूप में व्याख्यायित किया जाता है $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0$ अगर और केवल अगर $A^{\varphi }$ एक बहु रूट है (संभवतः अनंत पर इंगित)।

बहुपदों का गुणनफल

अगर R = PQ में बहुपदों का गुणनफल है x, तब

${\begin{aligned}\operatorname {disc} _{x}(R)&=\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc} _{x}(Q)\\[5pt]{}&=(-1)^{pq}\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)\operatorname {Res} _{x}(Q,P)\operatorname {disc} _{x}(Q),\end{aligned}}$

कहाँ $\operatorname {Res} _{x}$ परिणामी को चर के संबंध में दर्शाता है x, और p और q की संबंधित डिग्रियां हैं P और Q.

यह संपत्ति संबंधित बहुपदों की जड़ों के संदर्भ में परिणामी और विविक्तकर के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करके तुरंत अनुसरण करती है।

एकरूपता

विभेदक गुणांकों में एक सजातीय बहुपद है; यह जड़ों में एक सजातीय बहुपद भी है और इस प्रकार गुणांकों में अर्ध-सजातीय बहुपद|अर्ध-सजातीय।

डिग्री के बहुपद का विभेदक n डिग्री का सजातीय है 2n − 2 गुणांक में। इसे दो तरह से देखा जा सकता है। रूट-एंड-लीडिंग-टर्म फॉर्मूले के संदर्भ में, सभी गुणांकों को गुणा करके λ जड़ों को नहीं बदलता है, लेकिन अग्रणी शब्द को इससे गुणा करता है λ. एक के निर्धारक के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के संदर्भ में (2n − 1) × (2n − 1) मैट्रिक्स (गणित) (सिल्वेस्टर मैट्रिक्स) द्वारा विभाजित a_n, निर्धारक डिग्री का सजातीय है 2n − 1 प्रविष्टियों में, और द्वारा विभाजित a_n डिग्री बनाता है 2n − 2.

डिग्री के बहुपद का विभेदक n डिग्री का सजातीय है n(n − 1) जड़ों में। यह जड़ों के संदर्भ में विवेचक की अभिव्यक्ति से अनुसरण करता है, जो एक स्थिर और का उत्पाद है ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$ जड़ों के वर्ग अंतर।

डिग्री के बहुपद का विभेदक n डिग्री का अर्ध-सजातीय है n(n − 1) गुणांकों में, यदि, प्रत्येक के लिए i, का गुणांक $x^{i}$ भार दिया जाता है n − i. यह समान डिग्री का अर्ध-सजातीय भी है, यदि, प्रत्येक के लिए i, का गुणांक $x^{i}$ भार दिया जाता है i. यह सामान्य तथ्य का परिणाम है कि जड़ों में सजातीय और सममित बहुपद वाले प्रत्येक बहुपद को जड़ों के प्राथमिक सममित कार्यों में अर्ध-सजातीय बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

बहुपद पर विचार करें

$P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.$

यह प्रत्येक एकपदी में घातांकों के पूर्वगामी से अनुसरण करता है $a_{0}^{i_{0}},\dots ,a_{n}^{i_{n}}$ विविक्तकर में प्रकट होना दो समीकरणों को संतुष्ट करता है

$i_{0}+i_{1}+\cdots +i_{n}=2n-2$

और

$i_{1}+2i_{2}+\cdots +ni_{n}=n(n-1),$

और समीकरण भी

$ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1),$

जो दूसरे समीकरण को पहले वाले से गुणा करके प्राप्त किया जाता है n.

यह विवेचक में संभावित शर्तों को प्रतिबंधित करता है। सामान्य द्विघात बहुपद के लिए विवेचक में केवल दो संभावनाएँ और दो पद होते हैं, जबकि तीन चरों में डिग्री दो के सामान्य सजातीय बहुपद में 6 पद होते हैं। सामान्य घन बहुपद के लिए, विवेचक में पाँच संभावनाएँ और पाँच पद हैं, जबकि 5 चरों में 4 डिग्री के सामान्य सजातीय बहुपद में 70 पद हैं।

उच्च डिग्री के लिए, ऐसे मोनोमियल हो सकते हैं जो उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और विवेचक में प्रकट नहीं होते हैं। पहला उदाहरण चतुर्थांश बहुपद के लिए है $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$, जिस स्थिति में मोनोमियल $bc^{4}d$ विवेचक में प्रकट हुए बिना समीकरणों को संतुष्ट करता है।

असली जड़ें

इस खंड में, सभी बहुपदों में वास्तविक संख्या गुणांक होते हैं।

में देखा गया है § Low degrees कि विवेचक का चिन्ह डिग्री 2 और 3 के बहुपदों के लिए जड़ों की प्रकृति पर पूरी जानकारी प्रदान करता है। उच्च डिग्री के लिए, विवेचक द्वारा प्रदान की गई जानकारी कम पूर्ण है, लेकिन फिर भी उपयोगी है। अधिक सटीक, डिग्री के बहुपद के लिए n, किसी के पास:

• बहुपद का बहुपद होता है यदि और केवल यदि उसका विविक्तकर शून्य हो।
• यदि विविक्तकर धनात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणक है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। k ≤ n/4 जैसे कि हैं 2k जटिल संयुग्म जड़ों के जोड़े और n − 4k असली जड़ें।
• यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज नहीं है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। k ≤ (n − 2)/4 जैसे कि हैं 2k + 1 जटिल संयुग्म जड़ों के जोड़े और n − 4k + 2 असली जड़ें।

सजातीय द्विभाजित बहुपद

होने देना

$A(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}$

डिग्री का एक सजातीय बहुपद हो n दो अनिश्चित में।

मान लीजिए, फिलहाल, कि $a_{0}$ और $a_{n}$ दोनों अशून्य हैं, एक के पास है

$\operatorname {Disc} _{x}(A(x,1))=\operatorname {Disc} _{y}(A(1,y)).$

द्वारा इस मात्रा को नकारना $\operatorname {Disc} ^{h}(A),$ किसी के पास

$\operatorname {Disc} _{x}(A)=y^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A),$

और

$\operatorname {Disc} _{y}(A)=x^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A).$

इन्हीं गुणों के कारण मात्रा $\operatorname {Disc} ^{h}(A)$ का विवेचक या सजातीय विवेचक कहा जाता है A.

अगर $a_{0}$ और $a_{n}$ शून्य होने की अनुमति है, बहुपद A(x, 1) और A(1, y) से छोटी डिग्री हो सकती है n. इस मामले में, उपरोक्त सूत्र और परिभाषा मान्य रहती है, यदि विवेचकों की गणना इस प्रकार की जाती है जैसे कि सभी बहुपदों की डिग्री होगी n. इसका मतलब है कि भेदभाव करने वालों की गणना की जानी चाहिए $a_{0}$ और $a_{n}$ अनिश्चित, उनके लिए उनके वास्तविक मूल्यों का प्रतिस्थापन इस गणना के बाद किया जा रहा है। समान रूप से, के सूत्र § Invariance under ring homomorphisms उपयोग किया जाना चाहिए।

== बीजगणितीय ज्यामिति == में प्रयोग करें

बीजगणितीय ज्यामिति में विभेदकों का विशिष्ट उपयोग समतल बीजगणितीय वक्रों का अध्ययन करने के लिए है, और अधिक सामान्यतः ऊनविम पृष्ठ होने देना V ऐसा वक्र या अतिसतह हो; V को बहुभिन्नरूपी बहुपद के शून्य समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस बहुपद को एक अनिश्चित में एक अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है, अन्य अनिश्चित में गुणांक के रूप में बहुपद के साथ। चयनित अनिश्चित के संबंध में विभेदक एक हाइपरसफेस को परिभाषित करता है W अन्य अनिश्चित के स्थान पर। के अंक W बिल्कुल बिंदुओं का प्रक्षेपण है V (अनंत पर बिंदुओं सहित), जो या तो एकवचन हैं या एक स्पर्शरेखा स्थान है जो चयनित अनिश्चित के अक्ष के समानांतर है।

उदाहरण के लिए, चलो f में एक द्विभाजित बहुपद हो X और Y वास्तविक गुणांकों के साथ, ताकिf  = 0 एक वास्तविक समतल बीजगणितीय वक्र का अंतर्निहित समीकरण है। देखना f में एक अविभाजित बहुपद के रूप में Y गुणांक के आधार पर X, तो विवेचक एक बहुपद है X जिसकी जड़ें हैं X-एकवचन बिंदुओं के निर्देशांक, स्पर्शरेखा के समानांतर बिंदुओं के Y-अक्ष और कुछ स्पर्शोन्मुख के समानांतर Y-एक्सिस। दूसरे शब्दों में, की जड़ों की गणना Y-विभेदक और X-discriminant किसी को वक्र के सभी उल्लेखनीय बिंदुओं की गणना करने की अनुमति देता है, सिवाय विभक्ति बिंदुओं के।

सामान्यीकरण

विवेचक की अवधारणा के दो वर्ग हैं। प्रथम वर्ग एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विविक्तकर है, जो द्विघात क्षेत्रों सहित कुछ मामलों में क्षेत्र को परिभाषित करने वाले बहुपद का विवेचक है।

गुणांक के आधार पर समस्याओं के लिए द्वितीय श्रेणी के भेदभाव उत्पन्न होते हैं, जब गुणांक में एक एकल बहुपद के लुप्त होने की समस्या के पतित उदाहरण या विलक्षणता की विशेषता होती है। यह एक बहुपद के विविक्तकर का मामला है, जो दो जड़ों के ढहने पर शून्य होता है। अधिकांश मामले, जहां इस तरह के सामान्यीकृत विभेदक को परिभाषित किया गया है, निम्नलिखित के उदाहरण हैं।

होने देना A में एक सजातीय बहुपद हो n विशेषता (बीजगणित) 0, या एक अभाज्य संख्या विशेषता के क्षेत्र में अनिश्चित है जो बहुपद की डिग्री को विभाजित नहीं करता है। बहुपद A एक प्रोजेक्टिव हाइपरसफेस को परिभाषित करता है, जिसमें बीजगणितीय किस्म का विलक्षण बिंदु होता है यदि और केवल n का आंशिक डेरिवेटिव A में एक फ़ंक्शन का एक गैर-तुच्छ सामान्य शून्य है। यह मामला है अगर और केवल अगर इन आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणाम शून्य है, और इस परिणामी को विभेदक के रूप में माना जा सकता है A. हालाँकि, व्युत्पत्ति के परिणामस्वरूप पूर्णांक गुणांक के कारण, यह बहुभिन्नरूपी परिणामी की शक्ति से विभाज्य हो सकता है n, और एक विवेचक के रूप में लेना बेहतर है, परिणामी का आदिम भाग, सामान्य गुणांक के साथ गणना की जाती है। विशेषता पर प्रतिबंध की आवश्यकता है क्योंकि अन्यथा आंशिक व्युत्पन्न का एक सामान्य शून्य आवश्यक रूप से बहुपद का शून्य नहीं है (सजातीय बहुपदों के लिए यूलर की पहचान देखें)।

डिग्री के एक सजातीय द्विभाजित बहुपद के मामले में d, यह सामान्य विवेचक है $d^{d-2}$ विभेदक में परिभाषित गुना § Homogeneous bivariate polynomial. कई अन्य शास्त्रीय प्रकार के भेदभाव, जो कि सामान्य परिभाषा के उदाहरण हैं, अगले खंडों में वर्णित हैं।

द्विघात रूप

See also: Fundamental discriminant

एक द्विघात रूप एक सदिश स्थान पर एक कार्य है, जिसे डिग्री 2 के एक सजातीय बहुपद द्वारा कुछ [[आधार (सदिश स्थल)]] पर परिभाषित किया गया है:

$Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j},$

या, मैट्रिक्स रूप में,

$Q(X)=XAX^{\mathrm {T} },$

के लिए $n\times n$ सममित मैट्रिक्स $A=(a_{ij})$, द $1\times n$ पंक्ति वेक्टर $X=(x_{1},\ldots ,x_{n})$, और यह $n\times 1$ कॉलम वेक्टर $X^{\mathrm {T} }$. विशेषता (बीजगणित) में 2 से भिन्न, का विवेचक या निर्धारक Q का निर्धारक है A. का हेसियन निर्धारक Q है $2^{n}$ इसके भेदभाव का समय। के आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणामी Q इसके हेस्सियन निर्धारक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विवेचक एक विवेचक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष मामला है।

एक द्विघात रूप का विभेदक चर के रैखिक परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है (जो कि सदिश स्थान के आधार पर एक परिवर्तन है, जिस पर द्विघात रूप परिभाषित किया गया है) निम्नलिखित अर्थों में: चर का एक रैखिक परिवर्तन एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया गया है S, मैट्रिक्स को बदलता है A में $S^{\mathrm {T} }A\,S,$ और इस प्रकार विवेचक को के सारणिक के वर्ग से गुणा करता है S. इस प्रकार विविक्तकर केवल एक वर्ग द्वारा गुणा करने तक ही अच्छी तरह से परिभाषित होता है। दूसरे शब्दों में, एक क्षेत्र पर द्विघात रूप का विवेचक K का एक तत्व है K/(K^×)², के गुणक मोनोइड का भागफल मोनोइड K अशून्य वर्गों के उपसमूह द्वारा (अर्थात, के दो तत्व K समान तुल्यता वर्ग में हैं यदि एक दूसरे का गैर-शून्य वर्ग द्वारा उत्पाद है)। यह इस प्रकार है कि जटिल संख्याओं पर, एक विवेचक 0 या 1 के बराबर होता है। वास्तविक संख्याओं पर, एक विवेचक -1, 0, या 1 के बराबर होता है। परिमेय संख्याओं पर, एक विवेचक एक अद्वितीय वर्ग-मुक्त के बराबर होता है पूर्णांक।

कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी के एक प्रमेय द्वारा, 2 से भिन्न विशेषता के एक क्षेत्र पर एक द्विघात रूप, चर के एक रैखिक परिवर्तन के बाद, विकर्ण रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.$

अधिक सटीक रूप से, एक द्विघात रूपों को योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}L_{i}^{2}$

जहां L_i स्वतंत्र रैखिक रूप हैं और n चरों की संख्या है (कुछ a_i शून्य हो सकता है)। समान रूप से, किसी भी सममित मैट्रिक्स के लिए A, एक प्रारंभिक मैट्रिक्स है S ऐसा है कि $S^{\mathrm {T} }A\,S$ एक विकर्ण मैट्रिक्स है। तब विवेचक का उत्पाद है a_i, जिसे एक वर्ग के रूप में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है K/(K^×)².

ज्यामितीय रूप से, तीन चरों में एक द्विघात रूप का विभेदक प्रक्षेपी वक्र का समीकरण है। विवेचक शून्य है यदि और केवल यदि वक्र रेखाओं में विघटित हो (संभवतः क्षेत्र के बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार पर)।

चार चरों में एक द्विघात रूप प्रक्षेपी सतह का समीकरण है। सतह में एक बीजगणितीय विविधता का एक विलक्षण बिंदु है यदि और केवल इसका विभेदक शून्य है। इस मामले में, या तो सतह कोन समतल में विघटित किया जा सकता है, या इसका एक अनूठा विलक्षण बिंदु है, और यह एक शंकु या एक सिलेंडर है। वास्तविक पर, यदि विवेचक सकारात्मक है, तो सतह का या तो कोई वास्तविक बिंदु नहीं है या हर जगह एक नकारात्मक गॉसियन वक्रता है। यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो सतह के वास्तविक बिंदु होते हैं, और एक ऋणात्मक गाऊसी वक्रता होती है।

शांकव खंड

एक शंक्वाकार खंड एक समतल वक्र है जिसे फॉर्म के एक अंतर्निहित समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,$

कहाँ a, b, c, d, e, f वास्तविक संख्याएँ हैं।

दो द्विघात रूप, और इस प्रकार दो विवेचक एक शंकु खंड से जुड़े हो सकते हैं।

पहला द्विघात रूप है

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.$

इसका विवेचक निर्धारक है

${\begin{vmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{vmatrix}}.$

यदि शंक्वाकार खंड दो रेखाओं, एक दोहरी रेखा या एक बिंदु में पतित हो जाता है तो यह शून्य है।

दूसरा विवेचक, जो केवल वही है जिसे कई प्रारंभिक पाठ्यपुस्तकों में माना जाता है, समीकरण के डिग्री दो के सजातीय भाग का विवेचक है। यह बराबर है

$b^{2}-ac,$

और शांकव खंड के आकार को निर्धारित करता है। यदि यह विवेचक ऋणात्मक है, तो वक्र का या तो कोई वास्तविक बिंदु नहीं है, या एक दीर्घवृत्त या एक वृत्त है, या, यदि पतित है, तो एक बिंदु तक कम हो जाता है। यदि विवेचक शून्य है, तो वक्र एक परवलय है, या, यदि पतित है, तो एक दोहरी रेखा या दो समानांतर रेखाएँ हैं। यदि विवेचक सकारात्मक है, तो वक्र एक अतिपरवलय है, या, यदि पतित है, तो प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी।

वास्तविक चतुर्भुज सतह

आयाम तीन के यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह एक ऐसी सतह है जिसे तीन चर में डिग्री दो के बहुपद के शून्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। शंक्वाकार वर्गों के लिए दो विभेदक हैं जिन्हें स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। दोनों एक चतुष्कोणीय सतह की प्रकृति के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए उपयोगी हैं।

होने देना $P(x,y,z)$ तीन चरों में डिग्री दो का एक बहुपद हो जो एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह को परिभाषित करता है। पहला संबद्ध द्विघात रूप, $Q_{4},$ चार चरों पर निर्भर करता है, और एक बहुपद के समरूपीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है P; वह है

$Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).$

आइए इसके विविक्तकर को निरूपित करें $\Delta _{4}.$ दूसरा द्विघात रूप, $Q_{3},$ तीन चर पर निर्भर करता है, और डिग्री दो की शर्तें शामिल हैं P; वह है

$Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).$

आइए इसके विविक्तकर को निरूपित करें $\Delta _{3}.$ अगर $\Delta _{4}>0,$ और सतह के वास्तविक बिंदु हैं, तो यह या तो अतिशयोक्तिपूर्ण परवलयज है या एक-पत्रक अतिपरवलयज है। दोनों ही मामलों में, यह एक शासित सतह है जिसमें हर बिंदु पर नकारात्मक गॉसियन वक्रता होती है।

अगर $\Delta _{4}<0,$ सतह या तो एक दीर्घवृत्ताभ या एक दो-शीट अतिपरवलयज या एक दीर्घवृत्तीय परवलयज है। सभी मामलों में, इसके प्रत्येक बिंदु पर सकारात्मक गाऊसी वक्रता होती है।

अगर $\Delta _{4}=0,$ सतह में एक बीजगणितीय किस्म का एक विलक्षण बिंदु है, संभवतः अनंत पर इंगित करता है। यदि केवल एक विलक्षण बिंदु है, तो सतह एक बेलन या शंक्वाकार सतह है। यदि कई एकवचन बिंदु हैं तो सतह में दो तल होते हैं, एक दोहरा तल या एक रेखा।

कब $\Delta _{4}\neq 0,$ का चिन्ह $\Delta _{3},$ यदि नहीं 0, कोई उपयोगी जानकारी प्रदान नहीं करता है, जैसा कि बदल रहा है P में −P सतह को नहीं बदलता, बल्कि के चिह्न को बदल देता है $\Delta _{3}.$ हालांकि, यदि $\Delta _{4}\neq 0$ और $\Delta _{3}=0,$ सतह एक परवलयज है, जो अण्डाकार या अतिशयोक्तिपूर्ण है, के संकेत के आधार पर $\Delta _{4}.$

एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक

Main article: Discriminant of an algebraic number field

बाहरी संबंध

• Wolfram Mathworld: Polynomial Discriminant
• Planetmath: Discriminant