एकात्मक संचालक

For unitarity in physics, see Unitarity (physics).

कार्यात्मक विश्लेषण में, एक एकात्मक ऑपरेटर हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर एक विशेषण फ़ंक्शन परिबद्ध संचालिका है जो आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है। एकात्मक संचालकों को आमतौर पर हिल्बर्ट स्पेस में ऑन संचालन के रूप में लिया जाता है, लेकिन यही धारणा हिल्बर्ट स्पेस बीच समाकृतिकता की अवधारणा को परिभाषित करने का काम करती है।

एकात्मक तत्व एकात्मक संकारक का सामान्यीकरण है। एक इकाई बीजगणित में, एक तत्व {{mvar|U}बीजगणित के } को एकात्मक तत्व कहा जाता है यदि U*U = UU* = I, कहाँ I पहचान तत्व है।

परिभाषा

परिभाषा 1. एक एकात्मक संचालिका एक परिबद्ध रैखिक संचालिका है U : H → H हिल्बर्ट स्पेस पर H जो संतुष्ट करता है U*U = UU* = I, कहाँ U* का हर्मिटियन जोड़ है U, और I : H → H पहचान (गणित) ऑपरेटर है।

कमजोर स्थिति U*U = I एक आइसोमेट्री को परिभाषित करता है। दूसरी शर्त, UU* = I, कोआइसोमेट्री को परिभाषित करता है। इस प्रकार एक एकात्मक संकारक एक परिबद्ध रेखीय संकारक होता है जो एक सममिति और एक सहसममिति दोनों होता है, या, समतुल्य रूप से, एक विशेषण फलन आइसोमेट्री। एक समकक्ष परिभाषा निम्नलिखित है:

परिभाषा 2. एक एकात्मक संचालिका एक परिबद्ध रेखीय संचालिका है U : H → H हिल्बर्ट स्पेस पर H जिसके लिए निम्नलिखित होल्ड करें:

• U विशेषण कार्य है, और
• U हिल्बर्ट अंतरिक्ष के आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है, H. दूसरे शब्दों में, सभी सदिश स्थानों के लिए x और y में H अपने पास:

  $\langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.$

हिल्बर्ट रिक्त स्थान के श्रेणी सिद्धांत में समरूपता की धारणा पर कब्जा कर लिया जाता है यदि डोमेन और श्रेणी को इस परिभाषा में भिन्न होने की अनुमति दी जाती है। आइसोमेट्रिज कॉची अनुक्रमों को संरक्षित करते हैं, इसलिए हिल्बर्ट रिक्त स्थान की पूर्ण मीट्रिक अंतरिक्ष संपत्ति संरक्षित है निम्नलिखित, प्रतीत होता है कमजोर, परिभाषा भी समतुल्य है:

परिभाषा 3. एक एकात्मक संचालिका एक परिबद्ध रेखीय संचालिका है U : H → H हिल्बर्ट स्पेस पर H जिसके लिए निम्नलिखित होल्ड करें:

• की सीमा U घना सेट है H, और
• U हिल्बर्ट अंतरिक्ष के आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है, H. दूसरे शब्दों में, सभी वैक्टरों के लिए x और y में H अपने पास:

  $\langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.$

यह देखने के लिए कि परिभाषाएँ 1 और 3 समतुल्य हैं, ध्यान दें U आंतरिक उत्पाद के संरक्षण का तात्पर्य है U एक आइसोमेट्री है (इस प्रकार, एक परिबद्ध रैखिक संकारक)। यह तथ्य कि U की सघन सीमा सुनिश्चित करती है कि इसका एक परिबद्ध व्युत्क्रम है U⁻¹. यह स्पष्ट है कि U⁻¹ = U*.

इस प्रकार, एकात्मक संचालक हिल्बर्ट रिक्त स्थान के केवल automorphism हैं, अर्थात, वे उस स्थान की संरचना (रैखिक अंतरिक्ष संरचना, आंतरिक उत्पाद, और इसलिए टोपोलॉजी) को संरक्षित करते हैं, जिस पर वे कार्य करते हैं। किसी दिए गए हिल्बर्ट स्थान से सभी एकात्मक संचालकों का समूह (गणित)। H स्वयं को कभी-कभी हिल्बर्ट समूह के रूप में संदर्भित किया जाता है H, निरूपित Hilb(H) या U(H).

उदाहरण

• पहचान समारोह तुच्छ रूप से एक एकात्मक संकारक है।
• घुमाव में R² एकात्मक संचालकों का सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण है। घुमाव किसी सदिश की लंबाई या दो सदिशों के बीच के कोण को नहीं बदलता है। इस उदाहरण का विस्तार किया जा सकता है R³.
• वेक्टर स्पेस पर C सम्मिश्र संख्याओं का, निरपेक्ष मान की संख्या से गुणा 1, यानी फॉर्म की संख्या e^iθ के लिए θ ∈ R, एक एकात्मक संकारक है। θ को एक चरण के रूप में संदर्भित किया जाता है, और इस गुणन को एक चरण द्वारा गुणा के रूप में संदर्भित किया जाता है। ध्यान दें कि का मान θ मापांक 2π गुणन के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है, और इसलिए स्वतंत्र एकात्मक संकारक चालू होते हैं C एक वृत्त द्वारा parametrized हैं। संगत समूह, जो एक समुच्चय के रूप में वृत्त है, कहलाता है U(1).
• अधिक आम तौर पर, एकात्मक मैट्रिक्स परिमित-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर सटीक रूप से एकात्मक ऑपरेटर होते हैं, इसलिए एकात्मक ऑपरेटर की धारणा एकात्मक मैट्रिक्स की धारणा का सामान्यीकरण है। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स एकात्मक मैट्रिसेस का विशेष मामला है जिसमें सभी प्रविष्टियाँ वास्तविक हैं। वे एकात्मक संचालक हैं Rⁿ.
• एलपी स्पेस पर द्विपक्षीय बदलाव ℓ² पूर्णांक द्वारा अनुक्रमित एकात्मक है। सामान्य तौर पर, हिल्बर्ट स्पेस में कोई भी ऑपरेटर जो एक असामान्य आधार को अनुमति देकर कार्य करता है, वह एकात्मक है। परिमित आयामी मामले में, ऐसे ऑपरेटर क्रमचय मैट्रिक्स हैं।
• एकतरफा शिफ्ट (राइट शिफ्ट) एक आइसोमेट्री है; इसका संयुग्म (बायाँ शिफ्ट) एक कोइज़ोमेट्री है।
• फूरियर ऑपरेटर एक एकात्मक ऑपरेटर है, यानी ऑपरेटर जो फूरियर रूपांतरण (उचित सामान्यीकरण के साथ) करता है। यह पारसेवल के प्रमेय से आता है।
• एकात्मक संचालकों का उपयोग एकात्मक अभ्यावेदन में किया जाता है।
• क्वांटम लॉजिक गेट एकात्मक संचालक हैं। सभी गेट हर्मिटियन मैट्रिक्स नहीं हैं।

रैखिकता

एकात्मक संकारक की परिभाषा में रैखिकता की आवश्यकता को बिना अर्थ बदले गिराया जा सकता है क्योंकि यह अदिश गुणनफल की रैखिकता और सकारात्मक-निश्चितता से प्राप्त किया जा सकता है:

समान रूप से आप प्राप्त करते हैं

$\|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0.$

गुण

• एक एकात्मक ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण)। U यूनिट सर्कल पर स्थित है। यानी किसी भी जटिल संख्या के लिए λ स्पेक्ट्रम में, एक है |λ| = 1. यह सामान्य ऑपरेटरों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है। प्रमेय द्वारा, U बोरेल-मापने योग्य द्वारा गुणन के बराबर है f पर L²(μ), कुछ परिमित माप स्थान के लिए (X, μ). अब UU* = I तात्पर्य |f(x)|² = 1, μ-ए.ई. इससे पता चलता है कि की आवश्यक सीमा f, इसलिए का स्पेक्ट्रम U, यूनिट सर्कल पर स्थित है।
• एक रेखीय मानचित्र एकात्मक होता है यदि वह आच्छादक और सममितीय हो। (केवल अगर भाग दिखाने के लिए ध्रुवीकरण पहचान का उपयोग करें।)

यह भी देखें

• Antiunitary
• Crinkled arc
• Quantum logic gate
• Unitary matrix
• Unitary transformation

संदर्भ

• Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.

• Doran, Robert S.; Belfi (1986). Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems. New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7569-4.

• Halmos, Paul (1982). A Hilbert space problem book. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 19 (2nd ed.). Springer Verlag. ISBN 978-0387906850.

• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 978-0387961132.