अरबिट्ररीलय लार्ज

गणित में, मनमाने ढंग से बड़े, मनमाने ढंग से छोटे और मनमाने ढंग से लंबे वाक्यांशों का उपयोग इस तथ्य को स्पष्ट करने के लिए किया जाता है कि एक वस्तु क्रमशः बड़ी, छोटी और थोड़ी सी सीमा या संयम के साथ लंबी है। मनमाने ढंग से उपयोग अक्सर वास्तविक संख्या (और उसके सबसेट) के संदर्भ में होता है, हालांकि इसका अर्थ पर्याप्त और असीम रूप से भिन्न हो सकता है।

उदाहरण

कथन

$f(x)$ मनमाने ढंग से बड़े के लिए गैर-नकारात्मक है$x$.

के लिए एक आशुलिपि है:

प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए$n$, $f(x)$ के कुछ मान के लिए ऋणात्मक नहीं है$x$से अधिक$n$.

आम बोलचाल में, मनमाने ढंग से लंबे शब्द का प्रयोग अक्सर संख्याओं के अनुक्रम के संदर्भ में किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह कहने के लिए कि अंकगणितीय प्रगति में मनमाने ढंग से लंबे अभाज्य हैं, इसका मतलब यह नहीं है कि अभाज्य संख्याओं की असीम रूप से लंबी अंकगणितीय प्रगति मौजूद है (वहाँ नहीं है), और न ही अभाज्य संख्याओं की कोई विशेष अंकगणितीय प्रगति मौजूद है जो किसी अर्थ में है मनमाने ढंग से लंबा। बल्कि, वाक्यांश का उपयोग इस तथ्य को संदर्भित करने के लिए किया जाता है कि संख्या कितनी भी बड़ी क्यों न हो$n$है, कम से कम लंबाई की अभाज्य संख्याओं की कुछ अंकगणितीय प्रगति मौजूद है$n$. मनमाने ढंग से बड़े के समान, वाक्यांश को भी परिभाषित किया जा सकता है$P(x)$ मनमाने ढंग से छोटी वास्तविक संख्याओं के लिए निम्नानुसार है:

$\forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+},\,\exists x\in \mathbb {R} :|x|<\epsilon \land P(x)$

दूसरे शब्दों में:

संख्या कितनी ही छोटी क्यों न हो, एक संख्या अवश्य होगी$x$उससे छोटा इस प्रकार है $P(x)$ रखती है।

मनमाने ढंग से बड़ा बनाम पर्याप्त रूप से बड़ा बनाम असीम रूप से बड़ा

जबकि समान, मनमाने ढंग से बड़ा पर्याप्त रूप से बड़े के बराबर नहीं है। उदाहरण के लिए, जबकि यह सच है कि अभाज्य संख्याएँ मनमाने ढंग से बड़ी हो सकती हैं (चूंकि यूक्लिड के प्रमेय के कारण असीम रूप से उनमें से कई हैं), यह सच नहीं है कि सभी पर्याप्त रूप से बड़ी संख्याएँ अभाज्य हैं।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, बयान$f(x)$ मनमाने ढंग से बड़े के लिए गैर-नकारात्मक है$x$. के रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

$\forall n\in \mathbb {R} {\mbox{, }}\exists x\in \mathbb {R} {\mbox{ such that }}x>n\land f(x)\geq 0$

हालांकि, पर्याप्त रूप से बड़े का उपयोग करके, वही वाक्यांश बन जाता है:

$\exists n\in \mathbb {R} {\mbox{ such that }}\forall x\in \mathbb {R} {\mbox{, }}x>n\Rightarrow f(x)\geq 0$

इसके अलावा, मनमाने ढंग से बड़े का मतलब असीम रूप से बड़ा भी नहीं है। उदाहरण के लिए, हालांकि अभाज्य संख्याएँ मनमाने ढंग से बड़ी हो सकती हैं, एक असीम रूप से बड़ी अभाज्य संख्या मौजूद नहीं है - क्योंकि सभी अभाज्य संख्याएँ (साथ ही अन्य सभी पूर्णांक) परिमित हैं।

कुछ मामलों में, प्रस्ताव जैसे वाक्यांश $P(x)$ मनमाने ढंग से बड़े के लिए सच है$x$मुख्य रूप से जोर देने के लिए उपयोग किया जाता है, जैसा कि$P(x)$ सभी के लिए सत्य है$x$, चाहे कितना भी बड़ा क्यों न हो$x$है। इन मामलों में, मनमाने ढंग से बड़े वाक्यांश का अर्थ ऊपर बताए गए अर्थ में नहीं है (यानी, हालांकि बड़ी संख्या में, कुछ बड़ी संख्या होगी जिसके लिए $P(x)$ अभी भी रखती है।). इसके बजाय, इस मामले में उपयोग वास्तव में तार्किक रूप से सभी का पर्यायवाची है।

यह भी देखें

• पर्याप्त रूप से बड़ा
• गणितीय शब्दजाल