क्यू-पोछाम्मेर सिंबल

साहचर्य के गणित क्षेत्र में, क्यू-पोचममेर प्रतीक, जिसे क्यू-शिफ्टेड फैक्टोरियल भी कहा जाता है, उत्पाद है

$$(a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),$$

साथ $(a;q)_{0}=1.$ यह पोचममेर प्रतीक का क्यू-एनालॉग|क्यू-एनालॉग है $(x)_{n}=x(x+1)\dots (x+n-1)$, इस अर्थ में कि

$$\lim _{q\to 1}{\frac {(q^{x};q)_{n}}{(1-q)^{n}}}=(x)_{n}.$$

क्यू-पोचममेर प्रतीक क्यू-एनालॉग्स के निर्माण में एक प्रमुख बिल्डिंग ब्लॉक है; उदाहरण के लिए, बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के सिद्धांत में, यह वह भूमिका निभाता है जो साधारण पोचममेर प्रतीक सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के सिद्धांत में निभाता है।

साधारण पोचहैमर प्रतीक के विपरीत, क्यू-पोचममेर प्रतीक को एक अनंत उत्पाद तक बढ़ाया जा सकता है:

$$(a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).$$

यह इकाई डिस्क के आंतरिक भाग में q का एक विश्लेषणात्मक कार्य है, और इसे q में एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में भी माना जा सकता है। विशेष मामला

$$\phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$$

यूलर के कार्य के रूप में जाना जाता है, और संयोजक, संख्या सिद्धांत और मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत में महत्वपूर्ण है।

पहचान

परिमित उत्पाद को अनंत उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$(a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},$$

जो परिभाषा को ऋणात्मक पूर्णांक n तक विस्तारित करता है। इस प्रकार, गैर-नकारात्मक एन के लिए, किसी के पास है

$$(a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}$$

और

$$(a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.$$

वैकल्पिक रूप से,

$$\prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q)_{\infty }}{(a;q)_{n}}},$$

जो विभाजन कार्यों के कुछ जनरेटिंग कार्यों के लिए उपयोगी है।

क्यू-पोचममेर प्रतीक कई क्यू-श्रृंखला पहचानों का विषय है, विशेष रूप से अनंत श्रृंखला विस्तार

$$(x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}$$

और

$${\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},$$

जो क्यू-द्विपद प्रमेय|क्यू-द्विपद प्रमेय के दोनों विशेष मामले हैं:

$${\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.$$

फ्रेडरिक कारपेलेविच ने निम्नलिखित पहचान पाई (देखें Olshanetsky and Rogov (1995) सबूत के लिए):

$${\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.$$

मिश्रित व्याख्या

क्यू-पोचममेर प्रतीक विभाजनों के परिगणनात्मक संयोजन से निकटता से संबंधित है। का गुणांक $q^{m}a^{n}$ में

$$(a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}$$

अधिकांश n भागों में m के विभाजनों की संख्या है। चूँकि, विभाजनों के संयुग्मन से, यह आकार के भागों में m के विभाजनों की संख्या के समान है, अधिक से अधिक n, जनरेटिंग सीरीज़ की पहचान से हम पहचान प्राप्त करते हैं

$$(a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}$$

जैसा कि उपरोक्त खंड में है।

हमारे पास वह गुणांक भी है $q^{m}a^{n}$ में

$$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})$$

n या n-1 भिन्न भागों में m के विभाजनों की संख्या है।

इस तरह के एक विभाजन से n − 1 भागों के साथ एक त्रिकोणीय विभाजन को हटाकर, हम अधिकांश n भागों के साथ एक मनमाने ढंग से विभाजन के साथ रह जाते हैं। यह n या n − 1 अलग-अलग हिस्सों में विभाजन के सेट और n − 1 भागों वाले त्रिकोणीय विभाजन वाले जोड़े के सेट और अधिकांश n भागों वाले विभाजन के बीच एक वजन-संरक्षण आक्षेप देता है। जनरेटिंग सीरीज़ की पहचान करके, यह पहचान की ओर ले जाता है

$$(-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}$$

उपरोक्त खंड में भी वर्णित है। फलन का व्युत्क्रम $(q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }$ इसी तरह विभाजन समारोह (संख्या सिद्धांत) के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन के रूप में उत्पन्न होता है, $p(n)$, जिसे नीचे दिए गए दूसरे दो q-श्रृंखला विस्तारों द्वारा भी विस्तारित किया गया है:

$${\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.$$

q-द्विपद प्रमेय | q-द्विपद प्रमेय को भी एक समान स्वाद के थोड़े अधिक सम्मिलित संयोजन तर्क द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है (Q-Pochhammer प्रतीक#Relationship to other q-functions में दिए गए विस्तार को भी देखें)।

इसी प्रकार,

$$(q;q)_{\infty }=1-\sum _{n\geq 0}q^{n+1}(q;q)_{n}=\sum _{n\geq 0}q^{\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(-1)^{n}}{(q;q)_{n}}}.$$

एकाधिक तर्क सम्मेलन

चूंकि q-पोचहैमर प्रतीकों से संबंधित पहचान में अक्सर कई प्रतीकों के उत्पाद शामिल होते हैं, मानक सम्मेलन एक उत्पाद को कई तर्कों के एकल प्रतीक के रूप में लिखना है:

$$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.$$

क्यू-श्रृंखला

एक क्यू-श्रृंखला एक श्रृंखला (गणित) है जिसमें गुणांक क्यू के कार्य होते हैं, आमतौर पर अभिव्यक्ति $(a;q)_{n}$. प्रारंभिक परिणाम यूलर, गॉस और कॉची के कारण हैं। व्यवस्थित अध्ययन एडवर्ड हेन (1843) के साथ शुरू होता है।

अन्य क्यू-फ़ंक्शंस से संबंध

n का q-एनालॉग, जिसे n का 'q-ब्रैकेट' या 'q-संख्या' भी कहा जाता है, को परिभाषित किया गया है

$$[n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$$

इससे कारख़ाने का के क्यू-एनालॉग को 'क्यू-फैक्टोरियल' के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$[n]!_{q}=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}.$$

इसे कई समकक्ष तरीकों से फिर से लिखा जा सकता है, जिसमें शामिल हैं ${\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$, $1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})$, और ${\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.$ ये संख्याएँ इस अर्थ में अनुरूप हैं

 
$$\lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n,$$

और इसलिए भी

$$\lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.$$

सीमा मूल्य n! एक एन-तत्व सेट एस के क्रमपरिवर्तन की गणना करता है। समान रूप से, यह नेस्टेड सेट के अनुक्रमों की संख्या की गणना करता है $E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S$ ऐसा है कि $E_{i}$ बिल्कुल i तत्व शामिल हैं। तुलनात्मक रूप से, जब q एक प्रमुख शक्ति है और V q तत्वों वाले क्षेत्र पर एक n-आयामी सदिश स्थान है, तो q-एनालॉग $[n]!_{q}$ वी में पूर्ण झंडों की संख्या है, अर्थात यह अनुक्रमों की संख्या है $V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V$ उप-स्थानों की जैसे कि $V_{i}$ आयाम i है। पूर्ववर्ती विचारों से पता चलता है कि एक नेस्टेड सेट के अनुक्रम को एक तत्व के साथ अनुमानित क्षेत्र पर ध्वज के रूप में माना जा सकता है।

ऋणात्मक पूर्णांक q-कोष्ठकों के गुणनफल को q-फैक्टोरियल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$\prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}$$

क्यू-फैक्टोरियल्स से, कोई क्यू-बिनोमियल गुणांक परिभाषित करने के लिए आगे बढ़ सकता है, जिसे गौसियन द्विपद गुणांक के रूप में भी जाना जाता है, जैसा कि

$${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},$$

जहाँ यह देखना आसान है कि इन गुणांकों का त्रिभुज इस अर्थ में सममित है ${\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}$ सभी के लिए $0\leq m\leq n$.

कोई इसकी जांच कर सकता है

$${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}$$

कोई भी पिछले पुनरावृत्ति संबंधों से यह भी देख सकता है कि अगले संस्करण $q$इन गुणांकों के संदर्भ में द्विपद प्रमेय का विस्तार इस प्रकार है:

$${\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}$$

आगे q-बहुपद गुणांकों को परिभाषित किया जा सकता है

$${\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},$$

जहां तर्क $k_{1},\ldots ,k_{m}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं जो संतुष्ट करते हैं $\sum _{i=1}^{m}k_{i}=n$. उपरोक्त गुणांक झंडे की संख्या की गणना करता है $V_{1}\subset \dots \subset V_{m}$ क्यू तत्वों के साथ क्षेत्र पर एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष में उप-स्थानों की संख्या $\dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}$.

सीमा $q\to 1$ सामान्य बहुराष्ट्रीय गुणांक देता है ${n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}$, जो शब्दों को अलग-अलग प्रतीकों में गिनता है $\{s_{1},\dots ,s_{m}\}$ ऐसा है कि प्रत्येक $s_{i}$ दिखाई पड़ना $k_{i}$ बार।

एक व्यक्ति गामा फलन का क्यू-एनालॉग भी प्राप्त करता है, जिसे 'क्यू-गामा फलन' कहा जाता है, और इसे इस रूप में परिभाषित किया जाता है

$$\Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}$$

यह सामान्य गामा फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है क्योंकि क्यू यूनिट डिस्क के अंदर से 1 तक पहुंचता है। ध्यान दें कि

$$\Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)$$

किसी भी एक्स और के लिए

$$\Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}$$

एन के गैर-नकारात्मक पूर्णांक मानों के लिए। वैकल्पिक रूप से, इसे वास्तविक संख्या प्रणाली में क्यू-फैक्टोरियल फ़ंक्शन के विस्तार के रूप में लिया जा सकता है।

यह भी देखें

• बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रृंखला
• अण्डाकार गामा समारोह
• थीटा समारोह
• लैम्बर्ट श्रृंखला
• पंचकोणीय संख्या प्रमेय
• क्यू-व्युत्पन्न|क्यू-व्युत्पन्न
• क्यू-थीटा फ़ंक्शन | क्यू-थीटा फ़ंक्शन
• q-वंडरमोंडे की पहचान|q-वंडरमोंडे की पहचान
• रोजर्स-रामानुजन पहचान
• रोजर्स-रामानुजन ने अंश जारी रखा

संदर्भ

• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, section 0.2.
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
• M.A. Olshanetsky and V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "q-Analog". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Bracket". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Factorial". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Series". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Binomial Coefficient". MathWorld.