तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर

सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में, एक तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर, जैसे कि लैंडौ-लाइफशिट्ज स्यूडोटेन्सर, गैर-गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा टेंसर का एक विस्तार है जो गुरुत्वाकर्षण की ऊर्जा-गति को शामिल करता है। यह गुरुत्वाकर्षण पदार्थ की एक प्रणाली की ऊर्जा-गति को परिभाषित करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से यह कुल पदार्थ और गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग को सामान्य सापेक्षता के ढांचे के भीतर एक संरक्षित धारा बनाने की अनुमति देता है, ताकि कुल ऊर्जा-संवेग किसी भी की ऊनविम पृष्ठ (3-आयामी सीमा) को पार कर सके। कॉम्पैक्ट स्पेस-टाइम अतिमात्रा (4-आयामी सबमनीफोल्ड) गायब हो जाता है।

कुछ लोग (जैसे इरविन श्रोडिंगर) ने इस आधार पर इस व्युत्पत्ति पर आपत्ति जताई है कि सामान्य सापेक्षता में स्यूडोटेंसर अनुपयुक्त वस्तुएं हैं, लेकिन संरक्षण कानून के लिए केवल स्यूडोटेंसर के 4-विचलन के उपयोग की आवश्यकता होती है, जो इस मामले में एक टेन्सर है (जो गायब भी हो जाता है)। इसके अलावा, अधिकांश स्यूडोटेन्सर जेट बंडलों के खंड हैं, जिन्हें अब पहचाना जाता है सामान्य सापेक्षता में पूरी तरह से मान्य वस्तुओं के रूप में।

लैंडौ-लिफ्शिट्ज स्यूडोटेन्सर

लैंडौ-लिफ्शिट्ज़ स्यूडोटेन्सर का उपयोग, संयुक्त पदार्थ (फोटॉन और न्यूट्रिनो सहित) प्लस गुरुत्वाकर्षण के लिए एक तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर, ऊर्जा-संवेग संरक्षण कानूनों को सामान्य सापेक्षता में विस्तारित करने की अनुमति देता है। संयुक्त स्यूडोटेन्सर से पदार्थ तनाव-ऊर्जा-संवेग टेंसर का घटाव गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर में होता है।

आवश्यकताएँ

लेव डेविडोविच लैंडौ और एवगेनी मिखाइलोविच लाइफशिट्ज को गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा संवेग स्यूडोटेंसर की खोज में उनकी चार आवश्यकताओं का नेतृत्व किया गया था, $t_{LL}^{\mu \nu }\,$:# कि यह पूरी तरह से मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) से निर्मित हो, ताकि मूल रूप से विशुद्ध रूप से ज्यामितीय या गुरुत्वाकर्षण हो।

1. कि यह इंडेक्स सिमेट्रिक हो, यानी $t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,$, (कोणीय गति को संरक्षित करने के लिए)
2. कि, जब पदार्थ के तनाव-ऊर्जा टेंसर में जोड़ा जाता है, $T^{\mu \nu }\,$, इसका कुल 4-डाइवर्जेंस गायब हो जाता है (यह किसी भी संरक्षित धारा के लिए आवश्यक है) ताकि हमारे पास कुल तनाव-ऊर्जा-संवेग के लिए एक संरक्षित अभिव्यक्ति हो।
3. कि यह संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में स्थानीय रूप से गायब हो जाता है (जिसके लिए आवश्यक है कि इसमें केवल पहला क्रम हो और मीट्रिक का दूसरा या उच्च क्रम यौगिक न हो)। ऐसा इसलिए है क्योंकि तुल्यता सिद्धांत की आवश्यकता है कि गुरुत्वाकर्षण बल क्षेत्र, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक, स्थानीय रूप से कुछ फ़्रेमों में गायब हो जाएं। यदि गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा इसके बल क्षेत्र का एक कार्य है, जैसा कि अन्य बलों के लिए सामान्य है, तो संबंधित गुरुत्वाकर्षण स्यूडोटेंसर को भी स्थानीय रूप से गायब हो जाना चाहिए।

परिभाषा

Landau & Lifshitz ने दिखाया कि एक अद्वितीय निर्माण है जो इन आवश्यकताओं को पूरा करता है, अर्थात्

$$t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }$$

कहाँ:

• जी^μν आइंस्टीन टेंसर है (जो मीट्रिक से निर्मित है)
• जी^μν मेट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) का प्रतिलोम है, g_μν
• g = det(g_μν) मीट्रिक टेंसर का निर्धारक है। g < 0, इसलिए इसकी उपस्थिति के रूप में $-g$.
• ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$ आंशिक डेरिवेटिव हैं, सहसंयोजक डेरिवेटिव नहीं।
• G न्यूटन का गुरुत्वीय स्थिरांक है।

सत्यापन

4 आवश्यकता शर्तों की जांच करने पर हम देख सकते हैं कि पहले 3 को प्रदर्शित करना अपेक्षाकृत आसान है:

1. आइंस्टीन टेंसर के बाद से, $G^{\mu \nu }\,$, खुद मीट्रिक से बनाया गया है, इसलिए है $t_{LL}^{\mu \nu }$
2. आइंस्टीन टेंसर के बाद से, $G^{\mu \nu }\,$, सममित है तो है $t_{LL}^{\mu \nu }$ चूंकि अतिरिक्त शर्तें निरीक्षण द्वारा सममित हैं।
3. Landau-Lifshitz स्यूडोटेन्सर का निर्माण इस तरह से किया गया है कि जब पदार्थ के तनाव-ऊर्जा टेंसर में जोड़ा जाता है, $T^{\mu \nu }\,$, इसका कुल 4-डाइवर्जेंस गायब हो जाता है: $\left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu }+t_{LL}^{\mu \nu }\right)\right)_{,\mu }=0$. यह आइंस्टीन टेंसर के रद्द होने के बाद होता है, $G^{\mu \nu }\,$, तनाव-ऊर्जा टेंसर के साथ, $T^{\mu \nu }\,$ आइंस्टीन फील्ड समीकरणों द्वारा; एंटीसिमेट्रिक इंडेक्स पर लागू आंशिक डेरिवेटिव की कम्यूटेटिविटी के कारण शेष शब्द बीजगणितीय रूप से गायब हो जाता है।
4. Landau-Lifshitz स्यूडोटेन्सर मीट्रिक में दूसरे व्युत्पन्न शब्दों को शामिल करता प्रतीत होता है, लेकिन वास्तव में स्यूडोटेन्सर में स्पष्ट दूसरा व्युत्पन्न शब्द आइंस्टीन टेंसर के भीतर निहित दूसरे व्युत्पन्न शब्दों के साथ रद्द हो जाता है, $G^{\mu \nu }\,$. यह तब अधिक स्पष्ट होता है जब स्यूडोटेन्सर को सीधे मीट्रिक टेन्सर या लेवी-Civita कनेक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है; मीट्रिक में केवल पहले व्युत्पन्न शब्द ही जीवित रहते हैं और ये गायब हो जाते हैं जहां फ्रेम किसी भी चुने हुए बिंदु पर स्थानीय रूप से जड़त्वीय होता है। नतीजतन, संपूर्ण स्यूडोटेन्सर स्थानीय रूप से गायब हो जाता है (फिर से, किसी भी चुने हुए बिंदु पर) $t_{LL}^{\mu \nu }=0$, जो गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग के निरूपण को प्रदर्शित करता है।

ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक

जब Landau-Lifshitz स्यूडोटेन्सर तैयार किया गया था तो आमतौर पर यह माना जाता था कि ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक, $\Lambda \,$, शून्य था। आजकल त्वरित ब्रह्मांड | हम यह धारणा नहीं बनाते हैं, और अभिव्यक्ति को जोड़ने की आवश्यकता है $\Lambda$ अवधि, देना:

$$t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu }\right)+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }$$

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के साथ संगति के लिए यह आवश्यक है।

मीट्रिक और affine कनेक्शन संस्करण

Landau और Lifshitz भी Landau-Lifshitz pseudotensor के लिए दो समकक्ष लेकिन लंबी अभिव्यक्तियाँ प्रदान करते हैं:

• मीट्रिक टेंसर संस्करण:
• क्रिस्टोफेल प्रतीक संस्करण:
  $${t_{\mu }}^{\nu }={\frac {c^{4}}{16\pi G{\sqrt {-g}}}}\left(\left(g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)_{,\mu }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }-\delta _{\beta }^{\nu }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\right)-\delta _{\mu }^{\nu }g^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\rho }\Gamma _{\beta \rho }^{\sigma }\right){\sqrt {-g}}\right)$$