प्रवर संवहन समय व्युत्पन्न

निरंतर यांत्रिकी में, द्रव गतिकी सहित, एक ऊपरी-संवहित समय व्युत्पन्न या ओल्ड्रोयड व्युत्पन्न, जिसका नाम जेम्स जी। ओल्ड्रोयड के नाम पर रखा गया है, द्रव के एक छोटे से पार्सल की कुछ टेन्सर संपत्ति का व्युत्पन्न है जो समन्वय प्रणाली में घूर्णन और खिंचाव के साथ लिखा जाता है। तरल।

ऑपरेटर निम्न सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया गया है:

${\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -(\nabla \mathbf {v} )^{T}\cdot \mathbf {A} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {v} )$

कहाँ:

• ${\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}$ टेंसर फील्ड (भौतिकी) का ऊपरी-संवहित समय व्युत्पन्न है $\mathbf {A}$
• ${\frac {D}{Dt}}$ मूल व्युत्पन्न है
• $\nabla \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}$ द्रव के लिए वेग डेरिवेटिव का टेन्सर है।

सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है:

${\stackrel {\triangledown }{A}}_{i,j}={\frac {\partial A_{i,j}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial A_{i,j}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}A_{k,j}-{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{k}}}A_{i,k}$

परिभाषा के अनुसार, फिंगर टेंसर का ऊपरी-संवहित समय व्युत्पन्न हमेशा शून्य होता है।

यह दिखाया जा सकता है कि एक स्पेसलाइक वेक्टर फ़ील्ड का ऊपरी-संवहित समय व्युत्पन्न सातत्य के वेग क्षेत्र द्वारा इसका झूठ व्युत्पन्न है। बड़े विकृतियों के तहत viscoelastic तरल पदार्थ के व्यवहार के वर्णन के लिए ऊपरी-संवहनी व्युत्पन्न का व्यापक रूप से बहुलक रियोलॉजी में उपयोग किया जाता है।

== सममित टेन्सर A == के लिए उदाहरण

सरल कतरनी

सरल कतरनी के मामले में:

$\nabla \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\{\dot {\gamma }}&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

इस प्रकार,

${\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -{\dot {\gamma }}{\begin{pmatrix}2A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{22}&0&0\\A_{23}&0&0\end{pmatrix}}$

असंपीड्य द्रव का एक अक्षीय विस्तार

इस मामले में सामग्री X दिशा में खींची जाती है और Y और Z दिशाओं में संकुचित होती है, ताकि आयतन स्थिर रहे। वेग की प्रवणताएँ हैं:

$\nabla \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}{\dot {\epsilon }}&0&0\\0&-{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}&0\\0&0&-{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}\end{pmatrix}}$

इस प्रकार,

${\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}{\begin{pmatrix}4A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&-2A_{22}&-2A_{23}\\A_{13}&-2A_{23}&-2A_{33}\end{pmatrix}}$

यह भी देखें

• ऊपरी संवहन मैक्सवेल मॉडल

संदर्भ

• Macosko, Christopher (1993). Rheology. Principles, Measurements and Applications. VCH Publisher. ISBN 978-1-56081-579-2.

Notes