वास्तविक रूप (लाई सिद्धांत)

गणित में, वास्तविक रूप की धारणा वास्तविक संख्या और जटिल संख्या संख्याओं के क्षेत्र (बीजगणित) पर परिभाषित वस्तुओं से संबंधित है। एक वास्तविक झूठ बीजगणित जी₀ जटिल लाई बीजगणित जी का वास्तविक रूप कहा जाता है यदि जी जी का जटिलीकरण है₀:

${\mathfrak {g}}\simeq {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .$

जटिल झूठ समूहों के लिए वास्तविक रूप की धारणा को भी परिभाषित किया जा सकता है। जटिल अर्ध-सरल झूठ समूहों और झूठ बीजगणित के वास्तविक रूपों को एली कार्टन द्वारा पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है।

झूठे समूहों और बीजगणितीय समूहों के लिए वास्तविक रूप

लाई पत्राचार का उपयोग करते हुए, लाई समूहों के लिए एक वास्तविक रूप की धारणा को परिभाषित किया जा सकता है। रेखीय बीजगणितीय समूहों के मामले में, जटिलता और वास्तविक रूप की धारणाओं का बीजगणितीय ज्यामिति की भाषा में स्वाभाविक वर्णन है।

वर्गीकरण

Main article: List of simple Lie groups

जिस तरह जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित को डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, एक अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वास्तविक रूपों को सैटेक आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो जटिल रूप के डायनकिन आरेख से कुछ शीर्षों को काला (भरा हुआ) लेबल करके प्राप्त किया जाता है, और कुछ अन्य को जोड़ता है। कुछ नियमों के अनुसार, तीरों द्वारा जोड़े में कोने।

यह जटिल अर्ध-सरल झूठ बीजगणित के संरचना सिद्धांत में एक बुनियादी तथ्य है कि इस तरह के प्रत्येक बीजगणित के दो विशेष वास्तविक रूप होते हैं: एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप है और झूठ पत्राचार के तहत एक कॉम्पैक्ट झूठ समूह से मेल खाता है (इसका साटेक आरेख सभी कोने काला कर दिया गया है) , और दूसरा विभाजित वास्तविक रूप है और एक झूठ समूह से मेल खाता है जो कॉम्पैक्ट होने से जितना संभव हो सके (इसके साटेक आरेख में कोई काला नहीं है और कोई तीर नहीं है)। जटिल विशेष रैखिक समूह SL(n,C) के मामले में, कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप विशेष एकात्मक समूह SU(n) और विभाजित वास्तविक रूप है वास्तविक विशेष रेखीय समूह SL(n,R) है। अर्ध-सरल ले बीजगणित के वास्तविक रूपों का वर्गीकरण एली कार्टन द्वारा रीमैनियन सममित रिक्त स्थान के संदर्भ में पूरा किया गया था। सामान्य तौर पर, दो से अधिक वास्तविक रूप हो सकते हैं।

मान लीजिए कि 'जी'₀ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर एक अर्ध-सरल झूठ बीजगणित है। कार्टन की कसौटी के अनुसार, किलिंग फॉर्म नॉनडिजेनरेट है, और विकर्ण प्रविष्टियों +1 या -1 के साथ एक उपयुक्त आधार पर विकर्ण किया जा सकता है। सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम से, धनात्मक प्रविष्टियों की संख्या, या जड़त्व का धनात्मक सूचकांक, द्विरेखीय रूप का एक अपरिवर्तनीय है, अर्थात यह विकर्णीय आधार के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है। यह 0 और जी के आयाम के बीच की एक संख्या है जो वास्तविक लाई बीजगणित का एक महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय है, जिसे इसका 'सूचकांक' कहा जाता है।

वास्तविक रूप विभाजित करें

See also: Split Lie algebra

साकार रूप जी₀ एक परिमित-आयामी जटिल अर्ध-सरल झूठ बीजगणित जी को 'स्प्लिट लाइ बीजगणित' या 'सामान्य' कहा जाता है, यदि प्रत्येक कार्टन अपघटन जी में₀ = के₀⊕ प₀, अंतरिक्ष पी₀ g का अधिकतम एबेलियन सबलजेब्रा होता है₀, यानी इसका यह सबलजेब्रा परीक्षण एली कार्टन ने साबित किया कि प्रत्येक जटिल अर्ध-सरल झूठ बीजगणित जी का एक विभाजित वास्तविक रूप है, जो समरूपता तक अद्वितीय है। सभी वास्तविक रूपों में इसका अधिकतम सूचकांक है।

स्प्लिट फॉर्म सैटेक आरेख से मेल खाता है जिसमें कोई शीर्ष काला नहीं होता है और कोई तीर नहीं होता है।

कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप

See also: Compact Lie algebra

एक वास्तविक झूठ बीजगणित जी₀ कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित कहा जाता है यदि मारक रूप नकारात्मक निश्चित है, यानी 'जी' का सूचकांक₀ शून्य है। इस मामले में जी₀= कश्मीर₀ एक कॉम्पैक्ट झूठ बीजगणित है। यह ज्ञात है कि लाई पत्राचार के तहत, कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित कॉम्पैक्ट लाई समूहों के अनुरूप है।

कॉम्पैक्ट फॉर्म सैटेक आरेख से मेल खाता है जिसमें सभी कोने काले होते हैं।

सघन वास्तविक रूप का निर्माण

सामान्य तौर पर, कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप का निर्माण अर्धसरल लाई बीजगणित के संरचना सिद्धांत का उपयोग करता है। शास्त्रीय झूठ बीजगणित के लिए एक अधिक स्पष्ट निर्माण है।

चलो जी₀ ट्रांसपोज़ मैप के तहत बंद होने वाले आर पर मैट्रिसेस का वास्तविक लाई बीजगणित हो,

$X\to {X}^{t}.$

फिर जी₀ इसके तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित भाग k के प्रत्यक्ष योग में विघटित होता है₀ और इसका सममित मैट्रिक्स पी₀, यह कार्टन अपघटन है:

${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}.$

जी का जटिलता जी₀ जी के प्रत्यक्ष योग में विघटित₀ और आईजी₀. मैट्रिसेस का वास्तविक वेक्टर स्थान

${\mathfrak {u}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus i{\mathfrak {p}}_{0}$

कॉम्प्लेक्स लाई बीजगणित जी का एक उप-स्थान है जो कम्यूटेटर के तहत बंद है और इसमें तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स | तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस शामिल हैं। यह इस प्रकार है कि यू₀ जी का एक वास्तविक लाई सबलजेब्रा है, कि इसका किलिंग फॉर्म नकारात्मक निश्चित है (इसे एक कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित बनाता है), और यह कि यू का जटिलीकरण₀ जी है इसलिए, यू₀ जी. का संक्षिप्त रूप है।

यह भी देखें

• जटिलता (लेट ग्रुप)

संदर्भ

• Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
• Knapp, Anthony (2004), Lie Groups: Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, vol. 140, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5