विविध पर घनत्व

गणित में, और विशेष रूप से अंतर ज्यामिति में, घनत्व एक अलग-अलग कई गुना पर एक अलग-अलग भिन्न मात्रा है जो एक आंतरिक तरीके से अभिन्न हो सकता है। संक्षेप में, एक घनत्व एक निश्चित रेखा बंडल का एक खंड (फाइबर बंडल) होता है, जिसे घनत्व बंडल कहा जाता है। x पर घनत्व बंडल का एक तत्व एक ऐसा कार्य है जो x पर दिए गए स्पर्शरेखा सदिशों द्वारा n द्वारा फैलाए गए समानांतर चतुर्भुज के लिए आयतन निर्दिष्ट करता है।

संचालन के दृष्टिकोण से, एक घनत्व समन्वय चार्ट पर कार्यों का एक संग्रह है जो निर्देशांक के परिवर्तन में जैकबियन निर्धारक के निरपेक्ष मूल्य से गुणा हो जाता है। घनत्वों को s-घनत्वों में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिनके निर्देशांक निरूपण जैकोबियन निर्धारक के निरपेक्ष मान की s-th शक्ति से गुणा हो जाते हैं। एक उन्मुख कई गुना पर, 1-घनत्व को कैनोनिक रूप से डिफरेंशियल फॉर्म|n-M' पर फॉर्म के साथ पहचाना जा सकता है। गैर-उन्मुख मैनिफोल्ड्स पर यह पहचान नहीं की जा सकती है, क्योंकि घनत्व बंडल 'एम' के उन्मुखीकरण बंडल और टी के एन-वें बाहरी उत्पाद बंडल का टेंसर उत्पाद है।{{sup|∗}एम (स्यूडोटेंसर देखें)।

प्रेरणा (वेक्टर रिक्त स्थान में घनत्व)

सामान्य तौर पर, वैक्टर द्वारा उत्पन्न समांतरोटोप के लिए वॉल्यूम की प्राकृतिक अवधारणा मौजूद नहीं होती है v₁, ..., v_n एक n-आयामी सदिश समष्टि V में। हालाँकि, यदि कोई एक फलन को परिभाषित करना चाहता है μ : V × ... × V → R जो ऐसे किसी समांतर चतुर्भुज के लिए आयतन निर्दिष्ट करता है, उसे निम्नलिखित गुणों को पूरा करना चाहिए:

• यदि कोई सदिश v_kसे गुणा किया जाता है λ ∈ R, वॉल्यूम को |λ| से गुणा किया जाना चाहिए।
• यदि सदिशों का कोई रैखिक संयोजन v₁, ..., में_j−1, में_j+1, ..., में_nवेक्टर v में जोड़ा जाता है_j, वॉल्यूम अपरिवर्तित रहना चाहिए।

ये स्थितियाँ इस कथन के समतुल्य हैं कि μ V पर एक अनुवाद-अपरिवर्तनीय उपाय द्वारा दिया गया है, और इन्हें फिर से परिभाषित किया जा सकता है

$\mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).$

ऐसी कोई मैपिंग μ : V × ... × V → R को सदिश स्थान V पर घनत्व कहा जाता है। ध्यान दें कि अगर ( वी₁, ..., में_n) वी के लिए कोई आधार है, फिर फिक्सिंग μ(v₁, ..., में_n) μ को पूरी तरह से ठीक कर देगा; यह इस प्रकार है कि वी पर सभी घनत्वों का सेट वॉल्यूम (वी) एक आयामी वेक्टर अंतरिक्ष बनाता है। V पर कोई भी n-रूप ω एक घनत्व को परिभाषित करता है |ω| वी पर

$|\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|.$

वेक्टर स्पेस पर ओरिएंटेशन

सभी कार्यों का सेट या (वी)। o : V × ... × V → R जो संतुष्ट करता है

$o(Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\operatorname {sign} (\det A)o(v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V)$

एक आयामी सदिश स्थान बनाता है, और 'V' पर एक अभिविन्यास दो तत्वों में से एक है o ∈ Or(V) ऐसा है कि |o(v₁, ..., v_n)| = 1 किसी भी रैखिक रूप से स्वतंत्र के लिए v₁, ..., v_n. वी पर कोई गैर-शून्य एन-फॉर्म ω एक अभिविन्यास परिभाषित करता है o ∈ Or(V) ऐसा है कि

$o(v_{1},\ldots ,v_{n})|\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n})=\omega (v_{1},\ldots ,v_{n}),$

और इसके विपरीत, कोई भी o ∈ Or(V) और कोई घनत्व μ ∈ Vol(V) द्वारा V पर एक n-रूप ω परिभाषित करें

$\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})=o(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}).$

टेंसर उत्पाद के संदर्भ में,

$\operatorname {Or} (V)\otimes \operatorname {Vol} (V)=\bigwedge ^{n}V^{*},\quad \operatorname {Vol} (V)=\operatorname {Or} (V)\otimes \bigwedge ^{n}V^{*}.$

सदिश स्थान पर s-घनत्व

वी पर एस-घनत्व कार्य हैं μ : V × ... × V → R ऐसा है कि

$\mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|^{s}\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).$

घनत्वों की तरह, एस-घनत्व एक आयामी वेक्टर स्पेस वॉल्यूम बनाते हैं^s(V), और V पर कोई भी n-रूप ω एक s-घनत्व को परिभाषित करता है |ω|^s वी पर

$|\omega |^{s}(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|^{s}.$

एस का उत्पाद₁- और एस₂-घनत्व μ₁ और μ₂ फॉर्म ए (एस₁+स₂)-घनत्व μ द्वारा

$\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}):=\mu _{1}(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu _{2}(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

टेन्सर गुणनफल के संदर्भ में इस तथ्य को इस प्रकार कहा जा सकता है

$\operatorname {Vol} ^{s_{1}}(V)\otimes \operatorname {Vol} ^{s_{2}}(V)=\operatorname {Vol} ^{s_{1}+s_{2}}(V).$

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एस-घनत्व बंडल वॉल्यूम^s(M) एक अलग करने योग्य मैनिफोल्ड M एक संबद्ध बंडल निर्माण द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो एक-आयामी समूह प्रतिनिधित्व को आपस में जोड़ता है

$\rho (A)=\left|\det A\right|^{-s},\quad A\in \operatorname {GL} (n)$

एम के फ्रेम बंडल के साथ सामान्य रैखिक समूह का।

परिणामी लाइन बंडल को एस-घनत्व के बंडल के रूप में जाना जाता है, और इसे द्वारा निरूपित किया जाता है

$\left|\Lambda \right|_{M}^{s}=\left|\Lambda \right|^{s}(TM).$

1-घनत्व को केवल घनत्व के रूप में भी संदर्भित किया जाता है।

अधिक आम तौर पर, संबंधित बंडल निर्माण भी घनत्व को किसी भी वेक्टर बंडल ई से एम पर निर्मित करने की अनुमति देता है।

विस्तार से, अगर (यू_α, फाई_α) M पर समन्वय चार्ट का एक एटलस (टोपोलॉजी) है, तो वहाँ का एक स्थानीय तुच्छीकरण जुड़ा हुआ है $\left|\Lambda \right|_{M}^{s}$

$t_{\alpha }:\left|\Lambda \right|_{M}^{s}|_{U_{\alpha }}\to \phi _{\alpha }(U_{\alpha })\times \mathbb {R}$

ओपन कवर यू के अधीन_α जैसे कि संबद्ध GL(1)-कोसाइकिल संतुष्ट करती है

$t_{\alpha \beta }=\left|\det(d\phi _{\alpha }\circ d\phi _{\beta }^{-1})\right|^{-s}.$

एकीकरण

कई गुना पर अभिन्न के सिद्धांत में घनत्व एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। दरअसल, घनत्व की परिभाषा इस बात से प्रेरित होती है कि निर्देशांक के परिवर्तन के तहत माप डीएक्स कैसे बदलता है (Folland 1999, Section 11.4, pp. 361-362).

निर्देशांक चार्ट U में समर्थित 1-घनत्व ƒ दिया गया है_α, अभिन्न द्वारा परिभाषित किया गया है

$\int _{U_{\alpha }}f=\int _{\phi _{\alpha }(U_{\alpha })}t_{\alpha }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}d\mu$

जहां बाद का इंटीग्रल आर पर लेबेस्ग उपाय के संबंध में है^एन. प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण के साथ 1-घनत्व के लिए परिवर्तन कानून विभिन्न समन्वय चार्ट के ओवरलैप पर संगतता सुनिश्चित करता है, और इसलिए सामान्य कॉम्पैक्ट समर्थन 1-घनत्व का अभिन्न अंग एकता तर्क के विभाजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार 1-घनत्व एक आयतन रूप की धारणा का एक सामान्यीकरण है जिसके लिए आवश्यक रूप से कई गुना उन्मुख या यहां तक ​​कि उन्मुख होने की आवश्यकता नहीं होती है। रैडॉन उपायों के वितरण (गणित) के वर्गों के रूप में आम तौर पर एक सामान्य सिद्धांत विकसित किया जा सकता है $|\Lambda |_{M}^{1}$ रिज़्ज़-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय का उपयोग करना।

1/पी-घनत्व का सेट जैसे कि $|\phi |_{p}=\left(\int |\phi |^{p}\right)^{1/p}<\infty$ एक आदर्श रैखिक स्थान है जिसका पूरा होना $L^{p}(M)$ आंतरिक एलपी स्पेस कहा जाता है|एल^p m का स्थान'।

कन्वेंशन

कुछ क्षेत्रों में, विशेष रूप से अनुरूप ज्यामिति में, एक अलग भार सम्मेलन का उपयोग किया जाता है: एस-घनत्व का बंडल इसके बजाय वर्ण से जुड़ा होता है

$\rho (A)=\left|\det A\right|^{-s/n}.$

इस सम्मेलन के साथ, उदाहरण के लिए, कोई एन-घनत्व (1-घनत्व के बजाय) को एकीकृत करता है। इसके अलावा इन सम्मेलनों में, एक अनुरूप मीट्रिक की पहचान वजन 2 के टेंसर घनत्व के साथ की जाती है।

गुण

• का दोहरा वेक्टर बंडल $|\Lambda |_{M}^{s}$ है $|\Lambda |_{M}^{-s}$.
• टेंसर डेंसिटी, टेंसर बंडल के साथ डेंसिटी बंडल के टेंसर उत्पाद के सेक्शन हैं।

संदर्भ

• Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20062-8.
• Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Second ed.), ISBN 978-0-471-31716-6, provides a brief discussion of densities in the last section.{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• Nicolaescu, Liviu I. (1996), Lectures on the geometry of manifolds, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-2836-1, MR 1435504
• Lee, John M (2003), Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag