विविध पर घनत्व

गणित में, और विशेष रूप से अंतर ज्यामिति में, घनत्व एक अवकलनीय बहुविध पर एक अलग-अलग भिन्न मात्रा है जो एक स्थानिक तरीके से अभिन्न हो सकता है। संक्षेप में, घनत्व एक निश्चित रेखा समूह का एक खंड (तंतु समूह) होता है, जिसे घनत्व समूह कहा जाता है। x पर घनत्व समूह का तत्व एक ऐसा कार्य है जो x पर दिए गए स्पर्शरेखा सदिशों द्वारा n द्वारा फैलाए गए समानांतर चतुर्भुज के लिए आयतन निर्दिष्ट करता है।

संचालन के दृष्टिकोण से, एक घनत्व समन्वय तालिका पर कार्यों का एक संग्रह है जो निर्देशांक के परिवर्तन में जैकबियन निर्धारक के निरपेक्ष मूल्य से गुणा हो जाता है। घनत्वों को s-घनत्वों में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिनके निर्देशांक निरूपण जैकोबियन निर्धारक के निरपेक्ष मान की s-th शक्ति से गुणा हो जाते हैं। एक उन्मुख बहुविध पर, 1-घनत्व को विहित रूप से M पर अंतरीय विधि के साथ पहचाना जा सकता है। गैर-उन्मुख बहुविध पर यह पहचान नहीं की जा सकती है, क्योंकि घनत्व समूह 'M' के उन्मुखीकरण समूह और T के n-वें बाहरी उत्पाद समूह M का प्रदिश उत्पाद है। (स्यूडोटेंसर देखें)।

प्रेरणा (सदिश रिक्त स्थान में घनत्व)

सामान्यतः, सदिश v₁, ..., v_n द्वारा एक n-आयामी सदिश समष्टि V में उत्पन्न समांतरोटोप के लिए घनफल की प्राकृतिक अवधारणा उपस्थित नहीं होती है। हालाँकि, यदि कोई एक फलन μ : V × ... × V → R को परिभाषित करना चाहता है जो ऐसे किसी समांतर चतुर्भुज के लिए आयतन निर्दिष्ट करता है, उसे निम्नलिखित गुणों को पूरा करना चाहिए:

• यदि कोई सदिश v_k λ ∈ R से गुणा किया जाता है, तो घनफल को |λ| से गुणा किया जाना चाहिए।
• यदि सदिश v1, ..., vj−1, vj+1, ..., vn का कोई रैखिक संयोजन सदिश vj में जोड़ा जाता है, तो आयतन अपरिवर्तनीय रहना चाहिए।

ये स्थितियाँ इस कथन के समतुल्य हैं कि μ V पर एक अनुवाद-अपरिवर्तनीय उपाय द्वारा दिया गया है, और इन्हें फिर से परिभाषित किया जा सकता है

$\mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).$

ऐसी कोई प्रतिचित्रण μ : V × ... × V → R को सदिश स्थान V पर घनत्व कहा जाता है। ध्यान दें कि अगर ( वी₁, ..., में_n) V के लिए कोई आधार है, तो μ(v1, .. ।, vn) μ को पूरी तरह से ठीक कर देगा; यह इस प्रकार है कि V पर सभी घनत्वों का सम्मुच्चय आयतन (V) एक आयामी सदिश दिक् बनाता है। V पर कोई भी n-रूप ω एक घनत्व को परिभाषित करता है |ω|

$|\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|.$

सदिश दिक् पर स्थिति निर्धारण

सभी कार्यों का सम्मुच्चय या (V)। o : V × ... × V → R जो निम्न को संतुष्ट करता है

$o(Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\operatorname {sign} (\det A)o(v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V)$

एक आयामी सदिश स्थान बनाता है, और 'V' पर एक अभिविन्यास दो तत्वों o ∈ Or(V) में से एक है। यह ऐसा है कि |o(v₁, ..., v_n)| = 1 किसी भी रैखिक रूप से स्वतंत्र v₁, ..., v_n के लिए है। V पर कोई गैर-शून्य एन-विधि ω एक o ∈ Or(V) अभिविन्यास परिभाषित करता है। यह ऐसा है कि

$o(v_{1},\ldots ,v_{n})|\omega |(v_{1},\ldots ,v_{n})=\omega (v_{1},\ldots ,v_{n}),$

और इसके विपरीत, कोई भी o ∈ Or(V) और कोई घनत्व μ ∈ Vol(V) द्वारा V पर एक n-रूप ω परिभाषित करें

$\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})=o(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}).$

प्रदिश उत्पाद के संदर्भ में,

$\operatorname {Or} (V)\otimes \operatorname {Vol} (V)=\bigwedge ^{n}V^{*},\quad \operatorname {Vol} (V)=\operatorname {Or} (V)\otimes \bigwedge ^{n}V^{*}.$

सदिश स्थान पर s-घनत्व

V पर S-घनत्व कार्य μ : V × ... × V → R इस प्रकार हैं कि

$\mu (Av_{1},\ldots ,Av_{n})=\left|\det A\right|^{s}\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V).$

घनत्वों की तरह, S-घनत्व एक आयामी सदिश स्थल Vol^s(V) बनाते हैं, और V पर कोई भी n-रूप ω एक s-घनत्व |ω| V पर निम्न द्वारा परिभाषित करता है

$|\omega |^{s}(v_{1},\ldots ,v_{n}):=|\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})|^{s}.$

S1- और s2-घनत्व μ1 और μ2 का गुणनफल एक (s1+s2)-घनत्व μ निम्न द्वारा बनाता है

$\mu (v_{1},\ldots ,v_{n}):=\mu _{1}(v_{1},\ldots ,v_{n})\mu _{2}(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

प्रदिश गुणनफल के संदर्भ में इस तथ्य को इस प्रकार कहा जा सकता है

$\operatorname {Vol} ^{s_{1}}(V)\otimes \operatorname {Vol} ^{s_{2}}(V)=\operatorname {Vol} ^{s_{1}+s_{2}}(V).$

परिभाषा

औपचारिक रूप से, S-घनत्व समूह Vol^s(M) एक अलग करने योग्य बहुविध M एक संबद्ध समूह निर्माण द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो एक-आयामी समूह प्रतिनिधित्व को आपस में जोड़ता है

$\rho (A)=\left|\det A\right|^{-s},\quad A\in \operatorname {GL} (n)$

M के वृत्ति समूह के साथ सामान्य रैखिक समूह।

परिणामी रेखा समूह को S-घनत्व के समूह के रूप में जाना जाता है, और इसे निम्न द्वारा निरूपित किया जाता है

$\left|\Lambda \right|_{M}^{s}=\left|\Lambda \right|^{s}(TM).$

1-घनत्व को केवल घनत्व के रूप में भी संदर्भित किया जाता है।

अधिक सामान्यतः, संबंधित समूह निर्माण भी घनत्व को किसी भी सदिश समूह E से M पर निर्मित करने की अनुमति देता है।

विस्तार से, अगर (U_α,φ_α) M पर समन्वय तालिका का एक शीर्षधर (सांस्थिति) है, तो वहाँ $\left|\Lambda \right|_{M}^{s}$ का एक स्थानीय तुच्छीकरण जुड़ा हुआ है

$t_{\alpha }:\left|\Lambda \right|_{M}^{s}|_{U_{\alpha }}\to \phi _{\alpha }(U_{\alpha })\times \mathbb {R}$

विवृत आवरक U_α के अधीन जैसे कि संबद्ध GL(1)-सहचक्र संतुष्ट करती है

$t_{\alpha \beta }=\left|\det(d\phi _{\alpha }\circ d\phi _{\beta }^{-1})\right|^{-s}.$

एकीकरण

बहुविध पर अभिन्न के सिद्धांत में घनत्व एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वास्तव में, घनत्व की परिभाषा इस बात से प्रेरित होती है कि निर्देशांक के परिवर्तन के तहत माप dx कैसे बदलता है (Folland 1999, Section 11.4, pp. 361-362).

निर्देशांक तालिका U_α में समर्थित 1-घनत्व ƒ दिया गया है, अभिन्न को निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है

$\int _{U_{\alpha }}f=\int _{\phi _{\alpha }(U_{\alpha })}t_{\alpha }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{-1}d\mu$

जहां बाद का अभिन्न Rⁿ पर लेबेस्ग उपाय के संबंध में है। प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण के साथ 1-घनत्व के लिए परिवर्तन नियम विभिन्न समन्वय तालिका के अतिव्यापन पर संगतता सुनिश्चित करता है, और इसलिए सामान्य सघन समर्थन 1-घनत्व का अभिन्न अंग एकता तर्क के विभाजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार 1-घनत्व एक आयतन रूप की धारणा का एक सामान्यीकरण है जिसके लिए आवश्यक रूप से बहुविध उन्मुख या यहां तक ​​कि उन्मुख होने की आवश्यकता नहीं होती है। रैडॉन उपायों के वितरण (गणित) के वर्ग $|\Lambda |_{M}^{1}$ के रूप में सामान्यतः रिज़्ज़-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय का उपयोग करके एक सामान्य सिद्धांत विकसित किया जा सकता है।

1/P-घनत्व का सम्मुच्चय जैसे कि $|\phi |_{p}=\left(\int |\phi |^{p}\right)^{1/p}<\infty$ एक आदर्श रैखिक स्थान है जिसका पूरा होना $L^{p}(M)$ आंतरिक L^p m स्थल कहा जाता है|

अधिवेशन

कुछ क्षेत्रों में, विशेष रूप से अनुरूप ज्यामिति में, एक अलग भार सम्मेलन का उपयोग किया जाता है: S-घनत्व का समूह इसके स्थान पर वर्ण से जुड़ा होता है

$\rho (A)=\left|\det A\right|^{-s/n}.$

इस सम्मेलन के साथ, उदाहरण के लिए, कोई N-घनत्व (1-घनत्व के स्थान पर) को एकीकृत करता है। इसके अतिरिक्त इन फलनों में, एक अनुरूप मात्रिक की पहचान भार 2 के प्रदिश घनत्व के साथ की जाती है।

गुण

• $|\Lambda |_{M}^{-s}$ का दोहरा सदिश समूह $|\Lambda |_{M}^{s}$ है।
• प्रदिश घनत्व, प्रदिश समूह के साथ घनत्व समूह के प्रदिश उत्पाद के अनुभाग हैं।

संदर्भ

• Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20062-8.
• Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Second ed.), ISBN 978-0-471-31716-6, provides a brief discussion of densities in the last section.{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• Nicolaescu, Liviu I. (1996), Lectures on the geometry of manifolds, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-2836-1, MR 1435504
• Lee, John M (2003), Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag