स्पाइकर केंद्र

ज्यामिति में, स्पाइकर केंद्र समतल त्रिभुज से जुड़ा एक विशेष बिंदु है। इसे त्रिभुज की परिधि के द्रव्यमान के केंद्र के रूप में परिभाषित किया गया है। त्रिभुज का स्पाइकर केंद्र △ABC के आकार में एक सजातीय तार फ्रेम के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है △ABC. इस बिंदु का नाम 19वीं सदी के जर्मनी के ज्यामितिशास्त्रीय थिओडोर स्पाइकर के सम्मान में रखा गया है। स्पाइकर केंद्र एक त्रिभुज केंद्र है और इसे क्लार्क किम्बरलिंग के त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में बिंदु X (10) के रूप में सूचीबद्ध किया गया है।

स्थान

स्पाइकर सेंटर का निर्माण।

  Triangle △ABC

  Medial triangle △DEF of △ABC

  Angle bisectors of △DEF (concurrent at the Spieker center S)

  Inscribed circle of △DEF (Spieker circle of △ABC; centered at S)

किसी भी त्रिभुज के स्पाइकर केंद्र का पता लगाने के लिए निम्नलिखित परिणाम का उपयोग किया जा सकता है।: त्रिभुज का स्पाइकर केंद्र △ABC के औसत दर्जे के त्रिभुज का केंद्र है △ABC.

यानी का स्पाइकर केंद्र △ABC के मध्य त्रिकोण में खुदा हुआ वृत्त का केंद्र है △ABC. इस वृत्त को स्पाइकर वृत्त के नाम से जाना जाता है।

स्पाइकर केंद्र त्रिभुज के तीन क्लीवर (ज्यामिति) के चौराहे पर भी स्थित है △ABC. त्रिभुज का एक क्लीवर एक रेखा खंड है जो त्रिभुज के त्रिभुज के समद्विभाजक # क्षेत्रफल द्विभाजक और क्षेत्रफल-परिधि द्विभाजक है और तीन भुजाओं में से एक के मध्य बिंदु पर एक अंत बिंदु है। प्रत्येक क्लीवर में की सीमा के द्रव्यमान का केंद्र होता है △ABC, इसलिए तीन क्लीवर स्पाइकर सेंटर में मिलते हैं।

यह देखने के लिए कि औसत दर्जे का त्रिभुज का केंद्र क्लीवर के चौराहे बिंदु के साथ मेल खाता है, त्रिभुज के आकार में एक सजातीय वायरफ्रेम पर विचार करें △ABC लंबाई वाले रेखा खंडों के रूप में तीन तारों से मिलकर a, b, c. तार के फ्रेम का द्रव्यमान केंद्र द्रव्यमान के तीन कणों की प्रणाली के समान होता है a, b, c मध्यबिंदुओं पर रखा गया है D, E, F भुजाओं का BC, CA, AB. पर कणों के द्रव्यमान का केंद्र E और F बिंदु है P जो खंड को विभाजित करता है EF के अनुपात में c : b. रेखा DP का आंतरिक द्विभाजक है ∠D. तीन कण प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र इस प्रकार के आंतरिक द्विभाजक पर स्थित है ∠D. इसी तरह के तर्क बताते हैं कि तीन कण प्रणाली का केंद्र द्रव्यमान के आंतरिक द्विभाजक पर स्थित है ∠E और ∠F भी। यह इस प्रकार है कि तार फ्रेम के द्रव्यमान का केंद्र त्रिभुज के कोणों के आंतरिक द्विभाजकों की सहमति का बिंदु है △DEF , जो औसत दर्जे का त्रिभुज का केंद्र है △DEF .

गुण

त्रिभुज का स्पाइकर केंद्र त्रिभुज का दरार केंद्र है।

  Triangle △ABC

  Angle bisectors of △ABC (concurrent at the incenter I)

  Cleavers of △ABC (concurrent at the Spieker center S)

  Medial triangle △DEF of △ABC

  Inscribed circle of △DEF (Spieker circle of △ABC; centered at S)

होने देना S त्रिभुज का स्पाइकर केंद्र हो △ABC.

• के त्रिरेखीय निर्देशांक S हैं

$bc(b+c):ca(c+a):ab(a+b).$

• बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली (गणित)गणित) का S हैं

$b+c:c+a:a+b.$*S तीन बाह्यवृत्तों का शक्ति केंद्र (ज्यामिति) है।

• S त्रिभुज का क्लीवर (ज्यामिति) है △ABC *S अंतःकेंद्र के साथ संरेख है (I), केन्द्रक (G), और नागल बिंदु (N) त्रिकोण का △ABC. इसके अतिरिक्त,

$IS=SM,\quad IG=2\cdot GS,\quad MG=2\cdot IG.$

इस प्रकार उपयुक्त रूप से मापी गई और स्थित संख्या रेखा पर, I = 0, G = 2, S = 3, और M = 6.

• S कीपर्ट शांकवों पर स्थित है। S रेखाओं की सहमति का बिंदु है AX, BY, CZ कहाँ △XBC, △YCA, △ZAB समरूप, समद्विबाहु और त्रिभुज की भुजाओं पर समान रूप से स्थित त्रिभुज हैं △ABC आधार के रूप में, सामान्य आधार कोण वाले

$\theta =\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {A}{2}}\right)\tan \left({\frac {B}{2}}\right)\tan \left({\frac {C}{2}}\right)\right].$