पूर्णांक आव्यूह

गणित में, एक पूर्णांक मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) है जिसकी प्रविष्टियाँ सभी पूर्णांक हैं। उदाहरणों में बाइनरी मैट्रिक्स, शून्य मैट्रिक्स, लोगों का मैट्रिक्स, पहचान मैट्रिक्स और ग्राफ़ सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले आसन्न मैट्रिक्स, कई अन्य शामिल हैं। साहचर्य में पूर्णांक मैट्रिसेस का लगातार उपयोग होता है।

उदाहरण

$\left({\begin{array}{cccr}5&2&6&0\\4&7&3&8\\5&9&0&4\\3&1&0&\!\!\!-3\\9&0&2&1\end{array}}\right)$और $\left({\begin{array}{ccc}1&5&0\\0&9&2\\1&7&3\end{array}}\right)$

पूर्णांक मैट्रिसेस के दोनों उदाहरण हैं।

गुण

पूर्णांक मैट्रिसेस का व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स गैर-पूर्णांक मैट्रिक्स की तुलना में सामान्य रूप से अधिक संख्यात्मक रूप से स्थिर होता है। एक पूर्णांक मैट्रिक्स का निर्धारक स्वयं एक पूर्णांक होता है, इस प्रकार एक व्युत्क्रमणीय पूर्णांक मैट्रिक्स के निर्धारक का संख्यात्मक रूप से सबसे छोटा संभव परिमाण एक होता है, इसलिए जहां व्युत्क्रम मौजूद होते हैं वे अत्यधिक बड़े नहीं होते हैं (स्थिति संख्या देखें)। मैट्रिक्स (गणित) से प्रमेय जो निर्धारकों से गुणों का अनुमान लगाते हैं, इस प्रकार बीमार-वातानुकूलित मैट्रिक्स (लगभग शून्य निर्धारक) वास्तविक संख्या या तैरनेवाला स्थल वैल्यू मैट्रिसेस द्वारा प्रेरित जाल से बचते हैं।

एक पूर्णांक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम $M$ फिर से एक पूर्णांक मैट्रिक्स है अगर और केवल अगर का निर्धारक $M$ के बराबर होती है $1$ या $-1$. निर्धारक के पूर्णांक मैट्रिक्स $1$ समूह बनाना (गणित) $\mathrm {SL} _{n}(\mathbf {Z} )$, जिसके अंकगणित और ज्यामिति में दूरगामी अनुप्रयोग हैं। के लिए $n=2$, यह मॉड्यूलर समूह से निकटता से संबंधित है।

ऑर्थोगोनल समूह के साथ पूर्णांक मैट्रिसेस का प्रतिच्छेदन हस्ताक्षरित क्रमपरिवर्तन मैट्रिसेस का समूह है।

एक पूर्णांक मैट्रिक्स की विशेषता बहुपद में पूर्णांक गुणांक होते हैं। चूंकि एक मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​इस बहुपद के एक समारोह की जड़ हैं, एक पूर्णांक मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​बीजगणितीय पूर्णांक हैं। एबेल-रफ़िनी प्रमेय के आयाम में, वे इस प्रकार एनवें रूट द्वारा व्यक्त किए जा सकते हैं जिसमें पूर्णांक शामिल हैं।

पूर्णांक मैट्रिसेस को कभी-कभी इंटीग्रल मैट्रिसेस कहा जाता है, हालांकि इस प्रयोग को हतोत्साहित किया जाता है।

यह भी देखें

• जीसीडी मैट्रिक्स
• यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स
• विल्सन मैट्रिक्स

बाहरी संबंध

• Integer Matrix at MathWorld