लेंस (ज्यामिति)

For other uses, see Lens (optics).

त्रिज्या के दो वृत्ताकार चापों के बीच समाहित एक लेंस R, और केंद्र पर O₁ और O₂

2-आयामी ज्यामिति में, एक लेंस एक उत्तल सेट क्षेत्र होता है जो दो गोलाकार चापों से घिरा होता है जो उनके अंत बिंदुओं पर एक दूसरे से जुड़े होते हैं। इस आकृति के उत्तल होने के लिए, दोनों चापों को बाहर की ओर झुकना चाहिए (उत्तल-उत्तल)। यह आकार दो डिस्क (गणित) के प्रतिच्छेदन के रूप में बन सकता है। इसे दो वृत्ताकार खंडों (एक वृत्त की जीवा (ज्यामिति) और स्वयं वृत्त के बीच के क्षेत्र) के मिलन के रूप में भी बनाया जा सकता है, जो एक सामान्य जीवा के साथ जुड़ा हुआ है।

प्रकार

दो असममित लेंस (बाएं और दाएं) और एक सममित लेंस (बीच में) का उदाहरण

मूत्राशय मछली दो डिस्क (ज्यामिति) का एक ही त्रिज्या, आर, और केंद्रों के बीच की दूरी भी आर के बराबर है।

यदि एक लेंस के दो चापों की त्रिज्या समान है, तो इसे सममित लेंस कहा जाता है, अन्यथा एक असममित लेंस होता है।

वेसिका पिसिस एक सममित लेंस का एक रूप है, जो दो वृत्तों के चापों द्वारा निर्मित होता है, जिनके केंद्र विपरीत चाप पर स्थित होते हैं। चाप अपने अंतिम बिंदुओं पर 120° के कोण पर मिलते हैं।

क्षेत्र

सममित एक सममित लेंस के क्षेत्र को रेडियन में त्रिज्या R और चाप की लंबाई θ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$A=R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right).$

असममित उनके केंद्रों के बीच की दूरी d के साथ त्रिज्या R और r के वृत्तों से बने एक असममित लेंस का क्षेत्रफल है

$A=r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+R^{2}-r^{2}}{2dR}}\right)-2\Delta$

कहाँ

$\Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-d+r+R)(d-r+R)(d+r-R)(d+r+R)}}$

भुजा d, r, और R के साथ हीरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज है।

यदि दो वृत्त ओवरलैप करते हैं $d<r+R$. काफी बड़े के लिए $d$, समन्वय $x$ लेंस केंद्र का दो वृत्त केंद्रों के निर्देशांक के बीच स्थित है:

छोटे के लिए $d$ समन्वय $x$ लेंस केंद्र उस रेखा के बाहर स्थित होता है जो वृत्त केंद्रों को जोड़ती है:

वृत्त समीकरणों से y को हटाकर $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ और $(x-d)^{2}+y^{2}=R^{2}$ प्रतिच्छेदी रिम्स का भुज और कोटि है

$x=(d^{2}+r^{2}-R^{2})/(2d)$.

x का चिह्न, अर्थात, $d^{2}$ से बड़ा या छोटा होना $R^{2}-r^{2}$, छवियों में दिखाए गए दो मामलों को अलग करता है।

प्रतिच्छेदन का भुज और कोटि है

$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={\frac {\sqrt {[(R-d)^{2}-r^{2}][r^{2}-(R+d)^{2}]}}{2d}}$.

वर्गमूल के नीचे नकारात्मक मान इंगित करते हैं कि दो मंडलियों के किनारे स्पर्श नहीं करते हैं क्योंकि वृत्त बहुत दूर हैं या एक वृत्त दूसरे के भीतर पूरी तरह से स्थित है।

वर्गमूल के अंतर्गत मान d का द्विवर्गीय बहुपद है। इस बहुपद की चार जड़ें y = 0 और d के चार मानों के साथ जुड़ी हुई हैं, जहाँ दो वृत्तों में केवल एक बिंदु उभयनिष्ठ है।

भुजाओं d, r और R वाले नीले त्रिभुज में कोण हैं

$\sin a_{r}=y/r;\quad \sin a_{R}=y/R$

जहाँ y प्रतिच्छेदन की कोटि है। साथ आर्क्सिन की शाखा $a_{r}>\pi /2$ अगर लिया जाना है $d^{2}<R^{2}-r^{2}$.

त्रिभुज# त्रिभुज के त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना है $\Delta ={\frac {1}{2}}yd$.

असममित लेंस का क्षेत्रफल है $A=a_{r}r^{2}+a_{R}R^{2}-yd$, जहां दो कोणों को रेडियन में मापा जाता है। [यह समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का एक अनुप्रयोग है: केंद्रीय के साथ (0,0) और (डी, 0) पर केंद्रित दो परिपत्र क्षेत्र एंगल्स $2a_{r}$ और $2a_{R}$ क्षेत्र हैं $2a_{r}r^{2}$ और $2a_{R}R^{2}$. उनका संघ त्रिकोण को कवर करता है, (x, -y) पर कोने के साथ फ़्लिप किया हुआ त्रिकोण, और लेंस क्षेत्र से दोगुना।]

अनुप्रयोग

श्रीमती मिनिवर की समस्या का उत्तर भिन्न आकार वाला एक लेंस दो वृत्तों के मिलन के आधे क्षेत्रफल वाले लेंस को खोजने पर देता है।

लेंस का उपयोग बीटा कंकालों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जब भी दो बिंदुओं द्वारा निर्धारित लेंस खाली होता है, तो बिंदुओं के जोड़े को किनारे से जोड़कर बिंदुओं के एक सेट पर परिभाषित ज्यामितीय रेखांकन।

यह भी देखें

• सर्किल-सर्कल चौराहा
• लून (ज्यामिति), एक संबंधित गैर-उत्तल आकार जो दो गोलाकार चापों से बनता है, एक बाहर की ओर झुकता है और दूसरा अंदर की ओर
• नींबू (ज्यामिति), एक लेंस द्वारा बनाया गया है जो अपनी युक्तियों के माध्यम से एक अक्ष के चारों ओर घूमता है।

एक नींबू (ज्यामिति)।

संदर्भ

• Pedoe, D. (1995). "Circles: A Mathematical View, rev. ed". Washington, DC: Math. Assoc. Amer. MR 1349339.
• Plummer, H. (1960). An Introductory Treatise of Dynamical Astronomy. York: Dover. Bibcode:1960aitd.book.....P.
• Watson, G. N. (1966). A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press. MR 1349110.
• Fewell, M. P. (2006). "Area of common overlap of three circles". Defence Science and Technology Organisation. Archived from the original on March 3, 2022.
• Librion, Federico; Levorato, Marco; Zorzi, Michele (2012). "An algorithmic solution for computing circle intersection areas and its application to wireless communications". Wirel. Commun. Mobile Comput. 14 (18): 1672–1690. doi:10.1002/wcm.2305. S2CID 2828261.