सामान्य समन्वय परिवर्तनों की सूची
यह सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कुछ समन्वय परिवर्तनों की सूची है।
द्वि-आयामी मान लीजिए (x, y) मानक कार्तीय निर्देशांक हैं, और (r, θ) मानक ध्रुवीय निर्देशांक हैं।
=== कार्टेशियन निर्देशांक === के लिए
ध्रुवीय निर्देशांक से x = r cos θ y = r sin θ ∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = [ cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ] Jacobian = det ∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = r {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\[5pt]{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}\\[5pt]{\text{Jacobian}}=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&=r\end{aligned}}}
लॉग-पोलर निर्देशांक से x = e ρ cos θ , y = e ρ sin θ . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=e^{\rho }\cos \theta ,\\y&=e^{\rho }\sin \theta .\end{aligned}}} सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करके ( x , y ) = x + i y ′ {\displaystyle (x,y)=x+iy'}
x + i y = e ρ + i θ {\displaystyle x+iy=e^{\rho +i\theta }} यही है, यह जटिल घातीय कार्य द्वारा दिया जाता है।
द्विध्रुवी निर्देशांक से x = a sinh τ cosh τ − cos σ y = a sin σ cosh τ − cos σ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a{\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\\y&=a{\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\end{aligned}}}
2-केंद्र द्विध्रुवी निर्देशांक से x = 1 4 c ( r 1 2 − r 2 2 ) y = ± 1 4 c 16 c 2 r 1 2 − ( r 1 2 − r 2 2 + 4 c 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{4c}}\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\right)\\y&=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2}}}\end{aligned}}}
सिजेरो समीकरण से x = ∫ cos [ ∫ κ ( s ) d s ] d s y = ∫ sin [ ∫ κ ( s ) d s ] d s {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds\\y&=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds\end{aligned}}}
ध्रुवीय निर्देशांक के लिए कार्तीय निर्देशांक से r = x 2 + y 2 θ ′ = arctan | y x | {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta '&=\arctan \left|{\frac {y}{x}}\right|\end{aligned}}} नोट: के लिए हल करना θ ′ {\displaystyle \theta '} 0 < θ < π 2 {\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}} θ {\displaystyle \theta } θ {\displaystyle \theta } θ {\displaystyle \theta }
के लिए θ ′ {\displaystyle \theta '} θ = θ ′ {\displaystyle \theta =\theta '}
के लिए θ ′ {\displaystyle \theta '} θ = π − θ ′ {\displaystyle \theta =\pi -\theta '}
के लिए θ ′ {\displaystyle \theta '} θ = π + θ ′ {\displaystyle \theta =\pi +\theta '}
के लिए θ ′ {\displaystyle \theta '} θ = 2 π − θ ′ {\displaystyle \theta =2\pi -\theta '} के लिए मूल्य θ {\displaystyle \theta } θ {\displaystyle \theta } tan θ {\displaystyle \tan \theta } − π 2 < θ < + π 2 {\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <+{\frac {\pi }{2}}} π {\displaystyle \pi }
ध्यान दें कि कोई भी उपयोग कर सकता है
r = x 2 + y 2 θ ′ = 2 arctan y x + r {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta '&=2\arctan {\frac {y}{x+r}}\end{aligned}}}
2-केंद्र द्विध्रुवी निर्देशांक से r = r 1 2 + r 2 2 − 2 c 2 2 θ = arctan [ 8 c 2 ( r 1 2 + r 2 2 − 2 c 2 ) r 1 2 − r 2 2 − 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}\\\theta &=\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]\end{aligned}}} जहाँ 2c ध्रुवों के बीच की दूरी है।
=== कार्टेशियन निर्देशांक से लॉग-पोलर निर्देशांक === के लिए
ρ = log x 2 + y 2 , θ = arctan y x . {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {y}{x}}.\end{aligned}}}
चाप-लंबाई और वक्रता कार्तीय निर्देशांक में κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 2 s = ∫ a t x ′ 2 + y ′ 2 d t {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {x'y''-y'x''}{({x'}^{2}+{y'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\s&=\int _{a}^{t}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}\,dt\end{aligned}}}
ध्रुवीय निर्देशांक में κ = r 2 + 2 r ′ 2 − r r ″ ( r 2 + r ′ 2 ) 3 2 s = ∫ a φ r 2 + r ′ 2 d φ {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {r^{2}+2{r'}^{2}-rr''}{(r^{2}+{r'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\s&=\int _{a}^{\varphi }{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}}}\,d\varphi \end{aligned}}}
3-आयामी मान लीजिए (x, y, z) मानक कार्तीय निर्देशांक हैं, और (ρ, θ, φ) गोलीय निर्देशांक हैं, θ के कोण को +Z अक्ष से दूर मापा जाता है (जैसा विकि/File:3D_Spherical.svg , गोलीय निर्देशांक में परिपाटी देखें)। चूंकि φ की सीमा 360° होती है, ध्रुवीय (2 आयामी) निर्देशांकों में समान विचार तब लागू होते हैं जब इसकी एक चाप स्पर्शरेखा ली जाती है। θ की सीमा 180° है, जो 0° से 180° तक चलती है, और चापकोसाइन से परिकलित करने पर कोई समस्या उत्पन्न नहीं होती है, लेकिन चाप स्पर्शरेखा से सावधान रहें।
यदि, वैकल्पिक परिभाषा में, θ को -90° से +90° तक चलने के लिए चुना जाता है, तो पिछली परिभाषा के विपरीत दिशा में, इसे आर्क्सिन से विशिष्ट रूप से पाया जा सकता है, लेकिन आर्ककोटेजेंट से सावधान रहें। इस मामले में θ में सभी तर्कों के नीचे सभी सूत्रों में साइन और कोसाइन का आदान-प्रदान होना चाहिए, और व्युत्पन्न के रूप में प्लस और माइनस एक्सचेंज भी होना चाहिए।
मुख्य अक्षों में से एक के साथ दिशा होने के विशेष मामलों में शून्य परिणाम के सभी विभाजन और व्यवहार में अवलोकन द्वारा सबसे आसानी से हल किए जाते हैं।
कार्तीय निर्देशांक के लिए गोलाकार निर्देशांक से x = ρ sin θ cos φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos θ ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , θ , φ ) = ( sin θ cos φ ρ cos θ cos φ − ρ sin θ sin φ sin θ sin φ ρ cos θ sin φ ρ sin θ cos φ cos θ − ρ sin θ 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi \\y&=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi \\z&=\rho \,\cos \theta \\{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}&={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\end{aligned}}} तो मात्रा तत्व के लिए:
d x d y d z = det ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , θ , φ ) d ρ d θ d φ = ρ 2 sin θ d ρ d θ d φ {\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}d\rho \;d\theta \;d\varphi =\rho ^{2}\sin \theta \;d\rho \;d\theta \;d\varphi }
बेलनाकार निर्देशांक से x = r cos θ y = r sin θ z = z ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , z ) = ( cos θ − r sin θ 0 sin θ r cos θ 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=z\,\\{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}&={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}} तो मात्रा तत्व के लिए:
d V = d x d y d z = det ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , z ) d r d θ d z = r d r d θ d z {\displaystyle dV=dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}dr\;d\theta \;dz=r\;dr\;d\theta \;dz}
गोलाकार निर्देशांक के लिए कार्तीय निर्देशांक से ρ = x 2 + y 2 + z 2 θ = arctan ( x 2 + y 2 z ) = arccos ( z x 2 + y 2 + z 2 ) φ = arctan ( y x ) = arccos ( x x 2 + y 2 ) = arcsin ( y x 2 + y 2 ) ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( x , y , z ) = ( x ρ y ρ z ρ x z ρ 2 x 2 + y 2 y z ρ 2 x 2 + y 2 − x 2 + y 2 ρ 2 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)\\\varphi &=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)\\{\frac {\partial \left(\rho ,\theta ,\varphi \right)}{\partial \left(x,y,z\right)}}&={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\rho ^{2}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}} कुछ किनारे के मामलों को सुरुचिपूर्ण ढंग से कैसे संभालना है, इसके लिए atan2 पर लेख भी देखें।
तो तत्व के लिए:
d ρ d θ d φ = det ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( x , y , z ) d x d y d z = 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z {\displaystyle d\rho \ d\theta \ d\varphi =\det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}dx\ dy\ dz={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}dx\ dy\ dz}
बेलनाकार निर्देशांक से ρ = r 2 + h 2 θ = arctan r h φ = φ ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( r , h , φ ) = ( r r 2 + h 2 h r 2 + h 2 0 h r 2 + h 2 − r r 2 + h 2 0 0 0 1 ) det ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( r , h , φ ) = 1 r 2 + h 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {r}{h}}\\\varphi &=\varphi \\{\frac {\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (r,h,\varphi )}}&={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0\\{\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}&{\frac {-r}{r^{2}+h^{2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\\\det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (r,h,\varphi )}}&={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}\end{aligned}}}
बेलनाकार निर्देशांक के लिए कार्तीय निर्देशांक से r = x 2 + y 2 θ = arctan ( y x ) z = z {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arctan {\left({\frac {y}{x}}\right)}\\z&=z\quad \end{aligned}}} ∂ ( r , θ , h ) ∂ ( x , y , z ) = ( x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 0 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
गोलाकार निर्देशांक से r = ρ sin φ h = ρ cos φ θ = θ ∂ ( r , h , θ ) ∂ ( ρ , φ , θ ) = ( sin φ ρ cos φ 0 cos φ − ρ sin φ 0 0 0 1 ) det ∂ ( r , h , θ ) ∂ ( ρ , φ , θ ) = − ρ {\displaystyle {\begin{aligned}r&=\rho \sin \varphi \\h&=\rho \cos \varphi \\\theta &=\theta \\{\frac {\partial (r,h,\theta )}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}}&={\begin{pmatrix}\sin \varphi &\rho \cos \varphi &0\\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\\\det {\frac {\partial (r,h,\theta )}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}}&=-\rho \end{aligned}}}
कार्तीय निर्देशांक से चाप-लंबाई, वक्रता और मरोड़ s = ∫ 0 t x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 d t κ = ( z ″ y ′ − y ″ z ′ ) 2 + ( x ″ z ′ − z ″ x ′ ) 2 + ( y ″ x ′ − x ″ y ′ ) 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 2 τ = x ‴ ( y ′ z ″ − y ″ z ′ ) + y ‴ ( x ″ z ′ − x ′ z ″ ) + z ‴ ( x ′ y ″ − x ″ y ′ ) ( x ′ y ″ − x ″ y ′ ) 2 + ( x ″ z ′ − x ′ z ″ ) 2 + ( y ′ z ″ − y ″ z ′ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{0}^{t}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,dt\\[3pt]\kappa &={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\[3pt]\tau &={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''(x'y''-x''y')}{{(x'y''-x''y')}^{2}+{(x''z'-x'z'')}^{2}+{(y'z''-y''z')}^{2}}}\end{aligned}}}
यह भी देखें संदर्भ
