फॉक समष्टि

फॉक समष्टि एक बीजगणितीय निर्माण है जिसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में एक कण हिल्बर्ट समष्टि H से एक चर या अज्ञात संख्या के समान कणों के क्वांटम स्टेट्स समष्टि के निर्माण के लिए किया जाता है। इसका नाम वी। ए। फॉक के नाम पर रखा गया है जिन्होंने पहली बार इसे अपने 1932 के पेपर "कॉन्फ़िगरेशन्सरम" में पेश किया था। und zweite Quantelung" ("विन्यास स्थान और दूसरा परिमाणीकरण")।

अनौपचारिक रूप से, फॉक समष्टि शून्य कण राज्यों, एक कण राज्यों, दो कण राज्यों, और इसी तरह का प्रतिनिधित्व करने वाले हिल्बर्ट रिक्त स्थान के एक सेट का योग है। यदि समान कण बोसोन हैं, तो n-कण अवस्थाएँ n एकल-कण हिल्बर्ट रिक्त स्थान H के सममित टेन्सर उत्पाद में वैक्टर हैं। यदि समान कण फ़र्मियन हैं, तो n-कण अवस्थाएँ n एकल के एक एंटीसिमेट्रिक टेंसर उत्पाद में वैक्टर हैं। -पार्टिकल हिल्बर्ट समष्टि H (क्रमशः सममित बीजगणित और बाहरी बीजगणित देखें)। फॉक समष्टि में एक सामान्य स्थिति एन-पार्टिकल राज्यों का एक रैखिक संयोजन है जो प्रत्येक n के लिए एक है।

तकनीकी रूप से, फॉक समष्टि एक कण हिल्बर्ट समष्टि के हिल्बर्ट समष्टि के टेन्सर उत्पाद में सममित या एंटीसिमेट्रिक टेन्सर के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग (हिल्बर्ट समष्टि पूर्णता (मैट्रिक समष्टि)) है। H,

$$F_{\nu }(H)={\overline {\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}}}~.$$

यहाँ $S_{\nu }$ ऑपरेटर (भौतिकी) है जो हिल्बर्ट समष्टि बोस-आइंस्टीन आंकड़ों का पालन करने वाले कणों का वर्णन करता है या नहीं, इस पर निर्भर करता है कि समरूपता या एंटीसिमेट्रिक टेंसर $(\nu =+)$ या फर्मी-डिराक सांख्यिकी $(\nu =-)$ आँकड़े, और ओवरलाइन समष्टि के पूरा होने का प्रतिनिधित्व करता है। बोसोनिक (प्रतिक्रिया। फर्मीओनिक) फॉक समष्टि को वैकल्पिक रूप से सममित टेन्सर के रूप में (हिल्बर्ट समष्टि पूर्णता) के रूप में बनाया जा सकता है। $F_{+}(H)={\overline {S^{*}H}}$ (प्रतिक्रिया। बारी-बारी से टेंसर ${\textstyle F_{-}(H)={\overline {{\bigwedge }^{*}H}}}$). हर आधार के लिए H फॉक राज्य का प्राकृतिक आधार है, फॉक कहता है।

परिभाषा

फॉक समष्टि (हिल्बर्ट) एकल-कण हिल्बर्ट समष्टि की प्रतियों के टेंसर उत्पादों के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है $H$

$$F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \cdots$$

यहाँ $\mathbb {C}$, सम्मिश्र संख्या, बिना कणों वाले राज्यों से मिलकर बनती है, $H$ एक कण की स्थिति, $S_{\nu }(H\otimes H)$ दो समान कणों की अवस्था आदि।

में एक सामान्य स्थिति $F_{\nu }(H)$ द्वारा दिया गया है

$$|\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots$$

कहाँ

• $|0\rangle$ लंबाई 1 का एक सदिश है जिसे निर्वात अवस्था कहा जाता है और $a\in \mathbb {C}$ एक जटिल गुणांक है,
• $|\psi _{i}\rangle \in H$ एकल कण हिल्बर्ट समष्टि में एक राज्य है और $a_{i}\in \mathbb {C}$ एक जटिल गुणांक है,
• ${\textstyle |\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }=a_{ij}|\psi _{i}\rangle \otimes |\psi _{j}\rangle +a_{ji}|\psi _{j}\rangle \otimes |\psi _{i}\rangle \in S_{\nu }(H\otimes H)}$, और $a_{ij}=\nu a_{ji}\in \mathbb {C}$ एक जटिल गुणांक है, आदि।

इस अनंत राशि का अभिसरण महत्वपूर्ण है यदि $F_{\nu }(H)$ एक हिल्बर्ट स्थान होना है। तकनीकी रूप से हमें आवश्यकता है $F_{\nu }(H)$ बीजगणितीय प्रत्यक्ष योग का हिल्बर्ट स्थान पूरा होना। इसमें सभी अनंत टुपल्स होते हैं $|\Psi \rangle _{\nu }=(|\Psi _{0}\rangle _{\nu },|\Psi _{1}\rangle _{\nu },|\Psi _{2}\rangle _{\nu },\ldots )$ ऐसा है कि आंतरिक उत्पाद द्वारा परिभाषित मानदंड (गणित), परिमित है

$$\||\Psi \rangle _{\nu }\|_{\nu }^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }<\infty$$

जहां $n$ कण मानदंड द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }=\sum _{i_{1},\ldots i_{n},j_{1},\ldots j_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}^{*}a_{j_{1},\ldots ,j_{n}}\langle \psi _{i_{1}}|\psi _{j_{1}}\rangle \cdots \langle \psi _{i_{n}}|\psi _{j_{n}}\rangle$$

यानी, हिल्बर्ट समष्टि के टेंसर उत्पाद का प्रतिबंध $H^{\otimes n}$ दो सामान्य राज्यों के लिए

$$|\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots ,$$

और

$$|\Phi \rangle _{\nu }=|\Phi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =b|0\rangle \oplus \sum _{i}b_{i}|\phi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}b_{ij}|\phi _{i},\phi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots$$

आंतरिक उत्पाद चालू $F_{\nu }(H)$ तब के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\sum _{n}\langle \Psi _{n}|\Phi _{n}\rangle _{\nu }=a^{*}b+\sum _{ij}a_{i}^{*}b_{j}\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle +\sum _{ijkl}a_{ij}^{*}b_{kl}\langle \psi _{i}|\phi _{k}\rangle \langle \psi _{j}|\phi _{l}\rangle _{\nu }+\cdots$$

जहां हम प्रत्येक पर आंतरिक उत्पादों का उपयोग करते हैं $n$-कण हिल्बर्ट रिक्त स्थान। ध्यान दें कि, विशेष रूप से $n$ कण उप-स्थान अलग-अलग के लिए ऑर्थोगोनल हैं $n$.

उत्पाद की स्थिति, अप्रभेद्य कण, और फॉक समष्टि के लिए एक उपयोगी आधार

फॉक समष्टि की एक उत्पाद स्थिति फॉर्म की एक स्थिति है

$$|\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }=|\phi _{1}\rangle \otimes |\phi _{2}\rangle \otimes \cdots \otimes |\phi _{n}\rangle$$

जो एक संग्रह का वर्णन करता है $n$ कण, जिनमें से एक में क्वांटम अवस्था होती है $\phi _{1}$, एक और $\phi _{2}$ और इतने पर $n$वें कण, जहां प्रत्येक $\phi _{i}$ एकल कण हिल्बर्ट समष्टि से कोई भी राज्य है $H$. यहाँ संसर्ग (एकल कण केट को साथ-साथ लिखते हुए, बिना $\otimes$) सममित (प्रतिसममित) टेन्सर बीजगणित में सममित (उत्तर। एंटीसिमेट्रिक) गुणन है। फॉक समष्टि में सामान्य स्थिति उत्पाद राज्यों का एक रैखिक संयोजन है। एक राज्य जिसे उत्पाद राज्यों के उत्तल योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, उसे उलझा हुआ राज्य कहा जाता है।

जब हम अवस्था में एक कण की बात करते हैं $\phi _{i}$, हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि क्वांटम यांत्रिकी में समान कण समान कण होते हैं। एक ही फॉक समष्टि में, सभी कण समान होते हैं। (कणों की कई प्रजातियों का वर्णन करने के लिए, हम कई अलग-अलग फॉक स्थानों के टेन्सर उत्पाद लेते हैं क्योंकि विचाराधीन कणों की प्रजातियां हैं)। यह इस औपचारिकता की सबसे शक्तिशाली विशेषताओं में से एक है कि राज्य स्पष्ट रूप से ठीक से सममित हैं। उदाहरण के लिए, यदि उपरोक्त राज्य $|\Psi \rangle _{-}$ fermionic है, यह 0 होगा यदि दो (या अधिक)। $\phi _{i}$ समान हैं क्योंकि एंटीसिमेट्रिक बाहरी उत्पाद|(बाहरी) उत्पाद $|\phi _{i}\rangle |\phi _{i}\rangle =0$. यह पाउली बहिष्करण सिद्धांत का एक गणितीय सूत्रीकरण है कि कोई भी दो (या अधिक) फ़र्मियन एक ही क्वांटम अवस्था में नहीं हो सकते। वास्तव में, जब भी एक औपचारिक उत्पाद में शब्द रैखिक रूप से निर्भर होते हैं; उत्पाद एंटीसिमेट्रिक टेन्सर के लिए शून्य होगा। इसके अलावा, ऑर्थोनॉर्मल स्टेट्स का उत्पाद निर्माण द्वारा उचित रूप से ऑर्थोनॉर्मल है (हालांकि फर्मी मामले में संभवतः 0 जब दो राज्य समान होते हैं)।

फॉक समष्टि के लिए एक उपयोगी और सुविधाजनक आधार अधिभोग संख्या आधार है। एक आधार दिया $\{|\psi _{i}\rangle \}_{i=0,1,2,\dots }$ का $H$, हम राज्य को निरूपित कर सकते हैं $n_{0}$ राज्य में कण $|\psi _{0}\rangle$, $n_{1}$ राज्य में कण $|\psi _{1}\rangle$, ..., $n_{k}$ राज्य में कण $|\psi _{k}\rangle$, और परिभाषित करके शेष राज्यों में कोई कण नहीं

$$|n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}},$$

जहां प्रत्येक $n_{i}$ फेरमोनिक कणों के लिए मान 0 या 1 और बोसोनिक कणों के लिए 0, 1, 2, ... लेता है। ध्यान दें कि पिछली शून्य स्थिति को बदले बिना हटा दी जा सकती है। ऐसी अवस्था को फॉक अवस्था कहते हैं। जब $|\psi _{i}\rangle$ एक मुक्त क्षेत्र की स्थिर अवस्थाओं के रूप में समझा जाता है, फॉक राज्य निश्चित संख्या में गैर-अंतःक्रियात्मक कणों की एक असेंबली का वर्णन करते हैं। सबसे सामान्य फॉक अवस्था शुद्ध अवस्थाओं का एक रेखीय अध्यारोपण है।

महान महत्व के दो संचालक सृजन और विनाश संचालक हैं, जो फॉक राज्य पर कार्य करने पर क्रमशः आरोपित क्वांटम अवस्था में एक कण को ​​​​जोड़ते हैं या हटाते हैं। वे निरूपित हैं $a^{\dagger }(\phi )\,$ सृजन के लिए और $a(\phi )$विनाश के लिए क्रमशः। एक कण, क्वांटम स्थिति बनाने (जोड़ने) के लिए $|\phi \rangle$ सममित या बाहरी है - से गुणा किया जाता है $|\phi \rangle$; और क्रमशः एक कण को ​​मिटाने (हटाने) के लिए, एक (सम या विषम) आंतरिक उत्पाद के साथ लिया जाता है $\langle \phi |$, जो कि सम्मुख है $a^{\dagger }(\phi )$. के आधार पर राज्यों के साथ काम करना अक्सर सुविधाजनक होता है $H$ ताकि ये संकारक दिए गए आधार अवस्था में ठीक एक कण को ​​हटा दें और जोड़ दें। ये ऑपरेटर फॉक समष्टि पर काम करने वाले अधिक सामान्य ऑपरेटरों के लिए जनरेटर के रूप में भी काम करते हैं, उदाहरण के लिए नंबर ऑपरेटर एक विशिष्ट स्थिति में कणों की संख्या देता है $|\phi _{i}\rangle$ है $a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})$.

वेव फ़ंक्शन व्याख्या

अक्सर एक कण स्थान $H$ के रूप में दिया जाता है $L_{2}(X,\mu )$, एक स्थान पर वर्ग-अभिन्न कार्यों का स्थान $X$ माप के साथ (गणित) $\mu$ (सख्ती से बोलना, वर्ग समाकलनीय कार्यों के तुल्यता वर्ग जहां कार्य समतुल्य होते हैं यदि वे एक शून्य सेट पर भिन्न होते हैं)। विशिष्ट उदाहरण मुक्त कण है $H=L_{2}(\mathbb {R} ^{3},d^{3}x)$ त्रि-आयामी समष्टि पर स्क्वायर इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस का स्थान। फॉक रिक्त स्थान के रूप में निम्नानुसार सममित या विरोधी सममित वर्ग पूर्णांक कार्यों के रूप में प्राकृतिक व्याख्या होती है।

होने देना $X^{0}=\{*\}$ और $X^{1}=X$, $X^{2}=X\times X$, $X^{3}=X\times X\times X$, वगैरह। बिंदुओं के गुच्छों के स्थान पर विचार करें जो कि असम्बद्ध संघ है

$$X^{*}=X^{0}\bigsqcup X^{1}\bigsqcup X^{2}\bigsqcup X^{3}\bigsqcup \cdots .$$

इसका एक प्राकृतिक पैमाना है $\mu ^{*}$ ऐसा है कि $\mu ^{*}(X^{0})=1$ और का प्रतिबंध $\mu ^{*}$ को $X^{n}$ है $\mu ^{n}$. यहां तक ​​कि फॉक समष्टि $F_{+}(L_{2}(X,\mu ))$ में सममित कार्यों के स्थान के साथ पहचाना जा सकता है $L_{2}(X^{*},\mu ^{*})$ जबकि विषम फॉक समष्टि $F_{-}(L_{2}(X,\mu ))$ विरोधी सममित कार्यों के स्थान के साथ पहचाना जा सकता है। पहचान सीधे आइसोमेट्री मैपिंग से होती है

$$L_{2}(X,\mu )^{\otimes n}\to L_{2}(X^{n},\mu ^{n})$$

$$\psi _{1}(x)\otimes \cdots \otimes \psi _{n}(x)\mapsto \psi _{1}(x_{1})\cdots \psi _{n}(x_{n})$$

.

दिए गए तरंग कार्य $\psi _{1}=\psi _{1}(x),\ldots ,\psi _{n}=\psi _{n}(x)$, स्लेटर निर्धारक

$$\Psi (x_{1},\ldots x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}(x_{1})&\cdots &\psi _{n}(x_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{1}(x_{n})&\cdots &\psi _{n}(x_{n})\\\end{vmatrix}}$$

पर एक एंटीसिमेट्रिक फ़ंक्शन है $X^{n}$. इस प्रकार इसे स्वाभाविक रूप से के एक तत्व के रूप में व्याख्या किया जा सकता है $n$विषम फॉक स्थान का -कण क्षेत्र। सामान्यीकरण इस तरह चुना जाता है $\|\Psi \|=1$ यदि कार्य करता है $\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}$ ऑर्थोनॉर्मल हैं। एक समान स्लेटर स्थायी है जिसमें निर्धारक को स्थायी (गणित) से बदल दिया जाता है जो तत्व देता है $n$सम Fock समष्टि का क्षेत्र।

सेगल-बार्गमैन समष्टि से संबंध

सेगल-बर्गमैन समष्टि को परिभाषित करें $B_{N}$ गाऊसी माप के संबंध में जटिल होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन का वर्ग-अभिन्नीकरण:

$${\mathcal {F}}^{2}\left(\mathbb {C} ^{N}\right)=\left\{f\colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} \mid \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}<\infty \right\},$$

कहाँ

$$\Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}:=\int _{\mathbb {C} ^{n}}\vert f(\mathbf {z} )\vert ^{2}e^{-\pi \vert \mathbf {z} \vert ^{2}}\,d\mathbf {z} .$$

फिर एक स्थान को परिभाषित करना $B_{\infty }$ रिक्त स्थान के नेस्टेड संघ के रूप में $B_{N}$ पूर्णांकों पर $N\geq 0$, सहगल और बर्गमैन ने दिखाया वह $B_{\infty }$ एक बोसोनिक फॉक समष्टि के लिए आइसोमोर्फिक है। मोनोमियल

$$x_{1}^{n_{1}}...x_{k}^{n_{k}}$$

फॉक राज्य से मेल खाता है

$$|n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}}.$$

यह भी देखें

• फॉक अवस्था
• प्रदिश बीजगणित
• पूर्णसममितिक फॉक समष्टि
• निर्माण और विनाश संचालक
• स्लेटर सारणिक
• विक प्रमेय
• गैर अनुमेय ज्यामिति
• बृहत् विहित समुच्चय, फॉक अवस्था पर ऊष्मीय वितरण

बाहरी संबंध

• Feynman diagrams and Wick products associated with q-Fock space - noncommutative analysis, Edward G. Effros and Mihai Popa, Department of Mathematics, UCLA
• R. Geroch, Mathematical Physics, Chicago University Press, Chapter 21.