आरेख (श्रेणी सिद्धांत)

श्रेणी सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, आरेख सेट सिद्धांत में एक अनुक्रमित परिवार का स्पष्ट अनुरूप है। प्राथमिक अंतर यह है कि श्रेणीबद्ध सेटिंग में एक रूपवाद होता है जिसे अनुक्रमण की भी आवश्यकता होती है। सेट का एक अनुक्रमित परिवार सेट का एक संग्रह है, जो एक निश्चित सेट द्वारा अनुक्रमित होता है; समतुल्य, एक फ़ंक्शन एक निश्चित इंडेक्स सेट से सेट्स की कक्षा में। एक आरेख वस्तुओं और morphisms का संग्रह है, जो एक निश्चित श्रेणी द्वारा अनुक्रमित होता है; समतुल्य, एक निश्चित सूचकांक श्रेणी से कुछ श्रेणी के लिए एक फ़ंक्टर।

आरेख का सार्वभौम फलक विकर्ण फलक है; इसका संलग्न फलक रेखाचित्र की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) है और इसका बायां संलग्न कोलिमिट है। विकर्ण फ़ैक्टर से कुछ मनमाने आरेख में प्राकृतिक परिवर्तन को शंकु (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है।

हालांकि, तकनीकी रूप से, व्यक्तिगत आरेख और फ़ंक्टर या योजना और श्रेणी के बीच कोई अंतर नहीं है, शब्दावली में परिवर्तन परिप्रेक्ष्य में बदलाव को दर्शाता है, ठीक वैसे ही जैसे सेट थ्योरिटिक मामले में: एक सूचकांक श्रेणी को ठीक करता है, और अनुमति देता है फ़ंक्टर (और, दूसरी बात, लक्ष्य श्रेणी) अलग-अलग करने के लिए।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, श्रेणी (गणित) सी में जे प्रकार का आरेख एक ([[ऑपरेटरों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण]]) फंक्‍टर है।

D : J → C.

श्रेणी J को आरेख D की 'सूचकांक श्रेणी' या 'स्कीम' कहा जाता है; फ़ैक्टर को कभी-कभी 'जे-आकार का आरेख' कहा जाता है। जे में वास्तविक वस्तुएं और आकारिकी काफी हद तक अप्रासंगिक हैं; केवल जिस तरह से वे परस्पर संबंधित हैं। आरेख D को J पर प्रतिरूपित C में वस्तुओं और आकारिकी के संग्रह को अनुक्रमित करने के बारे में सोचा गया है।

हालांकि, तकनीकी रूप से, व्यक्तिगत आरेख और फ़ंक्टर या योजना और श्रेणी के बीच कोई अंतर नहीं है, शब्दावली में परिवर्तन परिप्रेक्ष्य में बदलाव को दर्शाता है, ठीक वैसे ही जैसे सेट थ्योरिटिक मामले में: एक सूचकांक श्रेणी को ठीक करता है, और अनुमति देता है फ़ंक्टर (और, दूसरी बात, लक्ष्य श्रेणी) अलग-अलग करने के लिए।

किसी को अक्सर उस मामले में दिलचस्पी होती है जहां योजना जे एक छोटी श्रेणी या यहां तक ​​कि परिमित सेट श्रेणी है। एक आरेख को 'छोटा' या 'परिमित' कहा जाता है जब भी J होता है।

श्रेणी सी में टाइप जे के आरेखों का एक रूपवाद, फ़ैक्टरों के बीच एक प्राकृतिक परिवर्तन है। इसके बाद C में टाइप J के 'आरेखों की श्रेणी' की व्याख्या फ़ंक्टर श्रेणी C के रूप में की जा सकती है^J, और आरेख तब इस श्रेणी में एक वस्तु है।

उदाहरण

• सी में किसी भी वस्तु ए को देखते हुए, किसी के पास 'निरंतर आरेख' होता है, जो आरेख है जो जे से ए में सभी वस्तुओं को मानचित्रित करता है, और जे के सभी रूपों को ए पर पहचान रूपवाद के लिए दर्शाता है। सांकेतिक रूप से, एक अक्सर निरूपित करने के लिए एक अंडरबार का उपयोग करता है निरंतर आरेख: इस प्रकार, किसी भी वस्तु के लिए $A$ सी में, एक निरंतर आरेख है ${\underline {A}}$.
• यदि J एक (छोटी) असतत श्रेणी है, तो प्रकार J का आरेख अनिवार्य रूप से C में वस्तुओं का एक अनुक्रमित परिवार है (J द्वारा अनुक्रमित)। जब सीमा (श्रेणी सिद्धांत) के निर्माण में उपयोग किया जाता है, तो परिणाम उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) होता है; कोलिमिट के लिए, किसी को उत्पाद मिलता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, जब J दो वस्तुओं के साथ असतत श्रेणी है, परिणामी सीमा केवल बाइनरी उत्पाद है।
• यदि J = −1 ← 0 → +1, तो प्रकार J (A ← B → C) का आरेख एक स्पैन (श्रेणी सिद्धांत) है, और इसकी कोलिमिट एक पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) है। यदि कोई यह भूल जाए कि आरेख में वस्तु B और दो तीर B → A, B → C हैं, तो परिणामी आरेख केवल दो वस्तुओं A और C के साथ असतत श्रेणी होगी, और कोलिमिट केवल बाइनरी सहउत्पाद होगा। इस प्रकार, यह उदाहरण एक महत्वपूर्ण तरीका दिखाता है जिसमें आरेख का विचार सेट सिद्धांत में सेट इंडेक्स के सामान्यीकरण करता है: आकारिकी बी → ए, बी → सी को शामिल करके, आरेख से निर्मित निर्माण में अतिरिक्त संरचना की खोज करता है, संरचना जो स्पष्ट नहीं होगा अगर किसी के पास इंडेक्स में वस्तुओं के बीच कोई संबंध नहीं होने के साथ केवल एक सूचकांक सेट होता है।
• उपरोक्त के लिए दोहरी (श्रेणी सिद्धांत), यदि जे = -1 → 0 ← +1, तो टाइप जे (ए → बी ← सी) का एक आरेख एक cospan है, और इसकी सीमा एक पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) है।
• अनुक्रमणिका $J=0\rightrightarrows 1$ दो समानांतर रूपक कहा जाता है, या कभी-कभी मुक्त तरकश या चलने वाला तरकश। प्रकार का आरेख $J$ $(f,g\colon X\to Y)$ तो एक तरकश (गणित) है; इसकी सीमा एक तुल्यकारक (गणित) है, और इसकी कोलिमिट एक तुल्यकारक है।
• यदि J एक पोसेट श्रेणी है, तो प्रकार J का आरेख वस्तुओं का एक परिवार D है_i एक साथ एक अद्वितीय आकारिकी f के साथ_ij : डी_i → डी_j जब भी मैं ≤ जे। यदि जे निर्देशित सेट है तो टाइप जे के आरेख को वस्तुओं और आकारिकी की प्रत्यक्ष प्रणाली (गणित) कहा जाता है। यदि आरेख प्रतिपरिवर्ती फलनकार है तो इसे व्युत्क्रम प्रणाली कहा जाता है।

शंकु और सीमा

आरेख D के शीर्ष N के साथ एक शंकु (श्रेणी सिद्धांत) : J → C स्थिर आरेख Δ(N) से D तक एक आकारिकी है। एन पर पहचान रूपवाद के लिए हर आकृतिवाद।

एक आरेख डी की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) डी के लिए एक सार्वभौमिक शंकु है। यानी, एक शंकु जिसके माध्यम से अन्य सभी शंकु विशिष्ट रूप से कारक हैं। यदि टाइप जे के सभी आरेखों के लिए श्रेणी सी में सीमा मौजूद है तो एक फ़ैक्टर प्राप्त होता है

lim : C^J → C

जो प्रत्येक आरेख को उसकी सीमा तक भेजता है।

दोहरी रूप से, आरेख डी का कोलिमिट डी से एक सार्वभौमिक शंकु है। यदि टाइप जे के सभी आरेखों के लिए कोलिमिट मौजूद है तो एक मज़ेदार

colim : C^J → C

जो प्रत्येक आरेख को उसके कोलिमिट में भेजता है।

क्रमविनिमेय आरेख

Main article: Commutative diagram

डायग्राम और फ़ंक्टर श्रेणियों को अक्सर कम्यूटेटिव डायग्राम द्वारा देखा जाता है, खासकर अगर इंडेक्स श्रेणी कुछ तत्वों के साथ एक परिमित पोसेट श्रेणी है: एक इंडेक्स श्रेणी में प्रत्येक वस्तु के लिए एक नोड के साथ एक कम्यूटेटिव डायग्राम बनाता है, और एक morphisms के उत्पन्न सेट के लिए एक तीर , पहचान मानचित्रों और आकारिकी को छोड़ कर जिन्हें रचनाओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। क्रमविनिमेयता पॉसेट श्रेणी में दो वस्तुओं के बीच एक मानचित्र की विशिष्टता से मेल खाती है। इसके विपरीत, प्रत्येक क्रमविनिमेय आरेख इस तरह एक आरेख (पॉसेट इंडेक्स श्रेणी से एक फ़ंक्टर) का प्रतिनिधित्व करता है।

हर डायग्राम कम्यूट नहीं होता है, क्योंकि हर इंडेक्स कैटेगरी पॉसेट कैटेगरी नहीं होती है: सबसे सरल रूप से, एंडोमोर्फिज्म के साथ एक वस्तु का आरेख ($f\colon X\to X$), या दो समानांतर तीरों के साथ ($\bullet \rightrightarrows \bullet$; $f,g\colon X\to Y$) आवागमन की आवश्यकता नहीं है। इसके अलावा, आरेख बनाना असंभव हो सकता है (क्योंकि वे अनंत हैं) या बस गड़बड़ हो सकते हैं (क्योंकि बहुत अधिक वस्तुएं या आकारिकी हैं); हालांकि, ऐसे जटिल आरेखों को स्पष्ट करने के लिए योजनाबद्ध क्रमविनिमेय आरेख (सूचकांक श्रेणी की उपश्रेणियों के लिए, या दीर्घवृत्त के साथ, जैसे कि एक निर्देशित प्रणाली के लिए) का उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

• विकर्ण फ़ैक्टर
• डायरेक्ट सिस्टम (गणित)
• उलटा तंत्र

संदर्भ

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).
• Barr, Michael; Wells, Charles (2002). Toposes, Triples and Theories (PDF). ISBN 0-387-96115-1. Revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).
• diagram at the nLab

बाहरी संबंध

• Diagram Chasing at MathWorld
• WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, commutative diagrams, categories, functors, natural transformations.