काल्पनिक समय

काल्पनिक समय समय का एक गणितीय प्रतिनिधित्व है जो विशेष सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी के कुछ दृष्टिकोणों में प्रकट होता है। यह क्वांटम यांत्रिकी को सांख्यिकीय यांत्रिकी और कुछ ब्रह्माण्ड विज्ञान सिद्धांतों से जोड़ने में उपयोग करता है।

गणितीय रूप से, काल्पनिक समय वास्तविक समय है जो एक बाती का घूमना से गुजरा है ताकि इसके निर्देशांक काल्पनिक इकाई i से गुणा हो जाएं। काल्पनिक समय इस अर्थ में काल्पनिक नहीं है कि यह अवास्तविक या बना-बनाया है (कहने के अलावा, अपरिमेय संख्याएँ तर्क को धता बताती हैं), यह केवल गणितज्ञों द्वारा काल्पनिक संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है।

उत्पत्ति

गणित में, काल्पनिक इकाई $i$ का वर्गमूल है $-1$, ऐसा है कि $i^{2}$ होना परिभाषित किया गया है $-1$. एक संख्या जो का प्रत्यक्ष गुणक है $i$ एक काल्पनिक संख्या के रूप में जाना जाता है।

कुछ भौतिक सिद्धांतों में, समय की अवधि को गुणा किया जाता है $i$ इस प्रकार से। गणितीय रूप से, एक काल्पनिक समय अवधि ${\textstyle \tau }$ वास्तविक समय से प्राप्त किया जा सकता है ${\textstyle t}$ द्वारा एक बाती रोटेशन के माध्यम से ${\textstyle \pi /2}$ जटिल विमान में: ${\textstyle \tau =it}$.

स्टीफन हॉकिंग ने अपनी पुस्तक संक्षेप में ब्रह्मांड में काल्पनिक समय की अवधारणा को लोकप्रिय बनाया।

"One might think this means that imaginary numbers are just a mathematical game having nothing to do with the real world. From the viewpoint of positivist philosophy, however, one cannot determine what is real. All one can do is find which mathematical models describe the universe we live in. It turns out that a mathematical model involving imaginary time predicts not only effects we have already observed but also effects we have not been able to measure yet nevertheless believe in for other reasons. So what is real and what is imaginary? Is the distinction just in our minds?"

— Stephen Hawking

वास्तव में, संख्याओं के लिए वास्तविक संख्या और काल्पनिक संख्या केवल एक ऐतिहासिक दुर्घटना है, बहुत कुछ परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या की तरह:

"...the words real and imaginary are picturesque relics of an age when the nature of complex numbers was not properly understood."

— H.S.M. Coxeter

ब्रह्माण्ड विज्ञान में

व्युत्पत्ति

सापेक्षता के सिद्धांत द्वारा अपनाए गए [[मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष समय ]] मॉडल में, स्पेसटाइम को चार आयामी सतह या कई गुना के रूप में दर्शाया गया है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दूरी के चार-आयामी समतुल्य को अंतरिक्ष-समय अंतराल कहा जाता है। यह मानते हुए कि एक विशिष्ट समय अवधि को वास्तविक संख्या के रूप में उसी तरह दर्शाया जाता है जैसे अंतरिक्ष में दूरी, एक अंतराल $d$ सापेक्षतावादी स्पेसटाइम में सामान्य सूत्र द्वारा दिया जाता है लेकिन समय के साथ नकारात्मक:

$$d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}$$

कहाँ $x$, $y$ और $z$ प्रत्येक स्थानिक अक्ष के साथ दूरी हैं और $t$ समय अक्ष के साथ समय या दूरी की अवधि है (सख्ती से, समय समन्वय है $(ct)^{2}$ कहाँ $c$ प्रकाश की गति है, हालाँकि हम पारंपरिक रूप से ऐसी इकाइयाँ चुनते हैं $c=1$).

गणितीय रूप से यह लेखन के बराबर है

$$d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+(it)^{2}$$

इस संदर्भ में, $i$ या तो ऊपर के रूप में अंतरिक्ष और वास्तविक समय के बीच संबंध की एक विशेषता के रूप में स्वीकार किया जा सकता है, या इसे वैकल्पिक रूप से समय में ही शामिल किया जा सकता है, जैसे कि समय का मूल्य स्वयं एक काल्पनिक संख्या है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है $\tau$. फिर समीकरण को सामान्यीकृत रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

$$d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\tau ^{2}$$

इसी प्रकार इसके चार सदिश तब इस प्रकार लिखे जा सकते हैं

$$(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})$$

जहाँ दूरियों को निरूपित किया जाता है $x_{n}$, और $x_{0}=ict$ कहाँ $c$ प्रकाश की गति है और समय काल्पनिक है।

ब्रह्मांड विज्ञान के लिए आवेदन

हॉकिंग ने 1971 में कुछ स्थितियों में एक काल्पनिक मीट्रिक में समय अंतराल को घुमाने की उपयोगिता को नोट किया। [[भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान]] में, काल्पनिक समय को ब्रह्मांड के कुछ मॉडलों में शामिल किया जा सकता है जो सामान्य सापेक्षता के समीकरणों के समाधान हैं। विशेष रूप से, काल्पनिक समय गुरुत्वीय विलक्षणताओं को सुचारू करने में मदद कर सकता है, जहां ज्ञात भौतिक नियम टूट जाते हैं, विलक्षणता को दूर करने और इस तरह के टूटने से बचने के लिए (हार्टल-हॉकिंग राज्य देखें)। उदाहरण के लिए, महा विस्फोट सामान्य समय में [[गुरुत्वाकर्षण विलक्षणता]] के रूप में प्रकट होता है, लेकिन जब काल्पनिक समय के साथ मॉडलिंग की जाती है, तो विलक्षणता को हटाया जा सकता है और बिग बैंग चार-आयामी स्पेसटाइम में किसी अन्य बिंदु की तरह कार्य करता है। स्पेसटाइम के लिए कोई भी सीमा विलक्षणता का एक रूप है, जहां स्पेसटाइम की सहज प्रकृति टूट जाती है। इस तरह की सभी विलक्षणताओं को ब्रह्मांड से हटा दिए जाने के बाद, इसकी कोई सीमा नहीं हो सकती है और स्टीफन हॉकिंग ने अनुमान लगाया कि ब्रह्मांड के लिए सीमा शर्त यह है कि इसकी कोई सीमा नहीं है।

हालांकि, वास्तविक भौतिक समय और ऐसे मॉडलों में शामिल काल्पनिक समय के बीच संबंध की अप्रमाणित प्रकृति ने आलोचनाएं बढ़ा दी हैं। रोजर पेनरोज़ ने नोट किया है कि बिग बैंग के काल्पनिक समय के साथ Riemannian_manifold#Riemannian_metrics (अक्सर इस संदर्भ में यूक्लिडियन_मेट्रिक के रूप में संदर्भित) से एक छद्म-Riemannian_manifold #Lorentzian_manifold वास्तविक समय के साथ विकसित ब्रह्मांड के लिए एक संक्रमण होने की आवश्यकता है। इसके अलावा, आधुनिक अवलोकनों से पता चलता है कि ब्रह्मांड खुला है और कभी भी एक बड़ी कमी के रूप में वापस नहीं आएगा। अगर यह सच साबित होता है, तो समय की सीमा अभी भी बनी हुई है।

क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी में

सांख्यिकीय यांत्रिकी के समीकरणों के फूरियर रूपांतरण को लेकर क्वांटम क्षेत्र के समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं। चूंकि किसी फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण आमतौर पर इसके व्युत्क्रम के रूप में दिखाई देता है, सांख्यिकीय यांत्रिकी के बिंदु कण, फूरियर रूपांतरण के तहत, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के असीम रूप से विस्तारित क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर्स बन जाते हैं। निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थितियों या सीमा शर्तों के साथ एक डोमेन पर परिभाषित एक अमानवीय रैखिक अंतर ऑपरेटर का ग्रीन का कार्य, इसकी आवेग_(भौतिकी) प्रतिक्रिया है, और गणितीय रूप से हम सांख्यिकीय यांत्रिकी के बिंदु कणों को डिराक डेल्टा कार्यों के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसे आवेग कहना है . एक सीमित तापमान पर $T$, ग्रीन के कार्यों की अवधि के साथ काल्पनिक समय में आवधिक कार्य हैं ${\textstyle 2\beta =2/T}$. इसलिए, उनके फूरियर रूपांतरणों में मत्सुबारा आवृत्ति नामक आवृत्तियों का केवल एक असतत सेट होता है।

संक्रमण आयाम में सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के बीच संबंध भी देखा जाता है ${\textstyle \langle F\mid e^{-itH}\mid I\rangle }$ एक प्रारंभिक अवस्था के बीच I और एक अंतिम स्थितिF, कहाँ H उस प्रणाली का हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है। इसकी तुलना विभाजन समारोह (क्वांटम फील्ड थ्योरी) से करें ${\textstyle Z=\operatorname {Tr} e^{-\beta H}}$ दिखाता है कि विभाजन फ़ंक्शन प्रतिस्थापन द्वारा संक्रमण आयाम से प्राप्त किया जा सकता है ${\textstyle t=\beta /i}$, सेटिंग F = I = n और योग समाप्त करें n. यह सांख्यिकीय गुणों और संक्रमण आयामों दोनों का मूल्यांकन करके दो बार काम करने की आवश्यकता से बचा जाता है।

अंत में, एक विक रोटेशन का उपयोग करके कोई भी दिखा सकता है कि यूक्लिडियन क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (डी + 1) -डिमेंशनल स्पेसटाइम डी-डायमेंशनल स्पेस में क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी के अलावा और कुछ नहीं है।

यह भी देखें

• यूक्लिडियन क्वांटम गुरुत्व
• एकाधिक समय आयाम

अग्रिम पठन

• Hawking, Stephen W. (1998). A Brief History of Time (in English) (Tenth Anniversary Commemorative ed.). Bantam Books. p. 157. ISBN 978-0-553-10953-5.
• Gerald D. Mahan. Many-Particle Physics, Chapter 3
• A. Zee Quantum field theory in a nutshell, Chapter V.2

बाहरी संबंध

• The Beginning of Time — Lecture by Stephen Hawking which discusses imaginary time.
• Stephen Hawking's Universe: Strange Stuff Explained — PBS site on imaginary time.