ध्रुवीय अपघटन

गणित में, एक वर्ग वास्तविक संख्या या जटिल संख्या मैट्रिक्स (गणित) का ध्रुवीय अपघटन $A$ प्रपत्र का एक मैट्रिक्स अपघटन है $A=UP$, कहाँ $U$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है और $P$ एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित सममित मैट्रिक्स है ($U$ एक एकात्मक मैट्रिक्स है और $P$ एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स है | जटिल मामले में सकारात्मक अर्ध-निश्चित हर्मिटियन मैट्रिक्स), वर्ग और समान आकार दोनों। सहज रूप से, अगर एक वास्तविक $n\times n$ आव्यूह $A$ के रैखिक परिवर्तन के रूप में व्याख्या की जाती है $n$-आयामी कार्तीय स्थान $\mathbb {R} ^{n}$, ध्रुवीय अपघटन इसे घूर्णन (ज्यामिति) या प्रतिबिंब (ज्यामिति) में अलग करता है $U$ का $\mathbb {R} ^{n}$, और एक सेट के साथ अंतरिक्ष का एक स्केलिंग (ज्यामिति)। $n$ ऑर्थोगोनल कुल्हाड़ियों।

एक वर्ग मैट्रिक्स का ध्रुवीय अपघटन $A$ हमेशा मौजूद है। अगर $A$ व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स है, अपघटन अद्वितीय है, और कारक है $P$ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स होगा|सकारात्मक-निश्चित। उस मामले में, $A$ रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है $A=Ue^{X}$, कहाँ $U$ एकात्मक है और $X$ मैट्रिक्स के एक मैट्रिक्स का अद्वितीय स्व-संलग्न लघुगणक है $P$. यह अपघटन (मैट्रिक्स) झूठ समूहों के मौलिक समूह की गणना करने में उपयोगी है। ध्रुवीय अपघटन को इस रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है $A=P'U$ कहाँ $P'=UPU^{-1}$ के रूप में एक ही eigenvalues ​​​​के साथ एक सममित सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है $P$ लेकिन विभिन्न eigenvectors।

एक मैट्रिक्स के ध्रुवीय अपघटन को जटिल संख्या के मैट्रिक्स एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है#एक जटिल संख्या के ध्रुवीय रूप $z$ जैसा $z=ur$, कहाँ $r$ इसका पूर्ण मूल्य है # जटिल संख्याएं (एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या), और $u$ इकाई मानदंड (वृत्त समूह का एक तत्व) के साथ एक सम्मिश्र संख्या है।

मानहानि $A=UP$ आयताकार मेट्रिसेस तक बढ़ाया जा सकता है $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ आवश्यकता से $U\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ अर्ध-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स होना | सेमी-यूनिटरी मैट्रिक्स और $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ सकारात्मक-अर्ध-परिमित हर्मिटियन मैट्रिक्स होना। अपघटन हमेशा मौजूद है और $P$ हमेशा अनूठा होता है। गणित का सवाल $U$ अद्वितीय है अगर और केवल अगर $A$ पूरी रैंक है।

सहज व्याख्या

एक वास्तविक वर्ग $m\times m$ आव्यूह $A$ के रैखिक परिवर्तन के रूप में व्याख्या की जा सकती है $\mathbb {R} ^{m}$ जो एक कॉलम वेक्टर लेता है $x$ को $Ax$. फिर, ध्रुवीय अपघटन में $A=RP$, कारण $R$ एक $m\times m$ वास्तविक ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स। ध्रुवीय अपघटन तब द्वारा परिभाषित रैखिक परिवर्तन को व्यक्त करने के रूप में देखा जा सकता है $A$ अंतरिक्ष के स्केलिंग (ज्यामिति) में $\mathbb {R} ^{m}$ प्रत्येक eigenvector के साथ $e_{i}$ का $A$ पैमाने कारक द्वारा $\sigma _{i}$ (की क्रिया $P$), जिसके बाद एक ही घुमाव या प्रतिबिंब होता है $\mathbb {R} ^{m}$ (की क्रिया $R$).

वैकल्पिक रूप से, अपघटन $A=PR$ द्वारा परिभाषित परिवर्तन को व्यक्त करता है $A$ रोटेशन के रूप में ($R$) एक स्केलिंग के बाद ($P$) कुछ ऑर्थोगोनल दिशाओं के साथ। पैमाना कारक समान हैं, लेकिन दिशाएं अलग हैं।

गुण

जटिल संयुग्म का ध्रुवीय अपघटन $A$ द्वारा दिया गया है ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}.$ ध्यान दें कि

$$\det A=\det U\det P=e^{i\theta }r$$

ए के निर्धारक के संगत ध्रुवीय अपघटन देता है, क्योंकि $\det U=e^{i\theta }$ और $\det P=r=\left|\det A\right|$. विशेष रूप से, अगर $A$ निर्धारक 1 है तो दोनों $U$ और $P$ निर्धारक 1 है।

सकारात्मक-अर्ध-परिमित मैट्रिक्स P हमेशा अद्वितीय होता है, भले ही A एकवचन मैट्रिक्स हो, और इसे इस रूप में निरूपित किया जाता है

$$P=\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},$$

कहाँ $A^{*}$ के संयुग्मी स्थानान्तरण को दर्शाता है $A$. पी की विशिष्टता यह सुनिश्चित करती है कि यह अभिव्यक्ति अच्छी तरह से परिभाषित है। विशिष्टता इस तथ्य से गारंटी है कि $A^{*}A$ एक सकारात्मक-अर्ध-सीमित हर्मिटियन मैट्रिक्स है और इसलिए, एक मैट्रिक्स का एक अद्वितीय सकारात्मक-अर्ध-अर्ध-सीमित हर्मिटियन वर्गमूल है। यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो P धनात्मक-निश्चित है, इस प्रकार भी व्युत्क्रमणीय है और मैट्रिक्स U विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है

$$U=AP^{-1}.$$

एसवीडी से संबंध

एकवचन मूल्य अपघटन (एसवीडी) के संदर्भ में $A$, $A=W\Sigma V^{*}$, किसी के पास

$${\begin{aligned}P&=V\Sigma V^{*}\\U&=WV^{*}\end{aligned}}$$

कहाँ $U$, $V$, और $W$ एकात्मक मैट्रिसेस हैं (यदि क्षेत्र वास्तविक है तो ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस कहा जाता है $\mathbb {R}$). इससे इस बात की पुष्टि होती है $P$ सकारात्मक-निश्चित है और $U$ एकात्मक है। इस प्रकार, एसवीडी का अस्तित्व ध्रुवीय अपघटन के अस्तित्व के बराबर है।

कोई विघटित भी हो सकता है $A$ प्रपत्र में

$$A=P'U$$

यहाँ $U$ पहले जैसा ही है और $P'$ द्वारा दिया गया है

$$P'=UPU^{-1}=\left(AA^{*}\right)^{\frac {1}{2}}=W\Sigma W^{*}.$$

इसे बाएं ध्रुवीय अपघटन के रूप में जाना जाता है, जबकि पिछले अपघटन को सही ध्रुवीय अपघटन के रूप में जाना जाता है। वाम ध्रुवीय अपघटन को विपरीत ध्रुवीय अपघटन के रूप में भी जाना जाता है।

वर्ग उलटा वास्तविक मैट्रिक्स का ध्रुवीय अपघटन $A$ स्वरूप का है

$$A=|A|R$$

कहाँ $|A|=\left(AA^{\textsf {T}}\right)^{\frac {1}{2}}$ एक सकारात्मक-अर्ध-परिमित मैट्रिक्स है | सकारात्मक-निश्चित हर्मिटियन मैट्रिक्स और $R=|A|^{-1}A$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है।

सामान्य मैट्रिसेस से संबंध

गणित का सवाल $A$ ध्रुवीय अपघटन के साथ $A=UP$ सामान्य मैट्रिक्स है अगर और केवल $U$ और $P$ कम्यूटिंग मेट्रिसेस: $UP=PU$, या समकक्ष रूप से, वे विकर्णीय मैट्रिक्स # एक साथ विकर्णकरण हैं।

निर्माण और अस्तित्व के प्रमाण

ध्रुवीय अपघटन के निर्माण के पीछे मुख्य विचार वही है जो एकवचन-मूल्य अपघटन की गणना के लिए उपयोग किया जाता है।

सामान्य मैट्रिक्स के लिए व्युत्पत्ति

अगर $A$ सामान्य मैट्रिक्स है, तो यह एक विकर्ण मैट्रिक्स के समान रूप से समतुल्य है: $A=V\Lambda V^{*}$ कुछ एकात्मक मैट्रिक्स के लिए $V$ और कुछ विकर्ण मैट्रिक्स $\Lambda$. यह इसके ध्रुवीय अपघटन की व्युत्पत्ति को विशेष रूप से सीधा बनाता है, जैसा कि हम तब लिख सकते हैं

$$A=V\Phi _{\Lambda }|\Lambda |V^{*}=\underbrace {\left(V\Phi _{\Lambda }V^{*}\right)} _{\equiv U}\underbrace {\left(V|\Lambda |V^{*}\right)} _{\equiv P},$$

कहाँ $\Phi _{\Lambda }$ के तत्वों के चरणों से युक्त एक विकर्ण मैट्रिक्स है $\Lambda$, वह है, $(\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|$ कब $\Lambda _{ii}\neq 0$, और $(\Phi _{\Lambda })_{ii}=0$ कब $\Lambda _{ii}=0$.

ध्रुवीय अपघटन इस प्रकार है $A=UP$, साथ $U$ और $P$ के ईजेनबेसिस में विकर्ण $A$ और उन के चरणों और पूर्ण मूल्यों के बराबर eigenvalues ​​​​होना $A$, क्रमश।

व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के लिए

एकवचन-मूल्य अपघटन से, यह दिखाया जा सकता है कि एक मैट्रिक्स $A$ उलटा है अगर और केवल अगर $A^{*}A$ (समान रूप से, $AA^{*}$) है। इसके अलावा, यह सच है अगर और केवल अगर के eigenvalues $A^{*}A$ सभी शून्य नहीं हैं। इस मामले में, ध्रुवीय अपघटन सीधे लिखकर प्राप्त किया जाता है

$$A=A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},$$

और वह देख रहा है $A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ एकात्मक है। इसे देखने के लिए, हम के वर्णक्रमीय अपघटन का फायदा उठा सकते हैं $A^{*}A$ लिखना $A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}$.

इस अभिव्यक्ति में, $V^{*}$ एकात्मक है क्योंकि $V$ है। वो भी दिखाने के लिए $AVD^{-{\frac {1}{2}}}$ एकात्मक है, हम लिखने के लिए एकवचन-मूल्य अपघटन का उपयोग कर सकते हैं $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$, ताकि

$$AVD^{-{\frac {1}{2}}}=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}VD^{-{\frac {1}{2}}}=W,$$

फिर कहाँ $W$ निर्माण द्वारा एकात्मक है।

की एकता को प्रत्यक्ष रूप से दर्शाने का एक और तरीका $A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ यह ध्यान रखना है कि, का एकवचन-मूल्य अपघटन लिखना $A$ रैंक -1 मैट्रिसेस के संदर्भ में ${\textstyle A=\sum _{k}s_{k}v_{k}w_{k}^{*}}$, कहाँ $s_{k}$के विलक्षण मूल्य हैं $A$, अपने पास

$$A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left(\sum _{j}\lambda _{j}v_{j}w_{j}^{*}\right)\left(\sum _{k}|\lambda _{k}|^{-1}w_{k}w_{k}^{*}\right)=\sum _{k}{\frac {\lambda _{k}}{|\lambda _{k}|}}v_{k}w_{k}^{*},$$
 जिसका सीधा तात्पर्य एकता से है $A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ क्योंकि एक मैट्रिक्स एकात्मक है अगर और केवल अगर इसके एकवचन मूल्यों में एकात्मक निरपेक्ष मूल्य है।

ध्यान दें कि कैसे, उपरोक्त निर्माण से, यह इस प्रकार है कि एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के ध्रुवीय अपघटन में एकात्मक मैट्रिक्स विशिष्ट रूप से परिभाषित है।

सामान्य व्युत्पत्ति

एक चुकता मैट्रिक्स का एसवीडी $A$ पढ़ता $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$, साथ $W,V$ एकात्मक मैट्रिक्स, और $D$ एक विकर्ण, सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स। बस की एक अतिरिक्त जोड़ी डालने से $W$एस या $V$एस, हम ध्रुवीय अपघटन के दो रूपों को प्राप्त करते हैं $A$:

$$A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}=\underbrace {\left(WD^{\frac {1}{2}}W^{*}\right)} _{P}\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}=\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}\underbrace {\left(VD^{\frac {1}{2}}V^{*}\right)} _{P'}.$$

अधिक सामान्यतः, यदि $A$ कुछ आयताकार है $n\times m$ मैट्रिक्स, इसके एसवीडी के रूप में लिखा जा सकता है $A=WD^{1/2}V^{*}$ कहाँ हैं $W$ और $V$ आयामों के साथ आइसोमेट्री हैं $n\times r$ और $m\times r$, क्रमशः, कहाँ $r\equiv \operatorname {rank} (A)$, और $D$ आयामों के साथ फिर से एक विकर्ण सकारात्मक अर्ध-निश्चित वर्ग मैट्रिक्स है $r\times r$. अब हम लिखने के लिए उपरोक्त समीकरण में उपयोग किए गए समान तर्क को लागू कर सकते हैं $A=PU=UP'$, पर अब $U\equiv WV^{*}$ सामान्य एकात्मक नहीं है। फिर भी, $U$ के समान समर्थन और सीमा है $A$, और यह संतुष्ट करता है $U^{*}U=VV^{*}$ और $UU^{*}=WW^{*}$. यह बनाता है $U$ एक आइसोमेट्री में जब इसकी क्रिया के समर्थन पर प्रतिबंधित होती है $A$, अर्थात् इसका अर्थ है $U$ आंशिक आइसोमेट्री है।

इस अधिक सामान्य मामले के स्पष्ट उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित मैट्रिक्स के एसवीडी पर विचार करें:

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\2&-2\\0&0\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}} _{\equiv W}\underbrace {\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\0&{\sqrt {8}}\end{pmatrix}} _{\sqrt {D}}\underbrace {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}} _{V^{\dagger }}.$$

हमारे पास तब है

$$WV^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\0&0\end{pmatrix}}$$

जो एक आइसोमेट्री है, लेकिन एकात्मक नहीं है। दूसरी ओर, अगर हम के अपघटन पर विचार करें

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$$

हम देखतें है

$$WV^{\dagger }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$$

जो आंशिक आइसोमेट्री है (लेकिन आइसोमेट्री नहीं)।

== हिल्बर्ट अंतरिक्ष == पर बंधे हुए ऑपरेटर जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच किसी भी बंधे हुए रैखिक ऑपरेटर ए का ध्रुवीय अपघटन एक आंशिक आइसोमेट्री और एक गैर-नकारात्मक ऑपरेटर के उत्पाद के रूप में एक विहित गुणनखंड है।

मेट्रिसेस के लिए ध्रुवीय अपघटन निम्नानुसार सामान्य करता है: यदि ए एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है तो उत्पाद ए = यूपी जहां यू के रूप में ए का एक अनूठा गुणनखंड है। एक आंशिक आइसोमेट्री है, पी एक गैर-नकारात्मक स्व-आसन्न संकारक है और यू का प्रारंभिक स्थान पी की सीमा का बंद होना है।

ऑपरेटर 'यू' को निम्नलिखित मुद्दों के कारण एकात्मक के बजाय आंशिक आइसोमेट्री के लिए कमजोर होना चाहिए। अगर ए शिफ्ट ऑपरेटर है|'एल' पर एकतरफा शिफ्ट²(एन), फिर |ए| = {ए^*A}^1/2 = I. तो यदि A = U |A|, U को A होना चाहिए, जो एकात्मक नहीं है।

ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व डगलस लेम्मा का परिणाम है:

Lemma — If A, B are bounded operators on a Hilbert space H, and A^*A ≤ B^*B, then there exists a contraction C such that A = CB. Furthermore, C is unique if Ker(B^*) ⊂ Ker(C).

संकारक C को C(Bh) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है := H में सभी h के लिए आह, Ran(B) के बंद होने तक निरंतरता द्वारा विस्तारित, और सभी H के ऑर्थोगोनल पूरक पर शून्य द्वारा। लेम्मा तब A के बाद से अनुसरण करता है।^*ए ≤ बी^*B का तात्पर्य Ker(B) ⊂ Ker(A) से है।

विशेष रूप से। यदि एक^*ए = बी^*बी, तो सी आंशिक आइसोमेट्री है, जो अद्वितीय है यदि केर (बी^*) ⊂ केर (सी)। सामान्य तौर पर, किसी भी बाध्य ऑपरेटर ए के लिए,

$$A^{*}A=\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}}\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},$$

जहाँ एक^*ए)^1/2 A का अद्वितीय धनात्मक वर्गमूल है^* सामान्य क्रियात्मक कलन द्वारा दिया गया। तो लेम्मा द्वारा, हमारे पास है

$$A=U\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}}$$

कुछ आंशिक आइसोमेट्री यू के लिए, जो अद्वितीय है यदि केर (ए^*) ⊂ केर (यू)। P को लीजिए (A^*ए)^1/2 और एक ध्रुवीय अपघटन A = UP प्राप्त करता है। ध्यान दें कि A = P'U दिखाने के लिए एक समरूप तर्क का उपयोग किया जा सकता है', जहां P' धनात्मक है और U' आंशिक आइसोमेट्री।

जब एच परिमित-आयामी है, तो यू को एकात्मक ऑपरेटर तक बढ़ाया जा सकता है; यह सामान्य रूप से सत्य नहीं है (उपरोक्त उदाहरण देखें)। वैकल्पिक रूप से, ध्रुवीय अपघटन हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर एकवचन मूल्य अपघटन # बाउंडेड ऑपरेटरों के ऑपरेटर संस्करण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

निरंतर कार्यात्मक कैलकुस की संपत्ति से, |ए| ए द्वारा उत्पन्न सी*-बीजगणित में है। आंशिक आइसोमेट्री के लिए एक समान लेकिन कमजोर बयान लागू होता है: यू ए द्वारा उत्पन्न वॉन न्यूमैन बीजगणित में है। यदि ए व्युत्क्रमणीय है, तो ध्रुवीय भाग यू सी*-बीजगणित में होगा भी।

असीमित ऑपरेटर

यदि ए जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच एक बंद, घनी परिभाषित असीमित ऑपरेटर है तो इसमें अभी भी एक (अद्वितीय) 'ध्रुवीय अपघटन' है

$$A=U|A|$$

जहां |ए| ए के समान डोमेन के साथ एक (संभवतः अबाधित) गैर-नकारात्मक स्वयं संलग्न ऑपरेटर है, और यू एक आंशिक आइसोमेट्री है जो रैन (| ए |) श्रेणी के ऑर्थोगोनल पूरक पर लुप्त हो रहा है।

सबूत उपरोक्त के समान लेम्मा का उपयोग करता है, जो सामान्य रूप से असीमित ऑपरेटरों के लिए जाता है। अगर डोम (ए{{sup|*}ए) = डोम (बी^* बी) और ए^* आह = बी^*बीएच सबके लिए एच ∈ डोम (ए^*ए), तो एक आंशिक आइसोमेट्री यू मौजूद है जैसे कि ए = यूबी। यू अद्वितीय है अगर रैन (बी)^⊥ ⊂ केर (यू)। ऑपरेटर ए बंद होने और घनी परिभाषित होने से यह सुनिश्चित होता है कि ऑपरेटर ए^*ए स्व-संबद्ध है (घने डोमेन के साथ) और इसलिए किसी को परिभाषित करने की अनुमति देता है (ए^*ए)^1/2. लेम्मा लगाने से ध्रुवीय अपघटन होता है।

यदि एक असीमित ऑपरेटर ए वॉन न्यूमैन बीजगणित 'एम' के लिए संबद्ध ऑपरेटर है, और ए = यूपी इसका ध्रुवीय अपघटन है, तो यू 'एम' में है और इसी तरह पी, 1 का वर्णक्रमीय प्रक्षेपण है_B(पी), किसी भी बोरेल सेट बी के लिए [0, ∞).

चतुष्कोणीय ध्रुवीय अपघटन

चतुष्कोणों H का ध्रुवीय अपघटन इकाई 2-आयामी क्षेत्र पर निर्भर करता है $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ चतुष्कोण का#-1 का वर्गमूल। इस क्षेत्र पर किसी भी आर को देखते हुए, और एक कोण −π < a ≤ π, छंद $e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ एच के यूनिट 3-क्षेत्र पर है। ए = 0 और ए = π के लिए, छंद 1 या -1 है, चाहे जो भी आर चुना गया हो। मानदंड (गणित) t एक चतुष्कोण q का मूल से q तक यूक्लिडियन दूरी है। जब एक चतुष्कोण केवल एक वास्तविक संख्या नहीं है, तो एक अद्वितीय ध्रुवीय अपघटन होता है $q=te^{ar}.$

वैकल्पिक प्लानर अपघटन

कार्तीय तल में, वैकल्पिक तलीय वलय (गणित) अपघटन निम्नानुसार उत्पन्न होते हैं:

• If x ≠ 0, z = x(1 + ε(y/x)) is a polar decomposition of a dual number z = x + yε, where ε² = 0; i.e., ε is nilpotent. In this polar decomposition, the unit circle has been replaced by the line x = 1, the polar angle by the slope y/x, and the radius x is negative in the left half-plane.
• If x² ≠ y², then the unit hyperbola x² − y² = 1 and its conjugate x² − y² = −1 can be used to form a polar decomposition based on the branch of the unit hyperbola through (1, 0). This branch is parametrized by the hyperbolic angle a and is written
  $$\cosh(a)+j\ \sinh(a)=\exp(aj)=e^{aj}$$
  where j² = +1 and the arithmetic of split-complex numbers is used. The branch through (−1, 0) is traced by −e^aj. Since the operation of multiplying by j reflects a point across the line y = x, the second hyperbola has branches traced by je^aj or −je^aj. Therefore a point in one of the quadrants has a polar decomposition in one of the forms:
  $$re^{aj},-re^{aj},rje^{aj},-rje^{aj},\quad r>0$$
  The set { 1, −1, j, −j } has products that make it isomorphic to the Klein four-group. Evidently polar decomposition in this case involves an element from that group.

मैट्रिक्स ध्रुवीय अपघटन का संख्यात्मक निर्धारण

ध्रुवीय अपघटन A = UP के सन्निकटन की गणना करने के लिए, आमतौर पर एकात्मक कारक U का अनुमान लगाया जाता है।पुनरावृति 1 के वर्गमूल के लिए हीरोन की विधि पर आधारित है और से प्रारंभ करते हुए इसकी गणना करता है $U_{0}=A$, क्रम

$$U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(U_{k}+\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$$

व्युत्क्रम और हर्मिट संयुग्मन के संयोजन को चुना जाता है ताकि एकवचन मूल्य अपघटन में, एकात्मक कारक समान रहें और पुनरावृत्ति एकवचन मूल्यों पर हीरोन की विधि को कम कर दे।

प्रक्रिया को गति देने के लिए इस मूल पुनरावृत्ति को परिष्कृत किया जा सकता है:

• Every step or in regular intervals, the range of the singular values of $U_{k}$ is estimated and then the matrix is rescaled to $\gamma _{k}U_{k}$ to center the singular values around 1. The scaling factor $\gamma _{k}$ is computed using matrix norms of the matrix and its inverse. Examples of such scale estimates are:
  $$\gamma _{k}={\sqrt[{4}]{\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{1}\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{\infty }}{\left\|U_{k}\right\|_{1}\left\|U_{k}\right\|_{\infty }}}}$$
  using the row-sum and column-sum matrix norms or
  $$\gamma _{k}={\sqrt {\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{F}}{\left\|U_{k}\right\|_{F}}}}$$
  using the Frobenius norm. Including the scale factor, the iteration is now
  $$U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(\gamma _{k}U_{k}+{\frac {1}{\gamma _{k}}}\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$$
• The QR decomposition can be used in a preparation step to reduce a singular matrix A to a smaller regular matrix, and inside every step to speed up the computation of the inverse.
• Heron's method for computing roots of $x^{2}-1=0$ can be replaced by higher order methods, for instance based on Halley's method of third order, resulting in
  $$U_{k+1}=U_{k}\left(I+3U_{k}^{*}U_{k}\right)^{-1}\left(3I+U_{k}^{*}U_{k}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$$
  This iteration can again be combined with rescaling. This particular formula has the benefit that it is also applicable to singular or rectangular matrices A.

यह भी देखें

• कार्टन अपघटन
• मैट्रिक्स अपघटन#बीजगणितीय ध्रुवीय अपघटन
• जटिल माप#एक जटिल माप और ध्रुवीय अपघटन की भिन्नता
• झूठ समूह अपघटन

संदर्भ

• Conway, J.B.: A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer 1990
• Douglas, R.G.: On Majorization, Factorization, and Range Inclusion of Operators on Hilbert Space. Proc. Amer. Math. Soc. 17, 413-415 (1966)
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7