पियरपोंट प्राइम

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पियरपोंट प्राइम
Named afterJames Pierpont
No. of known termsThousands
Conjectured no. of termsInfinite
Subsequence ofPierpont number
First terms2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889
Largest known term2 × 310,852,677  + 1
OEIS indexA005109

संख्या सिद्धांत में, पियरपॉन्ट प्राइम फॉर्म की प्रमुख संख्या है

कुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए u और v. अर्थात् वे अभाज्य संख्याएँ हैं p जिसके लिए p − 1 चिकनी संख्या है|3-चिकनी। उनका नाम गणितज्ञ जेम्स पियरपोंट (गणितज्ञ) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें उन नियमित बहुभुजों को चिह्नित करने के लिए इस्तेमाल किया था जिन्हें शंकु वर्गों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। वही लक्षण वर्णन उन बहुभुजों पर लागू होता है जिनका निर्माण रूलर, कम्पास और कोण त्रिखंड का उपयोग करके या पेपर फोल्डिंग के गणित का उपयोग करके किया जा सकता है।

2 और फर्मेट प्राइम्स को छोड़कर, प्रत्येक पियरपोंट प्राइम 1 मॉड्यूलो 6 होना चाहिए। पहले कुछ पियरपोंट प्राइम्स हैं:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329, ... (sequence A005109 in the OEIS)

यह अनुमान लगाया गया है कि असीम रूप से कई पियरपोंट अभाज्य हैं, लेकिन यह अप्रमाणित है।

वितरण

Unsolved problem in mathematics:

Are there infinitely many Pierpont primes?

पियरपोंट प्राइम के साथ v = 0 रूप का है , और इसलिए फर्मेट प्राइम है (जब तक u = 0). अगर v तब धनात्मक संख्या है u भी सकारात्मक होना चाहिए (क्योंकि 2 से अधिक सम संख्या होगी और इसलिए अभाज्य नहीं है), और इसलिए गैर-फर्मेट पियरपोंट अभाज्य सभी का रूप है 6k + 1, कब k धनात्मक पूर्णांक है (2 को छोड़कर, जब u = v = 0).

छोटे पियरपोंट अभाज्यों के लिए घातांकों का वितरण

अनुभवजन्य रूप से, पियरपोंट प्राइम्स विशेष रूप से दुर्लभ या दुर्लभ रूप से वितरित नहीं लगते हैं; 10 से कम 42 पियरपोंट प्राइम्स हैं6, 10 से 65 कम9, 157 10 से कम20, और 795 10 से कम100. पियरपोंट प्राइम्स पर बीजगणितीय कारकों से कुछ प्रतिबंध हैं, इसलिए मेर्सन प्रीमियम कंडीशन जैसी कोई आवश्यकता नहीं है कि एक्सपोनेंट प्राइम होना चाहिए। इस प्रकार, यह उम्मीद की जाती है कि बीच n-सही रूप की अंकों की संख्या , इनमें से जो अंश प्रधान हैं, उनके समानुपाती होना चाहिए 1/n, सभी के बीच अभाज्य संख्याओं के अनुपात के समान अनुपात n-अंकीय संख्याएँ।

जैसे वहां है इस श्रेणी में सही रूप की संख्याएँ होनी चाहिए पियरपोंट प्राइम्स।

एंड्रयू एम। ग्लीसन ने इस तर्क को स्पष्ट किया, अनुमान है कि असीम रूप से कई पियरपोंट अभाज्य हैं, और अधिक विशेष रूप से कि लगभग होना चाहिए 9n पियरपोंट तक प्राइम करता है 10n.[1] ग्लीसन के अनुमान के अनुसार हैं छोटे अनुमानित संख्या के विपरीत पियरपोंट प्राइम एन से छोटा है Mersenne primes की उस सीमा में।

प्राथमिक परीक्षण

कब , प्रोथ संख्या है और इस प्रकार प्रोथ के प्रमेय द्वारा इसकी मौलिकता का परीक्षण किया जा सकता है। वहीं, जब के लिए वैकल्पिक प्रारंभिक परीक्षण के गुणनखंडन के आधार पर संभव हैं छोटी सम संख्या के रूप में 3 की बड़ी शक्ति से गुणा किया जाता है।[2]


== पियरपोंट प्राइम फ़र्मेट संख्या == के कारकों के रूप में पाए जाते हैं

फ़र्मेट संख्या के कारकों के लिए चल रही विश्वव्यापी खोज के हिस्से के रूप में, कुछ पियरपोंट प्राइम्स को कारकों के रूप में घोषित किया गया है। निम्न तालिका[3] एम, के, और एन के मान देता है जैसे कि

is divisible by

बाईं ओर फर्मेट संख्या है; दाईं ओर पियरपोंट प्राइम है।

m k n Year Discoverer
38 1 41 1903 Cullen, Cunningham & Western
63 2 67 1956 Robinson
207 1 209 1956 Robinson
452 3 455 1956 Robinson
9428 2 9431 1983 Keller
12185 4 12189 1993 Dubner
28281 4 28285 1996 Taura
157167 1 157169 1995 Young
213319 1 213321 1996 Young
303088 1 303093 1998 Young
382447 1 382449 1999 Cosgrave & Gallot
461076 1 461081 2003 Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
495728 5 495732 2007 Keiser, Jobling, Penné & Fougeron
672005 3 672007 2005 Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
2145351 1 2145353 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2478782 1 2478785 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2543548 2 2543551 2011 Brown, Reynolds, Penné & Fougeron

As of 2023, सबसे बड़ा ज्ञात पियरपॉन्ट प्राइम 2 × 3 है10852677  + 1 (5,178,044 दशमलव अंक), जिसकी मौलिकता जनवरी 2023 में खोजी गई थी।[4]


बहुभुज निर्माण

पेपर फ़ोल्डिंग के गणित में, हुज़िता-होतोरी स्वयंसिद्ध सात प्रकार के फ़ोल्ड में से छह को परिभाषित करते हैं। यह दिखाया गया है कि ये तह किसी भी घन समीकरण को हल करने वाले बिंदुओं के निर्माण की अनुमति देने के लिए पर्याप्त हैं।[5] यह इस प्रकार है कि वे किसी भी नियमित बहुभुज की अनुमति देते हैं N पक्षों का गठन किया जाना है, जब तक N ≥ 3 और रूप का है 2m3nρ, कहाँ ρ विशिष्ट पियरपोंट प्राइम्स का उत्पाद है। यह नियमित बहुभुजों का वही वर्ग है जो कम्पास, सीधा किनारा, और कोण तिराहे के साथ बनाया जा सकता है।[1]नियमित बहुभुज जिनका निर्माण केवल कम्पास और स्ट्रेटेज (रचनात्मक बहुभुज) के साथ किया जा सकता है, वे विशेष मामले हैं जहाँ n = 0 और ρ अलग फ़र्मेट प्राइम्स का उत्पाद है, जो खुद पियरपोंट प्राइम्स का सबसेट है।

1895 में, जेम्स पियरपोंट (गणितज्ञ) ने नियमित बहुभुजों की ही कक्षा का अध्ययन किया; उनका काम पियरपोंट प्राइम्स को नाम देता है। पियरपोंट ने कम्पास और स्ट्रेटेज निर्माणों को अलग तरीके से सामान्यीकृत किया, शंकु वर्गों को आकर्षित करने की क्षमता जोड़कर जिनके गुणांक पहले निर्मित बिंदुओं से आते हैं। जैसा कि उन्होंने दिखाया, नियमित N-गॉन जिनका निर्माण इन संक्रियाओं के साथ किया जा सकता है, वे ऐसे हैं जो यूलर के टोटेंट का कार्य करते हैं N 3-चिकनी है। चूँकि अभाज्य का कुल योग उसमें से को घटाकर बनाया जाता है, अभाज्य N जिसके लिए पियरपोंट के निर्माण कार्य वास्तव में पियरपोंट प्राइम्स हैं। हालांकि, पियरपोंट ने 3-चिकनी कुलियों के साथ समग्र संख्याओं के रूप का वर्णन नहीं किया।[6] जैसा कि ग्लीसन ने बाद में दिखाया, ये संख्याएँ ठीक उसी रूप की हैं 2m3nρ ऊपर दिया गया है।[1]

सबसे छोटा अभाज्य जो पियरपोंट (या फर्मेट) अभाज्य नहीं है, वह 11 है; इसलिए, hedecagon पहला नियमित बहुभुज है जिसे कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर (या ओरिगेमी, या कॉनिक सेक्शन) के साथ नहीं बनाया जा सकता है। अन्य सभी नियमित N-gons साथ 3 ≤ N ≤ 21 कम्पास, स्ट्रेटेज और ट्राइसेक्टर के साथ बनाया जा सकता है।[1]


सामान्यीकरण

दूसरी तरह का पियरपॉन्ट प्राइम फॉर्म 2 की प्रमुख संख्या हैमें3v − 1. ये संख्याएँ हैं

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786431, 995327, ... (sequence A005105 in the OEIS)

इस प्रकार के सबसे बड़े ज्ञात अभाज्य मेर्सेन अभाज्य हैं; वर्तमान में सबसे बड़ा ज्ञात है (24,862,048 दशमलव अंक)। दूसरी तरह का सबसे बड़ा ज्ञात पियरपोंट प्राइम जो मेर्सन प्राइम नहीं है , प्राइमग्रिड द्वारा पाया गया।[7] सामान्यीकृत पियरपॉन्ट प्राइम फॉर्म का प्राइम है के फिक्स्ड प्राइम पी के साथ1 < पृ2 < पृ3 < ... < पीk. दूसरी तरह का सामान्यीकृत पियरपॉन्ट प्राइम फॉर्म का प्राइम है के फिक्स्ड प्राइम पी के साथ1 < पृ2 < पृ3 < ... < पीk. चूँकि 2 से बड़ी सभी अभाज्य संख्याएँ समता (गणित) हैं, दोनों प्रकार में p1 2 होना चाहिए। OEIS में ऐसे प्राइम्स के क्रम हैं:

{p1, p2, p3, ..., pk} + 1 − 1
{2} OEISA092506 OEISA000668
{2, 3} OEISA005109 OEISA005105
{2, 5} OEISA077497 OEISA077313
{2, 3, 5} OEISA002200 OEISA293194
{2, 7} OEISA077498 OEISA077314
{2, 3, 5, 7} OEISA174144 OEISA347977
{2, 11} OEISA077499 OEISA077315
{2, 13} OEISA173236 OEISA173062


यह भी देखें

  • प्रोथ प्रधान , फॉर्म के प्राइम्स जहाँ k और n धनात्मक पूर्णांक हैं, विषम है और


संदर्भ

  1. 1.0 1.1 1.2 1.3 Gleason, Andrew M. (1988), "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon", American Mathematical Monthly, 95 (3): 185–194, doi:10.2307/2323624, MR 0935432. Footnote 8, p. 191.
  2. Kirfel, Christoph; Rødseth, Øystein J. (2001), "On the primality of ", Discrete Mathematics, 241 (1–3): 395–406, doi:10.1016/S0012-365X(01)00125-X, MR 1861431.
  3. Wilfrid Keller, Fermat factoring status.
  4. Caldwell, Chris, "The largest known primes", The Prime Pages, retrieved 9 January 2023; "The Prime Database: 2*3^10852677+1", The Prime Pages, retrieved 9 January 2023
  5. Hull, Thomas C. (2011), "Solving cubics with creases: the work of Beloch and Lill", American Mathematical Monthly, 118 (4): 307–315, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.04.307, MR 2800341.
  6. Pierpont, James (1895), "On an undemonstrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticæ", Bulletin of the American Mathematical Society, 2 (3): 77–83, doi:10.1090/S0002-9904-1895-00317-1, MR 1557414.
  7. 3*2^18924988 - 1 (5,696,990 Decimal Digits), from The Prime Pages.