पियरपोंट प्राइम

पियरपोंट प्राइम
Named after	James Pierpont
No. of known terms	Thousands
Conjectured no. of terms	Infinite
Subsequence of	Pierpont number
First terms	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889
Largest known term	2 × 310,852,677 + 1
OEIS index	A005109

संख्या सिद्धांत में, पियरपॉन्ट प्राइम कुछ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए $u$ और $v$ के लिए

2^{u}\cdot 3^{v}+1\,

के रूप की एक अभाज्य संख्या है। अर्थात् वे अभाज्य संख्याएँ

p

हैं जिसके लिए

p - 1

3-स्मूथ है। उनका नाम गणितज्ञ जेम्स पियरपोंट (गणितज्ञ) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें उन नियमित बहुभुजों को चिह्नित करने के लिए उपयोग किया था जिन्हें शंकु वर्गों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। समान लक्षण वर्णन उन बहुभुजों पर प्रायुक्त होता है जिनका निर्माण रूलर, कम्पास और कोण त्रिखंड का उपयोग करके या पेपर फोल्डिंग के गणित का उपयोग करके किया जा सकता है।

2 और फर्मेट प्राइम्स को छोड़कर, प्रत्येक पियरपोंट प्राइम 1 मॉड्यूलो 6 होना चाहिए। पहले कुछ पियरपोंट प्राइम्स हैं:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329, ... (sequence A005109 in the OEIS)

यह अनुमान लगाया गया है कि अनंत रूप से कई पियरपोंट अभाज्य हैं, किन्तु यह अप्रमाणित है।

वितरण

Unsolved problem in mathematics:

Are there infinitely many Pierpont primes?

(more unsolved problems in mathematics)

$v = 0$ के साथ एक पियरपोंट प्राइम $2^{u}+1$ के रूप में है, और इसलिए फर्मेट प्राइम (जब तक $u = 0$ न हो) हैं। यदि $v$ धनात्मक संख्या है तो $u$ भी धनात्मक (क्योंकि $3^{v}+1$ 2 से अधिक एक सम संख्या होगी और इसलिए अभाज्य नहीं है) होना चाहिए, और इसलिए गैर-फर्मेट पियरपोंट अभाज्य सभी का रूप $6 k + 1$ होता है जब $k$ धनात्मक पूर्णांक (2 को छोड़कर, जब $u = v = 0$ ) होता है।

छोटे पियरपोंट अभाज्यों के लिए घातांकों का वितरण

अनुभवजन्य रूप से, पियरपोंट प्राइम्स विशेष रूप से दुर्लभ या दुर्लभ रूप से वितरित नहीं लगते हैं; 10⁶ से कम 42 पियरपोंट प्राइम्स, 10⁹ से 65 कम, 10²⁰ से 157 कम, और 10¹⁰⁰ से 795 कम हैं। पियरपोंट प्राइम्स पर बीजगणितीय कारकों से कुछ प्रतिबंध हैं, इसलिए मेर्सन प्रीमियम स्थिति जैसी कोई आवश्यकता नहीं है कि एक्सपोनेंट प्राइम होना चाहिए। इस प्रकार, यह अपेक्षा की जाती है कि सही फॉर्म $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ के $n$ -अंकीय संख्याओं के बीच, इनमें से जो अंश अभाज्य हैं, वे $1/ n$ के समानुपाती होने चाहिए, सभी $n$ -अंकीय संख्याओं के बीच अभाज्य संख्याओं के अनुपात के समान अनुपात। जैसा कि इस श्रेणी में सही रूप के $\Theta (n^{2})$ नंबर हैं, वहाँ $\Theta (n)$ पियरपोंट प्राइम्स होना चाहिए।

एंड्रयू एम. ग्लीसन ने इस तर्क को स्पष्ट किया, यह अनुमान लगाते हुए कि असीम रूप से कई पियरपोंट प्राइम्स हैं, और अधिक विशेष रूप से कि लगभग $10 n$ तक लगभग $9 n$ पियरपोंट प्राइम्स होने चाहिए।^[1] ग्लीसन के अनुमान के अनुसार $\Theta (\log N)$ पियरपोंट प्राइम्स N से छोटे हैं, जो उस सीमा में मेर्सन प्राइम्स की छोटी अनुमान संख्या $O(\log \log N)$ के विपरीत है।

प्राथमिक परीक्षण

कब $2^{u}>3^{v}$ , $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ प्रोथ संख्या है और इस प्रकार प्रोथ के प्रमेय द्वारा इसकी मौलिकता का परीक्षण किया जा सकता है। वहीं, जब $2^{u}<3^{v}$ के लिए वैकल्पिक प्रारंभिक परीक्षण $M=2^{u}\cdot 3^{v}+1$ के गुणनखंडन के आधार पर संभव हैं $M-1$ छोटी सम संख्या के रूप में 3 की बड़ी शक्ति से गुणा किया जाता है।^[2]

== पियरपोंट प्राइम फ़र्मेट संख्या == के कारकों के रूप में पाए जाते हैं

फ़र्मेट संख्या के कारकों के लिए चल रही विश्वव्यापी खोज के हिस्से के रूप में, कुछ पियरपोंट प्राइम्स को कारकों के रूप में घोषित किया गया है। निम्न तालिका^[3] एम, के, और एन के मान देता है जैसे कि

2^{2^{m}}+1

is divisible by

3^{k}\cdot 2^{n}+1.

बाईं ओर फर्मेट संख्या है; दाईं ओर पियरपोंट प्राइम है।


m	k	n	Year	Discoverer
38	1	41	1903	Cullen, Cunningham & Western
63	2	67	1956	Robinson
207	1	209	1956	Robinson
452	3	455	1956	Robinson
9428	2	9431	1983	Keller
12185	4	12189	1993	Dubner
28281	4	28285	1996	Taura
157167	1	157169	1995	Young
213319	1	213321	1996	Young
303088	1	303093	1998	Young
382447	1	382449	1999	Cosgrave & Gallot
461076	1	461081	2003	Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
495728	5	495732	2007	Keiser, Jobling, Penné & Fougeron
672005	3	672007	2005	Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
2145351	1	2145353	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2478782	1	2478785	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2543548	2	2543551	2011	Brown, Reynolds, Penné & Fougeron

As of 2023^[update], सबसे बड़ा ज्ञात पियरपॉन्ट प्राइम 2 × 3 है^10852677 + 1 (5,178,044 दशमलव अंक), जिसकी मौलिकता जनवरी 2023 में खोजी गई थी।^[4]

बहुभुज निर्माण

पेपर फ़ोल्डिंग के गणित में, हुज़िता-होतोरी स्वयंसिद्ध सात प्रकार के फ़ोल्ड में से छह को परिभाषित करते हैं। यह दिखाया गया है कि ये तह किसी भी घन समीकरण को हल करने वाले बिंदुओं के निर्माण की अनुमति देने के लिए पर्याप्त हैं।^[5] यह इस प्रकार है कि वे किसी भी नियमित बहुभुज की अनुमति देते हैं $N$ पक्षों का गठन किया जाना है, जब तक $N \geq 3$ और रूप का है $2 m 3 n ρ$ , कहाँ $ρ$ विशिष्ट पियरपोंट प्राइम्स का उत्पाद है। यह नियमित बहुभुजों का वही वर्ग है जो कम्पास, सीधा किनारा, और कोण तिराहे के साथ बनाया जा सकता है।^[1]नियमित बहुभुज जिनका निर्माण केवल कम्पास और स्ट्रेटेज (रचनात्मक बहुभुज) के साथ किया जा सकता है, वे विशेष मामले हैं जहाँ $n = 0$ और $ρ$ अलग फ़र्मेट प्राइम्स का उत्पाद है, जो खुद पियरपोंट प्राइम्स का सबसेट है।

1895 में, जेम्स पियरपोंट (गणितज्ञ) ने नियमित बहुभुजों की ही कक्षा का अध्ययन किया; उनका काम पियरपोंट प्राइम्स को नाम देता है। पियरपोंट ने कम्पास और स्ट्रेटेज निर्माणों को अलग तरीके से सामान्यीकृत किया, शंकु वर्गों को आकर्षित करने की क्षमता जोड़कर जिनके गुणांक पहले निर्मित बिंदुओं से आते हैं। जैसा कि उन्होंने दिखाया, नियमित $N$ -गॉन जिनका निर्माण इन संक्रियाओं के साथ किया जा सकता है, वे ऐसे हैं जो यूलर के टोटेंट का कार्य करते हैं $N$ 3-स्मूथ है। चूँकि अभाज्य का कुल योग उसमें से को घटाकर बनाया जाता है, अभाज्य $N$ जिसके लिए पियरपोंट के निर्माण कार्य वास्तव में पियरपोंट प्राइम्स हैं। हालांकि, पियरपोंट ने 3-स्मूथ कुलियों के साथ समग्र संख्याओं के रूप का वर्णन नहीं किया।^[6] जैसा कि ग्लीसन ने बाद में दिखाया, ये संख्याएँ ठीक उसी रूप की हैं $2 m 3 n ρ$ ऊपर दिया गया है।^[1]

सबसे छोटा अभाज्य जो पियरपोंट (या फर्मेट) अभाज्य नहीं है, वह 11 है; इसलिए, hedecagon पहला नियमित बहुभुज है जिसे कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर (या ओरिगेमी, या कॉनिक सेक्शन) के साथ नहीं बनाया जा सकता है। अन्य सभी नियमित $N$ -gons साथ $3 \leq N \leq 21$ कम्पास, स्ट्रेटेज और ट्राइसेक्टर के साथ बनाया जा सकता है।^[1]

सामान्यीकरण

दूसरी तरह का पियरपॉन्ट प्राइम फॉर्म 2 की प्रमुख संख्या है^{में3^v − 1. ये संख्याएँ हैं}

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786431, 995327, ... (sequence A005105 in the OEIS)

इस प्रकार के सबसे बड़े ज्ञात अभाज्य मेर्सेन अभाज्य हैं; वर्तमान में सबसे बड़ा ज्ञात है $2^{82589933}-1$ (24,862,048 दशमलव अंक)। दूसरी तरह का सबसे बड़ा ज्ञात पियरपोंट प्राइम जो मेर्सन प्राइम नहीं है $3\cdot 2^{18924988}-1$ , प्राइमग्रिड द्वारा पाया गया।^[7] सामान्यीकृत पियरपॉन्ट प्राइम फॉर्म का प्राइम है $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ के फिक्स्ड प्राइम पी के साथ₁ < पृ₂ < पृ₃ < ... < पी_k. दूसरी तरह का सामान्यीकृत पियरपॉन्ट प्राइम फॉर्म का प्राइम है $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}-1$ के फिक्स्ड प्राइम पी के साथ₁ < पृ₂ < पृ₃ < ... < पी_k. चूँकि 2 से बड़ी सभी अभाज्य संख्याएँ समता (गणित) हैं, दोनों प्रकार में p₁ 2 होना चाहिए। OEIS में ऐसे प्राइम्स के क्रम हैं:

{p₁, p₂, p₃, ..., p_k}	+ 1	− 1
{2}	OEIS: A092506	OEIS: A000668
{2, 3}	OEIS: A005109	OEIS: A005105
{2, 5}	OEIS: A077497	OEIS: A077313
{2, 3, 5}	OEIS: A002200	OEIS: A293194
{2, 7}	OEIS: A077498	OEIS: A077314
{2, 3, 5, 7}	OEIS: A174144	OEIS: A347977
{2, 11}	OEIS: A077499	OEIS: A077315
{2, 13}	OEIS: A173236	OEIS: A173062

यह भी देखें

प्रोथ प्रधान , फॉर्म के प्राइम्स $N=k\cdot 2^{n}+1$ जहाँ k और n धनात्मक पूर्णांक हैं, $k$ विषम है और $2^{n}>k.$

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Gleason, Andrew M. (1988), "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon", American Mathematical Monthly, 95 (3): 185–194, doi:10.2307/2323624, MR 0935432. Footnote 8, p. 191.
↑ Kirfel, Christoph; Rødseth, Øystein J. (2001), "On the primality of $2h\cdot 3^{n}+1$ ", Discrete Mathematics, 241 (1–3): 395–406, doi:10.1016/S0012-365X(01)00125-X, MR 1861431.
↑ Wilfrid Keller, Fermat factoring status.
↑ Caldwell, Chris, "The largest known primes", The Prime Pages, retrieved 9 January 2023; "The Prime Database: 2*3^10852677+1", The Prime Pages, retrieved 9 January 2023
↑ Hull, Thomas C. (2011), "Solving cubics with creases: the work of Beloch and Lill", American Mathematical Monthly, 118 (4): 307–315, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.04.307, MR 2800341.
↑ Pierpont, James (1895), "On an undemonstrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticæ", Bulletin of the American Mathematical Society, 2 (3): 77–83, doi:10.1090/S0002-9904-1895-00317-1, MR 1557414.
↑ 3*2^18924988 - 1 (5,696,990 Decimal Digits), from The Prime Pages.

[g98-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Gleason, Andrew M. (1988), "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon", American Mathematical Monthly, 95 (3): 185–194, doi:10.2307/2323624, MR 0935432. Footnote 8, p. 191.

[2] Kirfel, Christoph; Rødseth, Øystein J. (2001), "On the primality of $2h\cdot 3^{n}+1$ ", Discrete Mathematics, 241 (1–3): 395–406, doi:10.1016/S0012-365X(01)00125-X, MR 1861431.

[3] Wilfrid Keller, Fermat factoring status.

[4] Caldwell, Chris, "The largest known primes", The Prime Pages, retrieved 9 January 2023; "The Prime Database: 2*3^10852677+1", The Prime Pages, retrieved 9 January 2023

[5] Hull, Thomas C. (2011), "Solving cubics with creases: the work of Beloch and Lill", American Mathematical Monthly, 118 (4): 307–315, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.04.307, MR 2800341.

[6] Pierpont, James (1895), "On an undemonstrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticæ", Bulletin of the American Mathematical Society, 2 (3): 77–83, doi:10.1090/S0002-9904-1895-00317-1, MR 1557414.

[7] 3*2^18924988 - 1 (5,696,990 Decimal Digits), from The Prime Pages.

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v t e प्राइम नंबर कक्षाएं
सूत्र द्वारा	[[Fermat संख्या \| fermat ( $2 2 n + 1$ )]] [[Mersenne Prime \| Mersenne ( $2 p - 1$ )]] [[डबल मर्सन नंबर \| डबल मर्सन ( $2 2 p -1 - 1$ 0]] [[Wagstaff Prime \| Wagstaff $(2 p + 1)/3$ ]] [[प्रोथ प्राइम \| प्रोथ ( $k \cdot2 n + 1$ )]] [[फैक्टरियल प्राइम \| फैक्टरियल ( $n! \pm 1$ )]] [[प्राइमोरियल प्राइम \| प्राइमोरियल ( $p n # \pm 1$ )]] [[यूक्लिड नंबर \| Euclid ( $p n # + 1$ )]] [[पाइथागोरियन प्राइम \| पाइथागोरियन ( $4 n + 1$ )]] [[पियरपॉन्ट प्राइम \| पियरपोंट ( $2 m \cdot3 n + 1$ )]] [[फौयन प्राइम \| क्वार्टन ( $x 4 + y 4$ )]] [[प्राइम सोलिनास \| सोलिनास ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ )]] [[कुलेन नंबर \| कुलेन ( $n \cdot2 n + 1$ )]] [[वुडल नंबर \| वुडल ( $n \cdot2 n - 1$ )]] [[क्यूबन प्राइम \| क्यूबन (क्यूबन () $x 3 - y 3)/(x - y$ ]] [[Leyland संख्या \| Leyland ( $x y + y x$ )]] [[Thabit संख्या \| thabit ( $3\cdot2 n - 1$ )]] [[विलियम्स नंबर \| विलियम्स ( $(b -1)\cdot b n - 1$ )]] [[मिल्स निरंतर \| मिल्स ( $⌊ A 3 n ⌋$ )]]
पूर्णांक अनुक्रम द्वारा	Fibonacci लुकास पेल न्यूमैन -शैंक्स -विलियम्स पेरिन विभाजन बेल Motzkin
संपत्ति से	Wieferich ( जोड़ी) वॉल -सन -सन वोल्स्टेनहोल्मे विल्सन भाग्यशाली भाग्यशाली रामानुजन पिल्लई नियमित मजबूत स्टर्न सुपरसिंगुलर (अण्डाकार वक्र) सुपरसिंगुलर (मूनशाइन थ्योरी) अच्छा सुपर हिग्स अत्यधिक cototient अद्वितीय
आधार-आश्रित	पालिंड्रोमिक एमिर्प [[Repunit \| repunit $(10 n - 1)/9$ ]] पारगम्य परिपत्र truncatable न्यूनतम नाजुक प्राइमवेल पूर्ण रेप्टेंड अद्वितीय [हैप्पी नंबर # हैप्पी प्राइम्स
पैटर्न्स	[[ट्विन प्राइम \| ट्विन ( $p, p + 2$ ]] [[पिंडली के पेट \| शिन पेट ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ]] [[प्राइम ट्रिपल \| ट्रिपल ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ]] [[प्राइम क्वाड्रुप्लेट \| क्वाड्रुलेट ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ]] k -tuple [[चचेरे भाई प्राइम \| चचेरे भाई ( $p, p + 4$ ]] [[सेक्सी प्राइम \| सेक्सी ( $p, p + 6$ ]] चेन [[सेफ एंड सोफी जर्मेन प्राइम्स \| सोफी जर्मेन/सेफ ( $p, 2 p + 1$ ]] [[कनिंघम श्रृंखला \| कनिंघम ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ]] [[अंकगणितीय प्रगति में primes \| अंकगणितीय प्रगति ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ]] [[संतुलित प्राइम \| संतुलित ( $consecutive p - n, p, p + n$ ]]
आकार से	मेगा(1,000,000+ अंक) सबसे बड़ा ज्ञात सूची
जटिल संख्या	Eisenstein Prime गाऊसी प्राइम
समग्र संख्या	स्यूडोप्राइम कैटलन अण्डाकार यूलर Euler -Jacobi Fermat फ्रोबेनियस लुकास सोमर -लुकास मजबूत कारमाइकल नंबर लगभग प्रमुख सेमीप्रीम इंटरप्राइम घबराहट
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