सरल मॉड्यूल

गणित में, विशेष रूप से अंगूठी सिद्धांत में, एक रिंग (गणित) आर के ऊपर सरल मॉड्यूल आर के ऊपर (बाएं या दाएं) मॉड्यूल (गणित) हैं जो शून्य मॉड्यूल हैं। गैर-शून्य और हैं कोई गैर-शून्य उचित submodule नहीं। समतुल्य रूप से, एक मॉड्यूल 'एम' सरल है अगर और केवल अगर प्रत्येक चक्रीय मॉड्यूल ए द्वारा उत्पन्न होता है non-zero एम का तत्व एम के बराबर है। सरल मॉड्यूल एक मॉड्यूल की परिमित लंबाई के मॉड्यूल के लिए बिल्डिंग ब्लॉक्स बनाते हैं, और वे समूह सिद्धांत में सरल समूहों के अनुरूप होते हैं।

इस लेख में, सभी मॉड्यूलों को रिंग R के ऊपर सही एकात्मक मॉड्यूल माना जाएगा।

ए द्वारा उत्पन्न होता है non-zero एम का तत्व एम के बराबर है। सरल मॉड्यूल एक मॉड्यूल की परिमित लंबाई के मॉड्यूल के लिए बिल्डिंग ब्लॉक्स बनाते हैं, और वे समूह सिद्धांत में सरल समूहों के अनुरूप होते हैं।

उदाहरण

पूर्णांक-मॉड्यूल एबेलियन समूह के समान हैं, इसलिए एक साधारण जेड-मॉड्यूल एक एबेलियन समूह है जिसमें गैर-शून्य उचित उपसमूह नहीं हैं। ये अभाज्य संख्या क्रम (समूह सिद्धांत) के चक्रीय समूह हैं।

अगर I R का एक सही आदर्श (रिंग थ्योरी) है, तो I एक सही मॉड्यूल के रूप में सरल है अगर और केवल अगर I एक न्यूनतम आदर्श गैर-शून्य अधिकार है आदर्श: यदि एम मैं का गैर-शून्य उचित उपमॉड्यूल है, तो यह एक सही आदर्श भी है, इसलिए मैं न्यूनतम नहीं है। विलोम (तर्क), यदि 'मैं' न्यूनतम नहीं है, तो 'मैं' में उचित रूप से निहित एक गैर-शून्य सही आदर्श जे है। J I का एक राइट सबमॉड्यूल है, इसलिए I सरल नहीं है।

यदि I R का एक सही आदर्श है, तो भागफल मॉड्यूल R/I सरल है अगर और केवल अगर I एक अधिकतम आदर्श सही आदर्श है: यदि M R/I का एक गैर-शून्य उचित सबमॉड्यूल है, तो कोटिएंट मॉड्यूल के तहत M का preimage R → R/I एक सही गुणजावली है जो R के बराबर नहीं है और जिसमें ठीक से I शामिल है। इसलिए, I अधिकतम नहीं है। इसके विपरीत, यदि I अधिकतम नहीं है, तो एक सही आदर्श J ठीक से युक्त I है। भागफल मानचित्र R/I → R/J में एक गैर-शून्य कर्नेल (बीजगणित) है जो इसके बराबर नहीं है R/I, और इसलिए R/I सरल नहीं है।

प्रत्येक सरल आर-मॉड्यूल एक भागफल R/m के लिए Module_homomorphism#Terminology है, जहां m, R का अधिकतम आदर्श सही आदर्श है। उपरोक्त अनुच्छेद द्वारा, कोई भागफल आर/एम एक साधारण मॉड्यूल है। इसके विपरीत, मान लीजिए कि एम एक साधारण आर-मॉड्यूल है। फिर, M के किसी भी गैर-शून्य तत्व x के लिए, चक्रीय सबमॉड्यूल xR को M के बराबर होना चाहिए। ऐसे x को ठीक करें। बयान है कि {{nowrap begin}एक्सआर = एम मॉड्यूल समरूपता के विशेषण के समतुल्य है R → M जो r को xr भेजता है। इस समरूपता का मूल R का एक सही आदर्श I है, और एक मानक प्रमेय कहता है कि M, R/I के लिए समरूप है। उपरोक्त पैराग्राफ से, हम पाते हैं कि I एक अधिकतम सही आदर्श है। इसलिए, M अधिकतम सही आदर्श द्वारा R के भागफल के लिए समरूप है।

यदि k एक क्षेत्र (गणित) है और G एक समूह (गणित) है, तो G का एक समूह प्रतिनिधित्व समूह रिंग k [G] पर एक बायाँ मॉड्यूल है (विवरण के लिए, परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत देखें Representations.2C मॉड्यूल और दृढ़ बीजगणित)। साधारण k[G]-मॉड्यूल्स को 'irreducible' अभ्यावेदन के रूप में भी जाना जाता है। प्रतिनिधित्व सिद्धांत का एक प्रमुख उद्देश्य समूहों के अलघुकरणीय अभ्यावेदन को समझना है।

सरल मॉड्यूल के मूल गुण

सरल मॉड्यूल ठीक मॉड्यूल 1 की लंबाई के मॉड्यूल हैं; यह परिभाषा का एक सुधार है।

प्रत्येक साधारण मॉड्यूल अविघटनीय मॉड्यूल है, लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है।

प्रत्येक सरल मॉड्यूल चक्रीय मॉड्यूल है, अर्थात यह एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है।

प्रत्येक मॉड्यूल में एक साधारण सबमॉड्यूल नहीं होता है; उदाहरण के लिए ऊपर दिए गए पहले उदाहरण के आलोक में Z-मॉड्यूल Z पर विचार करें।

चलो एम और एन एक ही अंगूठी पर (बाएं या दाएं) मॉड्यूल हो, और चलो f : M → N एक मॉड्यूल समरूपता हो। यदि M सरल है, तो f या तो शून्य समरूपता या अंतःक्षेपी है क्योंकि f का कर्नेल M का एक सबमॉड्यूल है। यदि N सरल है, तो f या तो शून्य समरूपता या विशेषण है क्योंकि f की छवि (गणित) एक सबमॉड्यूल है एन के। यदि {{nowrap begin}एम = एन, तो f, M का एक एंडोमोर्फिज़्म है, और यदि M सरल है, तो पिछले दो कथनों का अर्थ है कि f या तो शून्य समरूपता या एक समरूपता है। नतीजतन, किसी भी साधारण मॉड्यूल की एंडोमोर्फिज्म रिंग एक विभाजन की अंगूठी है। इस परिणाम को 'शूर की लेम्मा' के रूप में जाना जाता है।

शूर की लेम्मा का विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, 'जेड'-मॉड्यूल 'क्यू' सरल नहीं है, लेकिन इसकी एंडोमोर्फिज्म रिंग 'क्यू' क्षेत्र के लिए आइसोमोर्फिक है।

सरल मॉड्यूल और रचना श्रृंखला

Main article: Composition series

यदि एम एक मॉड्यूल है जिसमें गैर-शून्य उचित सबमिशन एन है, तो एक छोटा सटीक अनुक्रम होता है

$0\to N\to M\to M/N\to 0.$

गणितीय प्रमाण के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण एम के बारे में एक तथ्य यह दिखाना है कि तथ्य एक छोटे सटीक अनुक्रम के केंद्र पद के लिए सत्य है जब यह बाएँ और दाएँ शब्दों के लिए सत्य है, फिर एन और एम/एन के लिए तथ्य को साबित करने के लिए। यदि N में एक गैर-शून्य उचित सबमॉड्यूल है, तो इस प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है। यह सबमॉड्यूल की एक श्रृंखला का निर्माण करता है

$\cdots \subset M_{2}\subset M_{1}\subset M.$

इस तथ्य को इस तरह साबित करने के लिए, इस क्रम पर और मॉड्यूल एम पर शर्तों की आवश्यकता होती है_i/एम_i + 1. एक विशेष रूप से उपयोगी स्थिति यह है कि अनुक्रम की लंबाई परिमित है और प्रत्येक भागफल मॉड्यूल एम_i/एम_i + 1 साधारण है। इस मामले में अनुक्रम को एम के लिए संयोजन श्रृंखला कहा जाता है। रचना श्रृंखला का उपयोग करते हुए किसी कथन को आगमनात्मक रूप से सिद्ध करने के लिए, कथन को पहले सरल मॉड्यूल के लिए सिद्ध किया जाता है, जो प्रेरण का आधार मामला बनाता है, और फिर एक साधारण मॉड्यूल द्वारा मॉड्यूल के विस्तार के तहत कथन को सही साबित किया जाता है। उदाहरण के लिए, फिटिंग लेम्मा से पता चलता है कि एक परिमित लंबाई मॉड्यूल की एंडोमोर्फिज्म रिंग अविघटनीय मॉड्यूल एक स्थानीय रिंग है, जिससे कि मजबूत क्रुल-श्मिट प्रमेय धारण करता है और परिमित लंबाई मॉड्यूल की श्रेणी (गणित) एक क्रुल-श्मिट श्रेणी है।

जॉर्डन-होल्डर प्रमेय और श्रेयर शोधन प्रमेय एकल मॉड्यूल की सभी रचना श्रृंखलाओं के बीच संबंधों का वर्णन करते हैं। ग्रोथेंडिक समूह रचना श्रृंखला में क्रम की उपेक्षा करता है और प्रत्येक परिमित लंबाई मॉड्यूल को सरल मॉड्यूल के औपचारिक योग के रूप में देखता है। अर्ध-सरल छल्लों पर, यह कोई नुकसान नहीं है क्योंकि प्रत्येक मॉड्यूल एक अर्ध-सरल मॉड्यूल है और इसलिए सरल मॉड्यूल के मॉड्यूल का सीधा योग है। साधारण चरित्र सिद्धांत बेहतर अंकगणितीय नियंत्रण प्रदान करता है, और परिमित समूह जी की संरचना को समझने के लिए सरल सीजी मॉड्यूल का उपयोग करता है। मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत मॉड्यूल को सरल मॉड्यूल के औपचारिक योग के रूप में देखने के लिए ब्राउर वर्णों का उपयोग करता है, लेकिन यह भी रुचि रखता है कि संरचना श्रृंखला के भीतर उन सरल मॉड्यूल को एक साथ कैसे जोड़ा जाता है। यह एक्सट्रीम फ़ैक्टर का अध्ययन करके और क्विवर (गणित) (जिनके नोड सरल मॉड्यूल हैं और जिनके किनारे लंबाई 2 के गैर-अर्ध-सरल मॉड्यूल की रचना श्रृंखला हैं) और ऑस्लैंडर-रीटेन सिद्धांत सहित विभिन्न तरीकों से मॉड्यूल श्रेणी का वर्णन करके औपचारिक रूप दिया गया है। संबद्ध ग्राफ़ में प्रत्येक अविघटनीय मॉड्यूल के लिए एक शीर्ष होता है।

जैकबसन घनत्व प्रमेय

Main article: Jacobson density theorem

सरल मॉड्यूल के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण प्रगति जैकबसन घनत्व प्रमेय थी। जैकबसन घनत्व प्रमेय कहता है:

यू को एक साधारण सही आर-मॉड्यूल होने दें और डी = अंत दें_R(उ). यू पर ए को कोई डी-रैखिक ऑपरेटर होने दें और एक्स को यू के एक परिमित डी-रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय होने दें। फिर आर का एक तत्व आर मौजूद है जैसे एक्स·ए = एक्स·आर एक्स में सभी एक्स के लिए।

विशेष रूप से, किसी भी आदिम अंगूठी को कुछ डी-स्पेस पर डी-रैखिक ऑपरेटरों की अंगूठी के रूप में देखा जा सकता है (यानी, आइसोमोर्फिक)।

जैकबसन घनत्व प्रमेय का एक परिणाम वेडरबर्न का प्रमेय है; अर्थात् कोई भी सही आर्टिनियन रिंग साधारण अंगूठी कुछ एन के लिए एक डिवीजन रिंग के ऊपर एन-बाय-एन मैट्रिसेस के पूर्ण मैट्रिक्स रिंग के लिए आइसोमॉर्फिक है। इसे आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय के परिणाम के रूप में भी स्थापित किया जा सकता है।

यह भी देखें

• सेमीसिंपल मॉड्यूल ऐसे मॉड्यूल होते हैं जिन्हें सरल सबमॉड्यूल के योग के रूप में लिखा जा सकता है
• अकाट्य आदर्श
• अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व